工厂生产计划问题的优化模型(最新整理By阿拉蕾).docx
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工厂生产计划问题的优化模型
摘要
企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次看，工厂要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大的利润为目标制定产品的生产计划；从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。
实际生产中要考虑的除了成本费、存贮费等与产量有关的费用，还要考虑生产这种产品所需要的时间，生产设备的检修等等因素。
用数学规划的解决这种问题通常是最有效的方法。
针对工厂生产计划问题,本文首先全面分析了题目所给的信息和数据。
我们建立了动态优化模型——整数线性规划模型，以每月的生产量和库存量为决策变量，以市场最大需求量、库存面积、生产能力（即工时）的限制为约束条件，合理安排生产从而达到本季度利润最大的目标。
因此，我们在解决问题
（1）时建立了整数线性规划模型I。
模型I即问题
（1）通过在LINDO软件中编程求出了最优解，如下表：
一月
二月
三月
产品甲
生产量
318
605
82
月末库存量
68
133
40
产品乙
生产量
180
150
690
月末库存量
0
0
40
总利润
7244.8元
问题
（2）在第一问的基础上将原来的每月检修台数固定改为动态变化并且每类机器的检修总台数不变，故我们主要是通过引入0——1变量来实现每月的检修模式安排，将模型I改进为模型II，使得该厂在本季度的获利最大。
模型II即问题
（2）通过在LINDO软件中编程求出了最优解，如下表：
一月
二月
三月
产品甲
生产量
286
637
382
月末库存量
36
133
40
产品乙
生产量
180
150
690
月末库存量
0
0
40
检修台数
A类机器
3
0
0
B类机器
3
1
0
总利润
8151.2元
由于模型I和模型II都是整数线性规划模型，用LINDO软件求解起来非常方便而且还可以对模型进行灵敏度分析。
虽然并不能满足每月都能达到市场最大需求，但这是由机器的最大运转工时决定的。
对实际问题来说，还有很多的因素没有考虑，比如原料的供应、原料的成本、生产的产品是不是都符合标准等，模型还有待改进。
这类数学规划模型在生产计划问题上具有普遍性和推广性，对其它的工厂
（或企业）的生产也适用，只要给出的数据足够，实际和精确，则模型得出的最优解将具有很强的实际意义。
关键词：
动态规划；生产量；库存量；最大需求量；线性规划模型。
一、问题重述
生产计划是工厂每个季度必须进行的重要的决策，它直接关系到该工厂该季度的经济效益和下一季度的发展战略，而工厂的计划又要包括外部需求、内部设备。
外部需求量的大小关系到该季度的直接的经济效益，内部设备的生产能力以及生产设备的检修等又直接影响到产品的供求是不是能够保持平衡，如果供大于求那么月末多余产品的贮存费用。
具体问题：
某厂生产甲、乙两种产品，第一季度的最大需求量及单位产品利润和每月的库存成本如表所示。
生产这两种产品都必须经过由两道工序，分别使用
A、B两类机器。
A类机器有4台，B类机器有5台，每台机器每月运转180工时。
生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器 B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。
该厂仓库容量为100平方米，存贮每单位甲产品需占面积0.75平方米，每单位乙产品需占面积1.2平方米。
该季度开始时无库存量，计划在本季度结束时甲、乙两种产品各库存40单位。
需求量
利润
（未计库存成本）
（元/单位产品）
每月库存成本
（元/单位产品）
一月
二月
三月
甲产品
250
540
700
3.0
0.2
乙产品
180
150
650
4.5
0.3
根据所给定的生产设备的生产能力以及市场对产品的需求量，做出该季度的该工厂的生产计划，建立相应的模型，使该季度该厂的获得利润最大。
二、问题分析
工厂生产计划的问题，是在全面考虑了各阶段各种生产设备生产各种产品的能力，以及这些产品在市场上的需求量和在仓库的贮存量等因素给出的一个工厂总的生产计划，目的是为了使该工厂获得最大的利润。
所以该问题是一个数学规划模型。
用数学规划的解决这种问题是最有效的方法。
首先，由表一我们知道该季度产品的外部需求量甲产品是
250、540、700，乙产品是180、150、650，那麽就是说我们的生产量必须等于或高于这些量。
且每单位甲产品未计库存成本的利润为3元/单位产品，库存为
0.2元/单位产品，
每单位乙产品未计库存成本的利润为4.5元/单位产品。
其次，我们从外部设备来进行分析，第一个生产设备上A机器有4台，B机器有5台，每台机器每月运转180工时，。
生产单位甲产品需机器A0.9工时，机器 B1.0工时；生产单位乙产品需机器A0.5工时，机器B0.75工时。
第二个库存设备上该厂的仓库容量是100平方米，也就是说该仓库的最大库存量为100平方米，又知存贮甲产
品占容量0.75平方米/单位产品，存贮乙产品占仓库容量为1.2平方米/单位产品。
该季度开始时没有库存量，但在该季度结束的时候甲乙两种产品的库存量为各
40个单位。
问题
（1）提出是在各月都有机器进行检修的情况下进行生产，检修一台
A机器需100工时，检修一台乙机器需150工时，也就是说接受检修的A机器每台在该月运转的工时是80工时，接受检修的B机器每台在该月运转的工时是30工时。
在此种情况下建立规划模型I，使得该厂在本季度的获利最大。
问题
（2）在第一问的基础上将原来的每月检修台数固定改为动态变化并且每类机器的检修总台数不变，所以机器A检修的台数为3台，机器B检修的台数是4台，要在这季度的三个月内进行检修，故我们主要是通过引入0——1变量来实现检修安排，将模型I改进为模型II，使得该厂在本季度的获利最大。
三、模型假设
（1）假设本季度开始时仓库的库存为0；
（2）假设不考虑原材料的费用；
（3）假设不考虑原材料的供应；
（4）假设每月月末除放入仓库外其余产品全部销售到市场上；
（5）假设机器在检修期间不工作，检修完后最多能投入当月每台机器除去检修所需工时所剩下的工时；
（6）假设工厂只能生产出单位产品的整数倍数量的产品；
（7）假设产品进入仓库后可以混装并保证不留空隙；
（8）假设每月的生产计划与其余月的生产计划没有影响。
四、符号规定
xij——表示第i种产品第j月的产量；
yij——表示第i种产品第j月末的库存量；
cik——生产第i种产品需要第k种机器的工时；
dij——第i种产品第j月的市场最大需求量；
mi——第i种产品单位产品的库存费用；
qi——第i种产品单位产品的利润；
e——每台机器每月运转工时；
g——A机器的台数；
h——B机器的台数；
xj——A机器第j月需要检修的台数；
yj——B机器第j月需要检修的台数；
u——每台A机器维修所需工时；
v——每台B机器维修所需工时；
ni——第i种产品单位产品库存时所需的库存面积；
s——仓库的最大容量；
ì1,表示机器A在第i月检修j台
aij=í
î0，其他情况。
ì1,表示机器B在第i月检修j台
bij=í
î0，其他情况。
五、模型的建立
从问题的分析可以看出这是一个典型的如何安排生产销售的动态规划模型：
由于两种产品各自的产量，销售、需求和库存之间存在着一定的线性关系，据此从而将问题转化为建立线性规划模型。
问题
（1）的求解：
1.1、目标的确立：
我们是在不考虑原料成本费用的基础上，以销售利润减去库存成本作为目标函数，记为z。
销售利润=销售量´单位产品的销售利润，而销售量=总生产量—最后的库存量；库存费用=库存量´单位产品的库存成本。
我门的目的是要求目标函数的最大值，即：
maxz=3（x11+x12+x13-y13）+4（x21+x22+x23-y23）
-0.2（y11+y12+y13）-0.3（y21+y22+y23）
1.2、约束条件的限制：
L
（1）
（1） 库存面积的限制：
由于仓库容量为100m2。
即每月甲乙两种产品库存面积之和不能超过仓库容量。
ì0.75y11+1.2y21£100 L
（2）
î
12 22
í0.75y+1.2y £100 L（3）
由于第三月库存面积0.75y13+1.2y23=78<100满足条件可以省去。
（2）市场最大需求量的限制：
每月的销售量为每月的生产量减去每月月末的库存量，不能大于每月市场上的最大需求量。
ìx11-y11£250 L（4）
í
12 11 12
对甲产品ïx+y-y £540
L（5）
î13 12 13
ïx+y-y£700
L（6）
ìx21-y21£180 L（7）
í
22 21 22
对乙产品ïx +y-y £150
L（8）
î23 22 23
ïx+y -y £650
L（9）
（3）工时（生产能力）即生产设备的限制：
每月生产计划所需工时不能超过机器每月运转的总工时减去检修所需的工时。
ì0.9x11+0.5x21£180´4-100 L（10）
对机器
í
ï
12 22
A 0.9x
+0.5x
£180´4-100
L（11）
î 13 23
ï0.9x+0.5x £180´4-100
ìx11+0.75x21£180´5-150
L（12）
L（13）
B x
í
12 22
对机器 ï +0.75x £180´5-150
L（14）
î13 23
ïx+0.75x £180´5-150´2
L（15）
根据符号规定将上面的式
（1）~（15）写成紧缩的形式即得到优化模型I：
2
3
2
3
ìmaxåq（åx-40）-åmåy
ï i ij i ij
ï i=1
ï 2
j=1
i=1
j=1
ïs.t.
ï
åniyij£s,
i=1
j=1,2,3
ï xij-yij+yi,j-1£dij,yi,0=0
2
í
ï
ï åci1xij£ge-uxj,j=1,2,3
2
ï i=1
L（I）
ï
ï åcx£he-vy,j=1,2,3
i2ij j
ï i=1
ïî
问题
（2）的求解：
xij³0,yij³0,i=1,2;j=1,2,3
第二问的求解在第一问的基础上将原来的每月检修台数固定改为动态变化并且每类机器的检修总台数不变。
因而此模型中的目标函数与问题
（1）相同，约束条件中库存面积和市场最大需求量这两个约束不变，主要是工时限制的改变，而工时限制的改变主要是由于安排检修是一个动态变化。
为此，我们引入0—1变量aij、bij表示两类机器在第i月是否检修j台。
工时约束限制如下：
ì0.9x11+0.5x21+100a11+200a12+300a13£180´4 L（10'）
对机器
í
ï
12 22 21 22 23
A 0.9x
+0.5x
+100a
+200a
+300a
£180´4
L（11'）
î 13 23 31 32 33
ï0.9x+0.5x+100a+200a+300a £180´4
ìx11+0.75x21+150b11+300b12+450b13+600b14£180´5
L（12'）
L（13'）
B x
í
12 22 21 22 23 24
对机器 ï +0.75x +150b+300b+450b+600b £180´5
L（14'）
î13 23 31 32 33 34
ïx+0.75x+150b+300b+450b+600b£180´5
L（15'）
另外，由于各类机器检修的总台数不变且每月的检修模式最多只能有一种。
ìa11+2a12+3a13+a21+2a22+3a23+a31+2a32+3a33=3L（16）
ïa+a+a£1
L（17）
对机器A：
ï
11 12 13
ía+a +a £1
L（18）
ï21 22 23
î31 32 33
ïa+a+a £1
对机器B：
L（19）
ìb11+2b12+3b13+4b14+b21+2b22+3b23+4b24+b31+2b32+3b33+4b34=4L（20）
ïb+b+b+b£1
L（21）
í
ï11 12 13 14
ïb21+b22+b23+b24£1
î31 32 33 34
ïb+b+b+b£1
L（22）
L（23）
根据符号规定将式子
（1）~（9）和（（10’）~（15’）以及（16）~（23）写成紧缩的形式即得到优化模型II：
2
3
2
3
ìmaxåq（åx-40）-åmåy
ï i ij i ij
ï i=1
ï 2
j=1
i=1
j=1
ïs.t.
ï
åniyij£s,
i=1
j=1,2,3
ï xij-yij+yi,j-1£dij,yi,0=0
ï
2
3
ï åcx£ge-åuia,j=1,2,3
ï
ï i=1
i1ij ji
i=1
2
ï åcx
£he-å
vib
,j=1,2,3
ï
3
ï i=1
å
ï
í
ï j=1
ï 4
i2
aij
ij ji
4
i=1
£1,i=1,2,3
L（II）
ï åbij£1,i=1,2,3
ï j=1
ï 3 3
ï ååjaij=3
ï i=1j=1
3 4
ï
ï ååjaij=4
ï i=1
ï
j=1
ï xij³0,yij³0,i=1,2;j=1,2,3
ï aÎ{0,1},bÎ{0,1}
ï ij ij
î
六、模型的求解
模型I和模型II都是整数线性规划，均可用LINDO软件进行求解。
将式
（1）~（15）输入LINDO求解模型I，可以得到（程序以及结果见附件一）：
x11=318,x12=605,x13=82,x21=180,x22=150,x23=690.
y11=68,y12=133,y21=y22=0.
目标函数的最大值zmax=7244.8（元）。
将此结果列成下表形式如下：
表1
一月
二月
三月
产品甲
生产量
318
605
82
月末库存量
68
133
40
产品乙
生产量
180
150
690
月末库存量
0
0
40
总利润
7244.8元
将式
（1）~（9）、（10’）~（15’）、（16）~（23）输入LINDO求解模型
II，可以得到（程序以及结果见附件一）
a13=1=b13=b21,其余—0
—变1量全为0.
x11=286,x12=637,x13=382,x21=180,x22=150,x23=690.
y11=36,y12=133,y21=y22=0.
目标函数最大值zmax=8151（元）。
将此结果列成下表形式：
表2
一月
二月
三月
产品甲
生产量
286
637
382
月末库存量
36
133
40
产品乙
生产量
180
150
690
月末库存量
0
0
40
检修台数
A类机器
3
0
0
B类机器
3
1
0
总利润
8151.2元
七、结果分析和模型的检验
1、结果分析：
从表1中的数据可以得出甲产品每月的销售量：
250，540，175。
乙产品每
月的销售量：
180，150，650。
从表2中的数据可以得出甲产品每月的销售量：
250，540，575。
乙产品每月的销售量：
180，150，650。
上面两种最优方案的
结果表明只有甲产品在第三月份的销售量不能达到市场上的最大需求量，其余都能达到市场上的最大需求量。
从题目给出的数据看，若第一季度甲、乙产品的生产量满足总最大需求量，并在这一季度结束时满足所要求的库存量，那么所耗费A类机器总工时：
0.9（250+540+700+40）+0.5（180+150+650+40）=1887（工时），
B类机器总工时：
（250+540+700+40）+0.75（180+150+650+40）=2295（工时）
，
但在这一季度中，由于机器检修耗时，A类机器能运转的最大工时为
4´180´3-300=1860<1887（工时），B类机器能运转的最大工时为
5´180´3-600=2100<2295（工时），皆不满足生产出等于最大需求量的产品。
虽然通过调整检修计划后可以让甲产品在第三月份的销售量增加500个单位，从而提高了利润，但还是不能每月都满足市场上的最大需求量。
2、模型检验：
这是一个整数线性规划模型，根据题目所给的数据运用一般的求解方法，
得不到整数解，但是我们运用LINDO软件中的gin命令对变量进行处理从而得到最优整数解，这与现实和假设都比较吻合。
通过附件一对灵敏度进行分析发现该模型的灵敏性较好，可以按最优计划投入生产。
八、模型的评价和推广
1、评价：
优点：
（1）本文运用数学规划模型中的线性规划对该工厂本季度的生产计划做出比较合理的规划，通过模型I所得到的最优方案虽然不能满足每月的销售量达到市场上的最大需求量，但是模型假设合理，所得结果满足所有约束条件并且这是由机器的最大运转工时决定的。
（2）我们在充分考虑最大需求量的限制，库存量和生产能力的限制，建立了以总利润最大为目标的优化模型，并充分有效的利用题目提供的数据信息求出了最优方案。
（3）像这样在产品利润、加工时间等参数均可设为常数的情况下，建立线性规划模型，并且可以方便的用LINDO软件求解，得到内容丰富的输出，并且可以利用结果输出中的灵敏度分析对模型结果进行进一步的研究，它们对实际问题常常是十分有益的。
缺点：
（1）对题目中某些信息的分析力度还不够，有些信息没有考虑，即使考虑了但没有在模型中体现得很准确。
（2）对实际问题来说，还有很多的因素没有考虑，比如原料的供应、原料的成本、生产的产品是不是都符合标准等。
2、推广：
这类数学规划模型在生产计划问题上具有普遍性和推广性，对其它的
工厂（或企业）的生产也适用，只要给出的数据足够，实际和精确，则模型得出的最优解将具有很强的实际意义。
九、参考文献
[1]刘贵真，刁在筠，《运筹学》，高等教育出版社，2007。
[2]孙文瑜，徐成贤，朱德通，《最优化方法》，高等教育出版社，2006。
[3]谢金星，薛毅《优化建模与LINDO/LINGO软件》，清华大学出版社，
2005。
[4]姜启源等编，《数学模型》，高等教育出版社，2003。
[5]李火林等编，《数学模型及方法》，江西高校出版社，1999。
十、附件
附件一：
问题
（1）的程序以及运行结果：
说明：
因为在编写程序时目标函数中没有写入常数，故运行结果中的最大值并非最后所得的结果。
max3x11+3x12+3x13+4.5x21+4.5x22+4.5x23-0.2y11-0.2y12-0.3y21-0.3y22
s.t.0.9x11+0.5x21<=620x11+0.75x21<=7500.9x12+0.5x22<=620x12+0.75x22<=7500.9x13+0.5x23<=620x13+0.75x23<=6000.75y11+1.2y21<=100
0.75y12+1.2y22<=100x11-y11<=250
x12-y12+y11<=540x13+y12<=740
x21-y21<=180
x22-y22+y21<=150x23+y22<=690
endgin10
OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1） 7564.800
VARIABLE VALUE REDUCEDCOST
X11
318.000000
-3.000000
X12
605.000000
-3.000000
X13
82.000000
-3.000000
X21
180.000000
-4.500000
X22
150.000000
-4.500000
X23
690.000000
-4.500000
Y11
68.000000
0.200000
Y12 133.000000 0.200000
Y21 0.000000 0.300000
Y22 0.000000 0.300000
ROW SLACKORSURPLUS DUALPRICES2） 243.800003 0.000000
3） 297.000000 0.000000
4） 0.500014 0.000000
5） 32.500000 0.000000
6） 201.199997 0.000000
7） 0.500000 0.000000
8） 49.000000 0.000000
9） 0.250000 0.000000
10） 0.000000 0.00000
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