高中数学第二章算法初步23循环结构学案北师大版必修3.docx
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高中数学第二章算法初步23循环结构学案北师大版必修3
2．3 循环结构
[学习目标] 1.掌握循环结构的有关概念.2.理解循环结构的基本模式，会用循环结构描述算法.3.体会循环结构在重复计算中的重要作用．
知识点一 常量与变量的概念
1．循环结构的定义
在一些算法中，经常会出现从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，这就是循环结构．反复执行的步骤称为循环体．
2．循环结构的特点
（1）重复性：
在一个循环结构中，总有一个过程要重复一系列的步骤若干次，而且每次的操作完全相同．
（2）判断性：
每个循环结构都包含一个判断条件，它决定这个循环的执行与终止．
（3）函数性：
循环变量在构造循环结构中起了关键作用，蕴含着函数的思想．
3．设计一个算法的算法框图的步骤
（1）用自然语言表述算法步骤；
（2）确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构，并用相应的算法框图表示，得到该步骤的算法框图；
（3）将所有步骤的算法框图用流程线连接起来，并加上终端框，得到表示整个算法的算法框图．
思考
（1）循环结构的算法框图中一定含有判断框吗？
（2）任何一个算法的算法框图中都必须含有三种基本逻辑结构吗？
答
（1）循环结构的算法框图中一定含有判断框．
（2）不一定．但必须会有顺序结构．
知识点二 循环结构的设计过程
循环结构的算法框图的基本模式，如图所示．
题型一 循环结构的识别与解读
例1
（1）当m＝7，n＝3时，执行如图所示的算法框图，输出S的值为（ ）
A．7B．42
C．210D．840
（2）如图所示，算法框图（算法框图）的输出结果是（ ）
A．34B．55C．78D．89
答案
（1）C
（2）B
解析
（1）算法框图的执行过程如下：
m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，
k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；
k＝k－1＝6>5，S＝6×7＝42；
k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；
k＝k－1＝4<5，输出S＝210.故选C.
（2）当输入x＝1，y＝1，执行z＝x＋y及z≤50，x＝y，y＝z后，
x，y，z的值依次对应如下：
x＝1，y＝1，z＝2；
x＝1，y＝2，z＝3；
x＝2，y＝3，z＝5；
x＝3，y＝5，z＝8；
x＝5，y＝8，z＝13；
x＝8，y＝13，z＝21；
x＝13，y＝21，z＝34；
x＝21，y＝34，z＝55.
由于55≤50不成立，故输出55.故选B.
反思与感悟 高考中对算法框图的考查类型之一就是读图，解决此类问题的关键是根据算法框图理解算法的功能．考查的重点是算法框图的输出功能、算法框图的补充，以及算法思想和基本的运算能力、逻辑思维能力，试题难度不大，大多可以按照算法框图的流程逐步运算而得到．
跟踪训练1 阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.
答案 4
解析 m＝2，A＝1，B＝1，i＝0.
第一次：
i＝0＋1＝1，A＝1×2＝2，B＝1×1＝1，A＞B；
第二次：
i＝1＋1＝2，A＝2×2＝4，B＝1×2＝2，A＞B；
第三次：
i＝2＋1＝3，A＝4×2＝8，B＝2×3＝6，A＞B；
第四次：
i＝3＋1＝4，A＝8×2＝16，B＝6×4＝24，A＜B；
终止循环，输出i＝4.
题型二 用循环结构解决累加、累乘问题
例2 设计一个计算1＋2＋…＋100的值的算法，并画出算法框图．
解 方法一 第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，若i≤100成立，则执行第三步；否则，输出S，结束算法．
第三步，S＝S＋i.
第四步，i＝i＋1，返回第二步．
算法框图：
方法二 第一步，令i＝1，S＝0.
第二步，S＝S＋i.
第三步，i＝i＋1.
第四步，若i＞100不成立，则返回第二步；否则，输出S，结束算法．
算法框图：
反思与感悟 循环结构分为两种：
一种循环结构是先执行一次循环体，然后再判断是否继续执行循环体，是在条件不满足时执行循环体，另一种循环结构是先判断是否执行循环体，是在条件满足时执行循环体．
跟踪训练2 设计一个算法，求13＋23＋33＋…＋1003的值，并画出算法框图．
解 算法如下：
第一步，使S＝0.
第二步，使I＝1.
第三步，使S＝S＋I3.
第四步，使I＝I＋1.
第五步，若I＞100，则输出S，算法结束；否则，返回第三步．
算法框图如图所示：
题型三 确定循环变量最值的框图
例3 写出一个求满足1×3×5×7×…×i＞50000的最小正整数i的算法，并画出相应的算法框图．
解 算法如下：
1．S＝1.
2．i＝3.
3．如果S≤50000，那么S＝S×i，i＝i＋2，重复第3步；否则，执行第4步．
4．i＝i－2；
5．输出i.
算法框图如图所示：
反思与感悟 1.在使用循环结构时，需恰当地设置累加（乘）变量和计数变量，在循环体中要设置循环体终止的条件．
2．在最后输出结果时，要避免出现多循环一次或少循环一次的情况出现．
跟踪训练3 求使1＋2＋3＋4＋5＋…＋n＞100成立的最小自然数n的值，只画出算法框图．
解 算法框图如下：
题型四 循环结构的实际应用
例4 某工厂2013年生产小轿车200万辆，技术革新后预计每年的生产能力比上一年增加5%，问最早哪一年该厂生产的小轿车数量超过300万辆？
写出解决该问题的一个算法，并画出相应的算法框图．
解 算法如下：
1．令n＝0，a＝200，r＝0.05.
2．T＝ar（计算年增量）．
3．a＝a＋T（计算年产量）．
4．如果a≤300，那么n＝n＋1，
返回第2步；否则执行第5步．
5．N＝2014＋n.
6．输出N.
算法框图如图所示．
反思与感悟 这是一道算法的实际应用题，解决此类问题的关键是读懂题目，建立合适的模型，找到解决问题的计算公式．
跟踪训练4 电脑游戏中，“主角”的生命机会往往被预先设定，如某枪战游戏中，“主角”被设定生命机会5次，每次生命承受射击8枪（被击中8枪则失去一次生命机会）．假设射击过程均为单发发射，试将“主角”耗用生命机会的过程设计成一个算法框图．
解 方法一 “主角”所有生命机会共能承受8×5＝40（枪）（第40枪被击中则生命结束）．设“主角”被击中枪数为i（i＝0,1,2，…，39），算法框图可设计为如图1.
方法二 与方法一相对，电脑中预先共承受枪数40，“主角”生命机会以“减法”计数，算法框图可设计为如图2.
累加变量和计数变量的应用
例5 画出求满足12＋22＋32＋…＋n2＞20152的最小正整数n的算法框图．
错解 如图
（1）．
错解分析 累加变量的初始值为1，第一次运算为S＝1＋12导致错误．一般把计数变量的初始值设为1，累加变量的初始值设为0，本例中S＝0，i＝1.
自我矫正
算法框图如图
（2）所示：
图
（1） 图
（2）
1．下列关于循环结构的说法正确的是（ ）
A．循环结构中，判断框内的条件是唯一的
B．判断框中的条件成立时，要结束循环向下执行
C．循环体中要对判断框中的条件变量有所改变才会使循环结构不会出现“死循环”
D．循环结构就是无限循环的结构，执行程序时会永无止境地运行下去
答案 C
解析 由于判断框内的条件不唯一，故A错；由于循环结构中，判断框中的条件成立时可能和执行循环体，故B错；由于循环结构不是无限循环的，故C正确，D错．
2．阅读如图所示的算法框图，则输出的S等于（ ）
A．14B．30
C．20D．55
答案 B
解析 第一次循环，S＝1，i＝2；第二次循环，S＝1＋22＝5，i＝3；第三次循环，S＝5＋32＝14，i＝4；第四次循环，S＝14＋42＝30，i＝5，满足条件，输出S＝30.
第2题图 第3题图
3．如图所示的算法框图输出的S是126，则①应为（ ）
A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8
答案 B
解析 2＋22＋23＋24＋25＋26＝126，所以应填“n≤6”．
4．执行如图的程序框图，如果输入的a＝4，b＝6，那么输出的n＝（ ）
A．3B．4
C．5D．6
答案 C
解析 第一次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，i＝6，n＝1；
第二次循环a＝－6＋4＝－2，b＝4－（－2）＝6，a＝6－2＝4，i＝10，n＝2；
第三次循环a＝6－4＝2，b＝6－2＝4，a＝4＋2＝6，i＝16，n＝3；
第四次循环a＝4－6＝－2，b＝4－（－2）＝6，a＝6－2＝4，i＝20，n＝4，满足题意，结束循环．
第4题图 第5题图
5．如图所示的算法框图，当输入x的值为5时，则其输出的结果是________．
答案 2
解析 ∵x＝5>0，∴x＝5－3＝2，
∵x＝2>0，∴x＝2－3＝－1.
∴y＝0.5－1＝2.
1.
（1）循环结构是指在算法中需要重复执行一条或多条指令的控制结构；
（2）在循环结构中，通常都有一个起循环计数作用的变量；
（3）循环变量、循环体、循环终止条件称为循环结构的三要素．
2．画算法框图要注意：
（1）使用标准的框图符号；
（2）框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
（3）除判断框外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
（4）一种判断是“是”与“否”两分支的判断，而且有且仅有两个结果，另一种是多分支判断，有几种不同的结果；
（5）在图形符号内描述的语言要非常简练、清楚．
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