工程数学概率统计简明教程同济大学高等教育出版社课后答案.docx

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工程数学概率统计简明教程同济大学高等教育出版社课后答案

习题一解答

1.用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件：

（1）抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同.A；

（2）记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{.A一分钟内呼叫次数不超过次}；3

（3）从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{.A寿命在到小时之间}。

20002500

解

（1））},（）,,（）,,（）,,{（..........，）},（）,,{（.....A.

（2）记X为一分钟内接到的呼叫次数，则

},2,1,0|{......kkX，}3,2,1,0|{...kkXA.

（3）记X为抽到的灯泡的寿命（单位：

小时），则

）},0（{.....X，）}2500,2000（{..XA.

2.袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设.A{取得球的号码是偶数}，.B{取

得球的号码是奇数}，{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

（1）；

（2）BA.AB；（3）；（4）ACAC；（5）CA；（6）CB.；（7）CA..

解

（1）是必然事件；..BA.

（2）..AB是不可能事件；

（3）{取得球的号码是2，4}；.AC

（4）.AC{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

（5）.CA{取得球的号码为奇数，且不小于5}.{取得球的号码为5，7，9}；

（6）..CBCB..{取得球的号码是不小于5的偶数}.{取得球的号码为6，8，10}；

（7）...CACA{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}

3.在区间上任取一数，记]2,0[

...

...121xxA，

...

2341xxB，求下列事件的表达式：

（1）；

（2）BA.；（3）BA；（4）BA..

解

（1）

...

2341xxBA.;

（2）.

...

.....BxxxBA.21210或

...

2312141xxxx.;

（3）因为BA.，所以..BA；

（4）.

...

.....223410xxxABA或..

...

......223121410xxxx或或4.用事件

的运算关系式表示下列事件：

CBA,,

（1）出现，都不出现（记为）；ACB,1E

（2）都出现，不出现（记为）；BA,C2E

（3）所有三个事件都出现（记为）；3E

（4）三个事件中至少有一个出现（记为）；4E

（5）三个事件都不出现（记为）；5E

（6）不多于一个事件出现（记为）；6E

（7）不多于两个事件出现（记为）；7E

（8）三个事件中至少有两个出现（记为）。

解

（1）CBAE.1；

（2）CABE.2；

（3）；（4）ABCE.3CBAE...4；

（5）CBAE.5；（6）CBACBACBACBAE....6；

（7）CBAABCE....7；（8）BCACABE...8.

5.一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设表示事件“第i次iA

抽到废品”，，试用表示下列事件：

3,2,1.i21AA.

21AA..

iA32A2Ak

（1）第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

（2）只有第一次抽到废品；

（3）三次都抽到废品；

（4）至少有一次抽到合格品；

（2）只有两次抽到废品。

解

（1）；

（2）321AAA；（3）；321AAA

（4）；（5）321321321AAAAAAAAA...

6.接连进行三次射击，设={第次射击命中}，iAi3,2,1.i，.B{三次射击恰好命中二次}，

{三次射击至少命中二次}；试用表示.CiAB和C。

解321

33121AAAAAC...

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

解这是不放回抽取，样本点总数，记求概率的事件为，则有利于的样本点数

.于是

...

350n

...

15245k

39299!

2484950!

35444535015245）（.

...

nkAP

2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，

再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。

求

（1）第一次、第二次都取到红球的概率；

（2）第一次取到红球，第二次取到白球的概率；

（3）二次取得的球为红、白各一的概率；

（4）第二次取到红球的概率。

解本题是有放回抽取模式，样本点总数.记

（1）

（2）（3）（4）题求概率的事件分别为

27.nDCBA,,,

（ⅰ）有利于的样本点数，故25.A492575）（

...

..AP

（ⅱ）有利于B的样本点数，故25..Bk4910725）（2.

.BP

（ⅲ）有利于的样本点数C252...Ck，故

4920）（.CP

（ⅳ）有利于的样本点数，故D57..Dk754935757）（2..

.DP.

3．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：

（1）最

小号码是3的概率；

（2）最大号码是3的概率。

解本题是无放回模式，样本点总数56..n.

（ⅰ）最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利

样本点数为，所求概率为32.

515632.

（ⅱ）最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为22.，

所求概率为

1525622.

4．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，

每次取1只，试求下列事件的概率：

（1）2只都合格；

（2）1只合格，1只不合格；

（3）至少有1只合格。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）涉及的事件为，则CBA,,

522562342624）（.

...

.AP

15856224261214）（.

...

.BP

注意到，且BAC..A与B互斥，因而由概率的可加性知

151415852）（）（）（.....BPAPCP

5．掷两颗骰子，求下列事件的概率：

（1）点数之和为7；

（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数。

解分别记题

（1）、

（2）、（3）的事件为,样本点总数CBA,,26.n

（ⅰ）A含样本点,（1,6）,（6,1）,（3,4）,（4,3））2,5（）,5,2（

6166）（2...AP

（ⅱ）B含样本点（1,1）,（1,2）,（2,1）,（1,3）,（3,1）,（1,4）,（4,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）

185610）（2...BP

（ⅲ）含样本点（1,1）,（1,3）,（3,1）,（1,5）,（5,1）;（2,2）,（2,4）,（4,2）,（2,6）,（6,2）,（3,3）,

（3,5）,（5,3）;（4,4）,（4,6）,（6,4）;（5,5）;（6,6）,一共18个样本点。

213618）（...CP

6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，

试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解记求概率的事件为，样本点总数为，而有利的样本点数为A35A345..，所以

25125345）（3.

.AP.

7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：

（1）事件：

“其中恰有一位精通英语”；A

（2）事件B：

“其中恰有二位精通英语”；

（3）事件：

“其中有人精通英语”。

解样本点总数为...

...

（1）

53106345!

332352312）（..

...

.AP；

（2）

103345!

33351322）（.

...

.BP；

（3）因，且与BAC..AB互斥，因而

10910353）（）（）（.....BPAPCP.

8．设一质点一定落在平面内由xOyx轴、y轴及直线1..yxA

所围成的三角形内，而落在这三

角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线3/1.x的左边的概率。

解记求概率的事件为，则AAS

为图中阴影部分，而，2/1||..

1859521322121||

.....

...AS

最后由几何概型的概率计算公式可得

952/118/5||

||）（..

.ASAP.

9．（见前面问答题2.3）

10．已知BA.，，4.0）（.AP6.0）（.BP，求

（1））（AP,）（BP；

（2）；（3）；（4））（BAP.）（ABP）（）,（BAPABP；（5））（BAP.

解

（1）6.04.01）

（1）（.....APAP，4.06.01）

（1）（.....BPBP；

（2）6.0）（）（）（）（）（）（）（）（........BPAPBPAPABPBPAPBAP.；

（3）；4.0）（）（..APABP

（4）0）（）（）（.....PBAPABP,4.06.01）

（1）（）（......BAPBAPBAP..;

（5）.2.04.06.0）（）（.....ABPBAP

11．设是两个事件，已知，BA,5.0）（.AP7.0）（.BP，8.0）（.BAP.，试求及）（BAP.）.（ABP.

解注意到）（）（）（）（ABPBPAPBAP....

4）（）（ABAPBAP...

3.04.07.0）（...ABP，因而）（）（）（BPAPABP..

）1.04.05.0...

）（BAP..

）（..ABP.08.07.05.0....

）（）（...BPABBP.于是，（）（ABPAP..；

习题三解答

1．已知随机事件的概率，随机事件A5.0）（.APB的概率6.0）（.BP，条件概率8.0）|（.ABP，

试求及）（ABP）（BAP.

解4.08.05.0）|（）（）（....ABPAPABP

）（）（）

（1）

（1）（）（ABPBPAPBAPBAPBAP.........

3.04.06.05.01.....

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正

品的概率。

解

10789989981989910090910.

.p.

3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概

率为0.19

（1）已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？

（2）已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解记.A{基金}，.B{股票}，则19.0）（,28.0）（,58.0）（...ABPBPAP

1/3

图2.3

.327.058.019.0）（

）（）|（...

APABPABP

（1）

678.028.019.0）（

（2））（BAP5.0）（.AP3.0）（.BP15.0）（.ABP

）,（）|（）,（）|（APBAPAPBAP..）（）|（BPABP.）.（）|（BPABP.

给定

）（

213.015.0）（

）（）|（APBPABPBAP....

解

）（5.07.035.07.015.05.0）

（1）（）（

）（

）（）|（APBPABPAPBPBAPBAP...

）（3.05.015.0）（

）（）|（BPAPABPABP....

）（

5.015.05.015.03.0）

（1）（）（

）（

）（）|（PAPABPBPAPBAPABP..

5．有朋自远方来，他坐火车

的概率0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟

解B.1A，.2A，.A.A.41.

iiBAB

3425.0）|（1.ABP3.0）|（2.ABP1.0）|（3.ABP0）|（4.ABP

且按题意

........

4145.01.01.03.02.025.03.0）|（）（）（ABPAPBP

1iii

6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8

（1）随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；

.B，所以

.1A.2A10/6）|（1.ABP14/8）|（2.ABP

70411482110621）|（）（）|（）（）

（1ABP

（2）

1272414）（..BP

7．某

，各

0140.0.

解02.04.004.035.005.025.0......

%45.30345.0008.00125.0....

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出"".

和"".，于通信受到"".

""."".

"."的概率；"时，发出".

.8和0.2收"".和"".，同样，当发出信号".

.B"".}.A".

）收

）|（）（）|（）（）（ABPAPABPAPBP..

解记"

52.004.048.01.04.08.06.0.......

（1）

（2）

131252.08.06.0）（

）|）|（.

BPABPBAP.

9．设某工厂有ACB,,

，各个车间成品中次品的比分5%，4%，2%，如从该厂品中抽取一件，

CBA,,

记事件

）|PAD.

35.005.

014.0.

）（

）|（

DADP）（

）|（

DBDP）（

）

独立，且PPAP.）（

CBA,,CBA,,.D

）|（）（）|（）（（）（CDPCPBDPBPAP.

解为

02.04.004.0.025.0.....

）（DP.

0345.0008.00125.0...

362.00345.005.025.0

6232.00345.002.04.0

|（）（|（.CDPCDCP

ABqBPpA..）（,）（）（BAP.）（BAP.，）（BAP..

pqpBPAPBBAP.....）（）（）（）（.

10．设，

解q

ppPAPAP...1（）（（.

BA,）（）（,9/1）（BAPBAPBAP..）（）,BPAP

BPAPP..）（）（1（

）（）（BAPBAP.

（

）（）（）（）（BPAPBPAP.

解

）（））（）（BPAPAPAP.）（（BPAP.

从而（）（）（PBPB..）

3/.3/2）（）（..APBP

9/1）（.BAP，有2））（1（））

（1））（（1（）（）（9/1APBPAPBPAP......

所以1）（1..AP

12．甲、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，目标

.1A.2A.3A{.31.

iiAB

8111121）（）（）（11）（32131

............

...

APAPAPAPBPii.

13．设六同的元件

.iAi6,5,4,3,2,1.i

654321AAAAAA..

）（）（）（）（654321AAPAAPAAPAP...

则A.

）（）（）（）（654321652165434321AAAAAAPAAAAPAAAAPAAAAP....

642）1（）1（3）1（3ppp......

14．假故

解0512.0）8.0（）2.0（

3523....

...

.p.

15．灯

）2

解104.0096.0008.0.0（8.023）2.0（

3323........

...

....

...

.p.

AA）（AP

16．设在三次独立试验中，事件A出现等

线

每

路中，

安置

个元

.iA{Ai.3,2,1.i）（APp.

332131）1

（1）（12719pAAAPAPii.......

，

27）1（..p，此即3/1.p.

17．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道

道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解注意.iA{i.3,2,1.i

097.090307.0195.097.098.01）（）（）（1

3211

...

APAPAPAPii.

18．三

率。

.A.iAi.3,2,1.i

7075.02925.016.065.075.01.......

19．将一枚均匀硬币

256632151010

...

106

.kk2T

（1）在此时刻至少有1台电梯在运行的概率；

（2）在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率

（3）在此时刻所有电梯都在运行的概率。

256255）25.0

（1）75.01（144.....

1282741436）25.0（）75.0（

242222...

....

......

...

2568143）75.0（

44...

习题四解答

1.下列随

5,4,3,2,1,0,15

..iipi

..3,2,1,0,652

.iipi

5,4,3,2,41..ipi

（4）5,4,3,2,1,25

..ipi。

解要说数列，是否是随的分ip

.,2,1,0..ipi，其二条件为1..iip。

依据上面的说明可得

（1）中的数列为随机变量的分布律；

（2）中的数列不是随机变量的分布律，

0646953

.125i

....4,3,2,1,0,2

...iciXPi..2.XP

.2ic21240

...

iic3116.c

解

.....210....XPXPXP

（2）...2...XP3128412113116...

....

....2122

......

..XPXPXP314231

...

..。

3.一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。

从这袋

布函数。

....

612,21

.XP

.3.

3X的分布函数

3..x

....xXPxF..

3113...x

2.x

651.

12.x

4.一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3

中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解依题意X可能取到的值为3.X101.；事件

号球中任选，此时

.3.表示随机取出的3个球的最大号码为3，

103352314.

...

..XP

106

3...

...

101

103

106

X的分布函数为

3.x

...xF43..x

..x

15.x

5.在相同

布律。

6.0,5..pn

..5,,1,0,4.06.055.....

...

...kkkXPkk

312562562562562531256.从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。

设每次抽取时，各件产

到的可能性相等。

在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所

（1）每次取出的产品立即放回这批产品中再取

（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；

（3）每次取出一件产品后总是放回一件正品。

.,2,1,.iAii..,,,1nAA

...,2,1,1310..iAPi

.............,2,1,131013311111...

.....

..kAPAPAPAAAPkXPkkkkk

....

.....286110111213101234,14351112

265

1435

2861

概率

....

.....219761313131234,219772

131313..

131********97

由于三种抽样方式不同，导致X

..pBX,6~....51...XPXPp..2.XP

解由于，因此。

.pBX,6~....6,,1,0,1666......

...

...kppkXPkk

由此可算得........,165,16155ppXPppXP......

即解得...,161655pppp...

21.p；

此时，..

641521!

25621212626262

...

XP。

8.掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为

21，因此X服从

21,4..pn的二项分布，即

..4,3,2,1,0,212144

...

kkkXPkk

由此可得X的分布函数

0，0.x

161，

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