《工程数学概率统计简明教程同济大学应用数学系》课后答案khdawlxywyl.docx
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《工程数学概率统计简明教程同济大学应用数学系》课后答案khdawlxywyl
课后答案网习w题w一w解.答
1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：
（1）抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A
{两次出现的面相同}；
（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A
（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A
{一分钟内呼叫次数不超过3次}；
{寿命在2000到2500小时之间}。
解
（1）
{（,
）,（,
）,（,
）,（
）}，A
{（,
）,（,
）}.
（2）记X为一分钟内接到的呼叫次数，则
{Xk|k
0,1,2,LL}，A{X
k|k
0,1,2,3}.
（3）记X为抽到的灯泡的寿命（单位：
小时），则
{X（0,
）}，
A{X
（2000,
2500）}.
2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A{取得球的号码是偶数}，B{取得球的号码是奇数}，C{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
（1）AUB；
（2）AB；（3）AC；（4）AC；（5）AC；（6）BUC；（7）AC.
解
（1）
AUB
是必然事件；
（2）AB是不可能事件；
（3）AC{取得球的号码是2，4}；
（4）AC{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；
（5）AC
{取得球的号码为奇数，且不小于5}{取得球的号码为5，7，9}；
（6）
BUC
BIC
{取得球的号码是不小于5的偶数}{取得球的号码为6，8，10}；
（7）AC
AC{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}
3.在区间[0,2]上任取一数，记A
（1）AUB；
（2）AB；（3）AB；（4）AUB.
x1x
2
1，B
x1x
4
3，求下列事件的表达式：
2
解
（1）
AUB
x1x3;
42
（2）AB
x0x
1或1x
2
2IB
x1x
4
1Ux1x3;
22
（3）因为A
B，所以AB；
（4）AUB
AUx0x
1或3x2
x0x
1或1
x1或3x2
4.用事件A,B,C
42422
的运算关系式表示下列事件：
（1）A出现，B,C都不出现（记为E1）；
（2）
A,B都出现，C不出现（记为E2）；
（3）所有三个事件都出现（记为E3）；
（4）三个事件中至少有一个出现（记为E4）；
（5）三个事件都不出现（记为E5）；
（6）不多于一个事件出现（记为E6）；
（7）不多于两个事件出现（记为E7）；
（8）三个事件中至少有两个出现（记为E8）。
解
（1）E1
（3）E3
（5）E5
ABC；
（2）E2
ABC；（4）E4
ABC；（6）E6
ABC；
AUBUC；
ABCUABCUABCUABC；
（7）E7
ABC
AUBUC；（8）E8
ABUACUBC.
5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次
抽到废品”，i
1,2,3课，试后用Ai答表示案下列事网件：
（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；
（2）只有第一次抽到废品；
（3）三次都抽到废品；
（4）至少有一次抽到合格品；
（2）只有两次抽到废品。
解
（1）A1UA2；
（2）A1A2A3；（3）A1A2A3；
（4）A1UA2UA3；（5）A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3.
6.接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i
C{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。
1,2,3，B{三次射击恰好命中二次}，
解BA1A2A3UA1A2A3UA1A2A3
CA1A2UA1A3UA2A3
习题二解答
1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。
解这是不放回抽取，样本点总数n
50
，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数
3
455
k.于是
21
P（A）kn
455
21
50
3
454453!
5049482!
99
392
2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。
求
（1）第一次、第二次都取到红球的概率；
（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率；
（3）二次取得的球为红、白各一的概率；
（4）第二次取到红球的概率。
解本题是有放回抽取模式，样本点总数n
A,B,C,D.
72.记
（1）
（2）（3）（4）题求概率的事件分别为
2
（ⅰ）有利于A的样本点数kA
52，故
P（A）
525
749
5210
（ⅱ）有利于B的样本点数kB
52，故
P（B）
7249
20
（ⅲ）有利于C的样本点数kC
252，故
P（C）
49
75355
（ⅳ）有利于D的样本点数kD
75，故
P（D）
72
.
497
3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：
（1）最
小号码是3的概率；
（2）最大号码是3的概率。
解本题是无放回模式，样本点总数n
65.
（ⅰ）最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利
样本点数为2
3，所求概率为231.
655
（ⅱ）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22，
课
15
所求概率为22
65
2.后答案网
4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，
每次取1只，试求下列事件的概率：
（1）2只都合格；
（2）1只合格，1只不合格；
（3）至少有1只合格。
解分别记题
（1）、
（2）、（3）涉及的事件为A,B,C，则
4
P（A）
P（B）
24322
66525
2
42
114228
66515
2
注意到C
AUB，且A与B互斥，因而由概率的可加性知
P（C）
P（A）
P（B）
2814
51515
5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：
（1）点数之和为7；
（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。
解分别记题
（1）、
（2）、（3）的事件为A,B,C,样本点总数n62
（ⅰ）A含样本点（2,5）,（5,2）,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3）
P（A）61
626
（ⅱ）B含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）
P（B）105
6218
（ⅲ）C含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,
（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。
P（C）181
362
6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，
试求这三名学生住不同宿舍的概率。
解记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为5
43，所以
P（A）
543
53
12.
25
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
（1）事件A：
“其中恰有一位精通英语”；
（2）事件B：
“其中恰有二位精通英语”；（3）事件C：
“其中有人精通英语”。
解样本点总数为5
3
（1）
23
12
P（A）
5
3
233!
63；
543105
2课3
后答案网
（2）
21
P（B）
5
3
33!
3；
54310
（3）因C
AUB，且A与B互斥，因而
P（C）
P（A）
P（B）
339.
51010
S
8．设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线x
A
y1所围成的三角形内，而落在这三
角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线1x
1/3的左边的概率。
解记求概率的事件为A，则SAy
为图中阴影部分，而|
|1/2，
|SA|
h
1
12
2
1
5
5
2
23
2
9
18
最后由几何概型的概率计算公式可得
P（A）
|SA|
5/185.1
||1/29
O1/3x
9．（见前面问答题2.3）
图2.3
10．已知A
B，P（A）
0.4，P（B）
0.6，求
（1）P（A）,P（B）；
（2）P（AUB）；（3）P（AB）；（4）P（BA）,P（AB）；（5）P（AB）.
解
（1）P（A）
1P（A）
10.4
0.6，P（B）
1P（B）
10.6
0.4；
（2）P（AUB）
（3）P（AB）
P（A）
P（A）
P（B）
0.4；
P（AB）
P（A）
P（B）
P（A）
P（B）
0.6；
（4）P（BA）（5）P（AB）
P（AB）
P（BA）
P（）
0.6
0,
0.4
P（AB）
0.2.
P（AUB）
1P（AUB）
10.6
0.4;
11．设A,B是两个事件，已知P（A）
0.5，P（B）
0.7，P（AUB）
0.8，试求P（A
B）及P（B
A）.
解注意到
P（AUB）
P（A）
P（B）
P（AB）
，因而
P（AB）
P（A）
P（B）
P（AUB）
0.5
0.7
0.8
0.4.于是，P（AB）
P（A
AB）
P（A）
P（AB）
0.5
0.4
0.1；
P（BA）
P（B
AB）
P（B）
P（AB）
0.7
0.4
0.3.
习题三解答
1．已知随机事件A的概率P（A）
试求P（AB）及P（AB）.
0.5，随机事件B的概率P（B）
0.6，条件概率P（B|A）
0.8，
解P（AB）
P（A）P（B|A）
0.5
0.8
0.4
P（AB）
P（AUB）
1P（AUB）
1P（A）
P（B）
P（AB）
10.5
0.6
0.4
0.3
2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正
品的概率。
解p10
990819.
100
9998
9998
1078
3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19
（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？
（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？
解记A{基金}，B{股票}，则P（A）
0.58,P（B）
0.28,P（AB）
0.19
（1）
（2）
课后
P（B|A）
P（A|B）
P（AB）P（A）P（AB）
P（B）
0.19
答
0.58
0.19
0.28
案0.32网7.
0.678.
4．给定P（A）
0.5，P（B）
0.3，P（AB）
0.15，验证下面四个等式：
P（A|B）
P（A）,
P（A|B）
P（A）,
P（B|A）
P（B），P（B|A）
P（B）.
解P（A|B）
P（AB）
P（B）
0.15
0.3
1P（A）
2
P（A|B）
P（AB）
P（B）
P（A）
1
P（AB）
P（B）
0.5
0.15
0.7
0.35
0.7
0.5
P（A）
P（B|A）
P（AB）
P（A）
0.15
0.5
0.3
P（B）
P（B|A）
P（AB）
P（A）
P（B）
1
P（AB）
P（A）
0.3
0.15
0.5
0.15
0.5
P（B）
5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。
求他最后可能迟到的概率。
解B{迟到}，A1
且按题意
{坐火车}，A2
{坐船}，A3
{坐汽车}，A4
{乘飞机}，则B
4
UBAi，
i1
由全概率公式有：
P（B|A1）
4
0.25，P（B|A2）
0.3，P（B|A3）
0.1，P（B|A4）0.
P（B）
P（Ai）P（B|Ai）
i1
0.3
0.25
0.2
0.3
0.1
0.1
0.145
6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。
求下列事件的概率：
（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；
（2）合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。
解
（1）记B{该球是红球}，A1
{取自甲袋}，A2
{取自乙袋}，已知P（B|A1）
6/10，
P（B|A2）
P（B）
8/14，所以
P（A）P（B|A）
P（A）P（B|A）161841
（2）
112
P（B）147
2412
2210
21470
7．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，
40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。
解0.25
0.05
0.35
0.04
0.4
0.02
0.0125
0.0140
0.008
0.0345
3.45%
8．发报台分别以概率0.6，0.4发出"
"和"
"，由于通信受到干扰，当发出"
"时，分别以概
率0.8和0.2收到"
"和"
"，同样，当发出信号"
"时，分别以0.9和0.1的概率收到"
"和""。
求
（1）收到信号"
"的概率；
（2）当收到"
"时，发出"
"的概率。
解记B{收到信号"
"}，A{发出信号""}
（1）
P（B）
P（A）P（B|A）
P（A）P（B|A）
0.6
0.8
0.4
0.1
0.48
0.04
0.52
（2）
P（A|B）
P（A）P（B|A）
0.6
0.8
12.
P（B）
0.5213
9．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，
40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次
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品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。
解为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D{次品}，因此
P（D）
P（A）P（D|A）
P（B）P（D|B）
P（C）P（D|C）
0.25
0.05
0.35
0.04
0.4
0.02
0.0125
0.014
0.008
0.0345
P（A|D）
P（A）P（D|A）
0.25
0.05
0.362
P（D）
0.0345
P（B|D）
P（B）P（D|B）
0.35
0.04
0.406
P（D）
0.0345
P（C|D）
P（C）P（D|C）
0.4
0.02
0.232
P（D）
10．设A与B独立，且P（A）
0.0345
p,P（B）
q，求下列事件的概率：
P（AUB），P（AUB），P（AUB）.
解P（AUB）
P（AUB）
P（A）
P（A）
P（B）
P（B）
P（A）P（B）
P（A）P（B）
pqpq
p1q
p（1q）1qpq
P（AUB）
P（AB）
1P（A）P（B）1pq
11．已知A,B独立，且P（AB）
1/9,P（AB）
P（AB），求P（A）,P（B）.
解因P（AB）
P（AB），由独立性有
P（A）P（B）
P（A）P（B）
从而P（A）
P（A）P（B）
P（B）
P（A）P（B）
导致P（A）
P（B）
再由P（AB）
1/9，有
1/9
P（A）P（B）
（1P（A））（1
P（B））
（1P（A））2
所以1
P（A）
1/3。
最后得到
P（B）
P（A）
2/3.
12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。
解记B{命中目标}，A1
而
{甲命中}，A2
{乙命中}，A3
{丙命中}，则
3
BUAi，因
i1
P（B）
3
1PA
1P（A）P（A）P（A）1211118
Ii123
i1
323
99.
13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率。
假定各个元件通达与否是相互独立的。
解记A{通达}，12
Ai{元件i通达}，i
1,2,3,4,5,6
34
则AA1A2UA3A4UA5A6，所以
56
P（A）
P（A1A2）
P（A3A4）
P（A5A6）
图3.1
P（A1A2A3A4）
P（A3A4A5A6）
P（A1A2A5A6）
P（A1A2A3A4A5A6）
3（1
p）2
3（1
p）4
（1p）6
14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。
解p5
3
（0.2）3
（0.8）2
0.0512.
15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。
解p3
3
（0.2）3
3
0.8
2
（0.2）2
0.008
0.096
0.104.
16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P（A）.
解记Ai
19
{A课在第后i次试答验中案出现}网，i
1,w2,3w.
wp.kP（hA）
3
Ui123
依假设
PA
27i1
1P（AAA）
1（1
p）3
所以，（1
p）3
8，此即p
27
1/3.
17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假
设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。
记Ai
{第i道工
序为次品}，i
3
1,2,3.
则次品率
pPUAi
i1
1P（A1）P（A2）P（A3）
10.98
0.97
0.95
10.90307
0.097
18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0
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