等差数列和等比数列的解题技巧分解Word下载.docx

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……

　　思路启迪：

从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是1，3,6,10,…，推测出第n层的球数。

　　解答过程：

显然

.

　　第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，

，第n堆的乒乓球数总数相当于前n堆乒乓球的低层数之和，即

　　所以：

2．（2007年湖南卷理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第

次全行的数都为1的是第____________行；

第61行中1的个数是____________．

　　第1行　　　　11

　　第2行　　　　101

　　第3行　　　1111

　　第4行　　　10001

　　第5行　　110011

　　………………………………………

计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。

　　解：

第1次全行的数都为1的是第

=1行，

　　　　第2次全行的数都为1的是第

=3行，

　　　　第3次全行的数都为1的是第

=7行，

　　　　·

·

，

　　　　第

次全行的数都为1的是第

行；

　　　　第61行中1的个数是25=32．

考点二：

数列的递推关系式的理解与应用

　　在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形，转化为常见的类型进行解题。

　　如叠加法：

若

且

；

我们可把各个关系式列出来进行叠加求和，可得到数列

的通项.

，…，

　　∴

　　再看叠乘法：

，可把各个商列出来求积。

　　另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。

3．（2007年北京卷理）数列

中，

（

是常数，

），

成公比不为

的等比数列．

　　（I）求

的值；

（II）求

的通项公式．

（1）由

的等比数列列方程求

（2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出

与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式.

　　（I）

　　　　因为

成等比数列，所以

，解得

或

．

　　　　当

时，

，不符合题意舍去，故

　　（II）当

时，由于

，

　　　　　所以

　　　　　又

，故

　　　　　当

时，上式也成立，

　　小结：

从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视.

4．数列

满足

…．若

，则

（）

　　　　　（Ａ）

　　　（Ｂ）３　　（Ｃ）４　　（Ｄ）５

对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用.

　　解答过程1：

相叠加得

，

　　解答过程2：

　　　　由

得：

，因为

，所以

　　解答过程3：

　　　　从而

…；

　　　　叠加得：

，从而

数列递推关系是近几年高考数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。

　　对连续两项递推

，可转化为

　　对连续三项递推的关系

，如果方程

有两个根

，则上递推关系式可化为

考点三：

数列的通项

与前n项和

之间的关系与应用

的关系：

，数列前n项和

和通项

是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式

时，一定要注意条件

，求通项时一定要验证

是否适合。

解决含

的式子问题时，通常转化为只含

或者转化为只

的式子.

5．（2006年辽宁卷）在等比数列

中,

前

项和为

若数列

也是等比数列,则

等于（）

　　　　（A）

　　　（B）

　　　　（C）

　　　　（D）

　　命题目的：

本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。

　　过程指引：

因数列

为等比，则

，因数列

也是等比数列，则

　　　　即

，故选择答案C.

6.已知在正项数列

表示前n项和，且

，求

转化为只含

或者只含

的递推关系式.

由已知

，得当

　　　　当

，代入已知有

，即

　　　　又

　　　　∴数列

是首项为

，公差

的等差数列，

　　　　故

，得当n=1时，

时，因为

　　　　所以

考点四：

数列中与n有关的等式的理解与应用

　　对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为

得到另外的式子。

也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明.

7．（2006年福建卷）已知数列

）

　　（Ⅰ）求数列

的通项公式；

　　（Ⅱ）若数列

）,证明:

是等差数列;

本小题主要考查数列基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。

把递推关系式变形转化。

　　（I）解：

∵

，∴

是以

为首项，2为公比的等比数列。

　　　　　　∴

即

　（

　　（II）证法一：

　　　　　∴

即

　　　　　　　　①

　　　②

　　　　　②－①，得

　③

④

　　　　　③－④，得　

，即

　　　　　故

是等差数列.

考点五：

等差、等比数列的概念与性质的理解与应用

　　在等差、等比数列中，已知五个元素

中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。

本着化多为少的原则，解题时需抓住首项

和公差（或公比

）。

另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如

（1）等差数列

中，若

　　　　等比数列

.

（2）等差数列

的前n项为

成等差数列，且公差

为

中（

）的前n项和为

成等比数列，且公比

　　（3）在等差数列

中，项数n成等差的项

也成等差数列.

　　（4）在等差数列

.

　　在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.

8．（2006年江西卷）已知等差数列

的前n项和为

，若

，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则

＝（）

　　　　A．100　　　　B.101　　　　C.200　　　　D.201

考查向量性质、等差数列的性质与前n项和。

依题意，

，故选A

9．（2007年安徽卷文、理）

　　某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加

因此，历年所交纳的储备金数目

，…是一个公差为

的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率

）,那么,在第

年末，第一年所交纳的储备金就变为

，第二年所交纳的储备金就变成

，…….以

表示到第

年末所累计的储备金总额.

　　（Ⅰ）写出

）的递推关系式；

　　（Ⅱ）求证

，其中{

}是一个等比数列，{

}是一个等差数列.

本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力.

　　（I）我们有

　　（II）

，对

反复使用上述关系式，得

　　　　　　=…=

①

　　　　　在①式两端同乘1+r，得

②

　　　　　②－①，得

　　　　即

　　　　　记

}是等比数列，且首项为

，公比为

是等差数列，且首项为

　　点评：

解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．

考点六：

等差、等比数列前n项和的理解与应用

　　等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解。

等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数；

等比数列的前n项和公式

），因此可以改写为

是关于n的指数函数，当

10．（2007年广东卷理）已知数列

的前n项和

第k项满足

则k=（）

　　　　　　　A．9　　　B．8　　　　C．7　　　　D．6

本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．

此数列为等差数列，

，由5<

2k-10<

8得到k=8．

11．（2007年湖北卷文）已知数列

满足:

是以q为公比的等比数列.

　　（Ⅰ）证明：

　　（Ⅱ）若

证明数列

是等比数列；

　　（Ⅲ）求和：

本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．

　　解法1：

　　（I）证：

由

，有

　　（II）证：

　　　　　　　∴

是首项为5，以

为公比的等比数列．

　　（III）由（II）得

，于是

　　　　　故

　　解法2：

　　（I）同解法1（I）．

，又

　　（III）由（II）的类似方法得

．下同解法1．

考点七：

数列与函数的迭代问题

　　由函数迭代的数列问题是近几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中.

12．（2006年山东卷）已知数列

，点

在直线y=x上，

　　　　　　　　　　　　　　其中n=1,2,3….

　　（Ⅰ）令

，求证

　　（Ⅱ）求数列

的通项；

　　（III）设

分别为数列

的前n项和,是否存在实数

，使得数列

为等差数列？

若存在，试求出

.若不存在,则说明理由.

利用等比的定义证明

对

可由已知用叠加法求出求。

求出

便可顺利求出第三问.

　　（I）由已知得

为首项，以

为公比的等比数列.

　　（II）由（I）知，

　　　　　将以上各式相加得：

　　（III）解法一：

　　　　　存在

，使数列

　　　　　数列

是等差数列的充要条件是

（

是常数

　　　　　即

　　　　　又

当且仅当

时，数列

为等差数列.

　　解法二：

存在

　　　　　　由（I）、（II）知，

　　　　　　∴

　　　　　　又

13（2007年陕西卷理）已知各项全不为零的数列

的前k项和为

　　　　　　　　　　　　　　　且

），其中

　　（Ⅰ）求数列

　　（II）对任意给定的正整数

，数列

　　　　　求

注意利用

解决问题．

　　（Ⅰ）当

，由

及

，得

时，由

　　　　　因为

．从而

．故

　　（Ⅱ）因为

考点八：

数列综合应用与创新问题

　　数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。

14．（2006年湖南卷）在

）个不同数的排列

时

（即前面某数大于后面某数），则称

构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列

的逆序数为

，如排列21的逆序数

，排列321的逆序数

则

=____________，

的表达式为____________；

考查排列、数列知识.

　　过程导引：

由已知得

15．设

是定义在

上的单调可导函数.已知对于任意正数

　　　　　　都有

，且

　　（Ⅰ）求

，并求

　　（Ⅱ）令

，证明数列

是等差数列；

　　（Ⅲ）设

是曲线

在点

处的切线的斜率（

　　　　　数列

的前

　　求证：

根据已知条件求出函数

的关系式，求出

的递推关系式然后可求解题中要求．

　　（Ⅰ）取

　　　　　再取

　　　　　∵

上的单调函数

　　　　　∴

，或

（舍去）.

　　（Ⅱ）设

　　　　　再令

，解得：

　　　　　由

是等差数列.

　　（3）由

（2）得

　　　　所以

　　　　又当

　　　　则

　　　　故

.

16．（2007年广东卷理）已知函数

是方程

的两个根

是

的导数；

设

（n=1,2,……）

（1）求

（2）证明：

对任意的正整数n，都有

　　（3）记

（n=1,2,……），求数列{

}的前n项和

（1）注意应用根与系数关系求

（2）注意先求

　　　　　　　（3）注意利用

的关系．

（1）∵

　　　　∴

（2）

，∵

　　　　∴由基本不等式可知

（当且仅当

时取等号），∴

　　　　同样

（n=1,2,……）．

　　（3）

　　　　而

　　　　同理

　　　　又