最新高一数学必修1各章知识点总结1优秀名师资料Word下载.docx
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有两种可能,1,A是B的一部分～,,2,A与B是A,B
同一集合。
反之:
集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作,,,,AB或BA
2（‚相等?
关系:
A=B（5?
5～且5?
5～则5=5）
2实例:
设A={x|x-1=0}B={-1,1}‚元素相同则两集合
相等?
即:
?
任何一个集合是它本身的子集。
A,A
真子集:
如果A,B,且A,B那就说集合A是集合B的真子集～
B（或BA）记作A
如果A,B,B,C,那么A,C
如果A,B同时B,A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集～记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集～空集是任何非空集合的真子
集。
nn-1,有n个元素的集合～含有2个子集～2个真子集三、集合的运算
运交集并集补集算
类
型
定由所有属于由所有属于设S是一个集
A集合～A义且合A是S
属或的一
于属个子
B于集～
的集由S
元合B中所
素的有不
所元属于
组素A的
成所元素
的组组成
集成的集
合的合～
集叫做
叫合～S中
做叫子集
A,做A的
BA,B补集
的的,或
交并余
集集集,
（（记
记作:
作A:
AB记作～即CAS:
B读
S,作A读‘ACA=S作并
‘B’,{x|x,S,且x,A}
A～即
交A:
B’B
～={x
即|x,
AA～
或:
B=xB,
}）（
x|
x
A～
且
B,
（
AABB
S
A图2图1韦
恩
图
示
性AA=AA=AA）（CB）A（C:
:
uu
AΦ=ΦAΦ=A=C（AB）:
u
AB=BAAB=BA（CA）（CB）:
ABAAB,=C（AB）:
:
ABBABBA（CA）=U:
u质
A（CA）=:
Φ（
例题:
1.下列四组对象～能构成集合的是
,
A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D
倒数等于它自身的实数
2.集合{a～b～c}的真子集共有个
23.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x?
0}～则M与N的关,
系是.
4.设集合A=～B=～若AB～则的取值范围是,axxa,xx12,,,,,,
5.50名学生做的物理、化学两种实验～已知物
理实验做得正确得有40人～化学实验
做得正确得有31人～
两种实验都做错得有4人～则这两种实验都做对的有
人。
6.用描述法表示图中阴影部分的点,含边界上的点,组成的
集合M=.
227.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|22x-mx+m-19=0},若B?
C?
Φ～A?
C=Φ～求m的值
二、函数的有关概念
1（函数的概念:
设A、B是非空的数集～如果按照某个确定
的对应关系f～使对于集合A中的任意一个数x～在
集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应～那么就
称f:
A?
B为从集合A到集合B的一个函数（记作:
y=f（x）～x?
A（其中～x叫做自变量～x的取值范围
A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函
数值～函数值的集合{f（x）|x?
A}叫做函数的值域（注意:
1（定义域:
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定
义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
（1）分式的分母不等于零,
（2）偶次方根的被开方数不小于零,
（3）对数式的真数必须大于零,
（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那
么～它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成
的集合.
（6）指数为零底不可以等于零～
（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.,相同函数的判断方法:
表达式相同,与表示自变量和
函数值的字母无关,,?
定义域一致（两点必须同时
具备）
（见课本21页相关例2）
2（值域:
先考虑其定义域
（1）观察法
（2）配方法
（3）代换法
3.函数图象知识归纳
（1）定义:
在平面直角坐标系中～以函数y=f（x）,（x?
A）中
的x为横坐标～函数值y为纵坐标的点P（x～y）的集
A）的图象（C上每一合C～叫做函数y=f（x）,（x?
点的坐标（x～y）均满足函数关系y=f（x）～反过来～
以满足y=f（x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点
（x～y）～均在C上.
（2）画法
A、描点法:
B、图象变换法
常用变换方法有三种
1）平移变换
2）伸缩变换
3）对称变换
4（区间的概念
1,区间的分类:
开区间、闭区间、半开半闭区间,2,无穷区间
3,区间的数轴表示（
5（映射
一般地～设A、B是两个非空的集合～如果按某一个确定的对
应法则f～使对于集合A中的任意一个元素x～在集
合B中都有唯一确定的元素y与之对应～那么就称
对应f:
AB为从集合A到集合B的一个映射。
记,
作‚f,对应关系,:
A,原象,B,象,?
对于映射f:
B来说～则应满足:
（1）集合A中的每一个元素～在集合B中都有象～并且象是唯
一的,
（2）集合A中不同的元素～在集合B中对应的象可以是同一个,（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
（2）各部分的自变量的取值情况（
（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集～值域是各段值域
的并集（
补充:
复合函数
如果y=f（u）（u?
M）,u=g（x）（x?
A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x?
A）
称为f、g的复合函数。
二（函数的性质
1.函数的单调性（局部性质）
1,增函数
设函数y=f（x）的定义域为I～如果对于定义域I内的某个区
间D内的任意两个自变量x～x～当x<
x时～都有1122
f（x）<
f（x）～那么就说f（x）在区间D上是增函数.12
区间D称为y=f（x）的单调增区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x～x～当x<
x时～1212
都有f（x）,f（x）～那么就说f（x）在这个区间上是12
减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.注意:
函数的单调性是函数的局部性质,
2,图象的特点
如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数～那么说函数
y=f（x）在这一区间上具有（严格的）单调性～在单调
区间上增函数的图象从左到右是上升的～减函数的
图象从左到右是下降的.
（3）.函数单调区间与单调性的判定方法
（A）定义法:
～x?
D～且x<
x,1任取x1212?
2作差f（x）,f（x）,12?
3变形,通常是因式分解和配方,,?
4定号,即判断差f（x）,f（x）的正负,,12?
5下结论,指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性,（?
（B）图象法（从图象上看升降）
（C）复合函数的单调性
复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x）～y=f（u）
的单调性密切相关～其规律:
‚同增异减?
注意:
函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单
调性相同的区间和在一起写成其并集.8（函数的奇偶性,整体性质,
1,偶函数
一般地～对于函数f（x）的定义域内的任意一个x～都有f（,
x）=f（x）～那么f（x）就叫做偶函数（
2,（奇函数
x）=—f（x）～那么f（x）就叫做奇函数（,3,具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称（利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1首先确定函数的定义域～并判断其是否关于原点对称,?
2确定f（,x）与f（x）的关系,?
3作出相应结论:
若f（,x）=f（x）或f（,x）,f（x）=0～?
则f（x）是偶函数,若f（,x）=,f（x）或f（,x），
f（x）=0～则f（x）是奇函数（
函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条
件（首先看函数的定义域是否关于原点对称～若不
对称则函数是非奇非偶函数.若对称～
（1）再根据定
义判定;
（2）由f（-x）?
f（x）=0或f（x）,f（-x）=?
1
来判定;
（3）利用定理～或借助函数的图象判定.9、函数的解析表达式
1,.函数的解析式是函数的一种表示方法～要求两个变量
之间的函数关系时～一是要求出它们之间的对应法
则～二是要求出函数的定义域.
2,求函数的解析式的主要方法有:
1）凑配法
2）待定系数法
3）换元法
4）消参法
10（函数最大,小,值,定义见课本p36页,
1利用二次函数的性质,配方法,求函数的最大,小,值?
2利用图象求函数的最大,小,值?
3利用函数单调性的判断函数的最大,小,值:
?
如果函数y=f（x）在区间[a～b]上单调递增～在区间[b～c]上
单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）,如果函数y=f（x）在区间[a～b]上单调递减～在区间[b～c]上
单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）,例题:
1.求下列函数的定义域:
2x,1xx,,2152?
y,,1（）y,x，1x，,33
22.设函数的定义域为～则函数的定义域为__fx（）[]01，fx（）
3.若函数的定义域为～则函数的定义域是fx
（1），fx（21）,[],23，
xx，,,2
（1）,,4.函数～若～则=x2fx（）3,fxxx（）（12）,,,,,,2
（2）xx,,
5.求下列函数的值域:
22?
x,[1,2]yxx,，,23yxx,，,23（）xR,
2（3）（4）yxx,,,12yxx,,，，45
26.已知函数～求函数～的解析式fx（）fx（21），fxxx
（1）4,,,
7.已知函数满足～则=。
fx（）fx（）2（）（）34fxfxx，,,，
38.设是R上的奇函数～且当时,,则当fx（）fxxx（）
（1）,，x,，,[0,）
时fx（）=x,,,（,0）
在R上的解析式为fx（）
9.求下列函数的单调区间:
222?
yxx,,,61yxx,,，，23yxx,，，23
310.判断函数的单调性并证明你的结论（y,,x，1
21，x111.设函数判断它的奇偶性并且求证:
（f（x）,f（）,,f（x）21,xx
第二章基本初等函数
一、指数函数
一,指数与指数幂的运算
n1（根式的概念:
一般地～如果～那么叫做的次方根～xanx,a*其中>
1～且?
（nnN
n,负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0～记作。
0,0
a（a,0）,nnnna,|a|,当是奇数时～～当是偶数时～nna,a,,a（a,0）,
2（分数指数幂
正数的分数指数幂的意义～规定:
mm,11nm**nn～a,a（a,0,m,n,N,n,1）a,,（a,0,m,n,N,n,1）mnmana
0的正分数指数幂等于0～0的负分数指数幂没有意义3（实数指数幂的运算性质
rrr，saa,a,1,〃
（a,0,r,s,R）
rsrs（a）,a,2,,（a,0,r,s,R）
rrs（ab）,aa,3,
（a,0,r,s,R）（
二,指数函数及其性质
x1、指数函数的概念:
一般地～函数叫做指数y,a（a,0,且a,1）
函数～其中x是自变量～函数的定义域为R（
指数函数的底数的取值范围～底数不能是负数、零和1（
2、指数函数的图象和性质
a>
10<
a<
1
66
55
44
33221111
-4-2246-4-224600-1-1定义域R定义域R值域y,0值域y,0在R上单调递增在R上单调递减
非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点,0～1,函数图象都过定点,0～1,
利用函数的单调性～结合图象还可以看出:
x,1,在[a～b]上～值域是[f（a）,f（b）]f（x）,a（a,0且a,1）
或,[f（b）,f（a）]
2,若～则,取遍所有正数当且仅当f（x）,1f（x）x,0
x,R,x,3,对于指数函数～总有f
（1）,a,f（x）,a（a,0且a,1）二、对数函数
一,对数
x1（对数的概念:
一般地～如果～那么数叫（a,0,a,1）xa,N
做以为底的对数～记作:
—底数～x,logNaaNa（（（—真数～—对数式,logNNa
说明:
1注意底数的限制～且,a,0a,1?
x2,a,N,logN,x?
a
logNa3注意对数的书写格式（?
两个重要对数:
1常用对数:
以10为底的对数,lgN?
2自然对数:
以无理数为底的对数的对数（e,2.71828？
lnN?
指数式与对数式的互化
幂值真数
b,N,blogN,aa
底数
指数对数
二,对数的运算性质
如果～且～～～那么:
a,0a,1M,0N,01?
〃，,log（MN）,logMlogNaaa
M2?
,logMlogNlog,aaaN
n3?
logM（n,R）（logM,naa
换底公式
logbclogb,,～且,～且,,（a,0a,1c,0c,1b,0alogac
利用换底公式推导下面的结论
1nn,1,,,2,（logb,logb,logbmaaalogamb,二,对数函数
1、对数函数的概念:
函数～且叫做对数函y,logx（a,0a,1）a
数～其中是自变量～函数的定义域是,0～+?
（x
1对数函数的定义与指数函数类似～都是形式定义～?
x注意辨别。
如:
～都不是对数函数～y,2logxlog2y,55而只能称其为对数型函数（2对数函数对底数的限制:
（a,0～且a,1）（?
2、对数函数的性质:
332.52.5221.51.511110.50.5-112345678-1123456780101-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5定义域x,0定义域x,0
值域为R值域为R
在R上递增在R上递减
函数图象都过定点,1～0,函数图象都过定点,1～0,
三,幂函数
1、幂函数定义:
一般地～形如的函数称为幂函数～y,x（a,R）
其中为常数（,
2、幂函数性质归纳（
1,所有的幂函数在,0～+?
都有定义并且图象都过点,1～
1,,
2,时～幂函数的图象通过原点～并且在区间上是[0,，,）,,0
增函数（特别地～当时～幂函数的图象下凸,当,,1
时～幂函数的图象上凸,0,,,1
3,时～幂函数的图象在区间上是减函数（在第一（0,，,）,,0
象限内～当从右边趋向原点时～图象在轴右方无yx
，,限地逼近轴正半轴～当趋于时～图象在轴上yxx
方无限地逼近轴正半轴（x
x1.已知a>
0～a0～函数y=a与y=log（-x）的图象只能是a
（）
4，log3log2232.计算:
;
=,2,1log27，2log2553log6427=;
25
1417,,03,0.75?
=3320.064,（,），[（,2）]，16，0.018
23.函数y=log（2x-3x+1）的递减区间为1
2
4.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍～[a,2a]f（x）,logx（0,a,1）a
则a=
1，x5.已知～,1,求的定义域,2,求使的fx（）fx（）0,fxaa（）log（01）,,,且a1,x的取值范围x
第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:
对于函数y,f（x）（x,D）～把使f（x）,0成
y,f（x）（x,D）立的实数叫做函数的零点。
x
2、函数零点的意义:
函数的零点就是方程实数y,f（x）f（x）,0
根～亦即函数的图象与轴交点的横坐标。
y,f（x）x
有实数根函数的图象与轴有交点即:
方程f（x）,0y,f（x）,x
函数有零点（y,f（x）,
3、函数零点的求法:
1,代数法,求方程的实数根,f（x）,0?
2,几何法,对于不能用求根公式的方程～可以将它与函数?
的图象联系起来～并利用函数的性质找出零y,f（x）
点（
4、二次函数的零点:
2二次函数（y,ax，bx，c（a,0）
2,1,?
,～方程有两不等实根～二次函数的图ax，bx，c,0
象与轴有两个交点～二次函数有两个零点（x
五、教学目标：
2,2,?
,～方程有两相等实根～二次函数的图ax，bx，c,0
象与轴有一个交点～二次函数有一个二重零点或二x
2.正弦：
阶零点（
4.坡度：
如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度（或坡比）。
用字母i表示，即2,3,?
,～方程无实根～二次函数的图象与xax，bx，c,0
轴无交点～二次函数无零点（
（1）三角形的外接圆:
经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.5.函数的模型
②顶点坐标：
（，）收集数据
⑥等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
画散点图
不选择函数模型符
合实
1、20以内退位减法。
际
定理:
不在同一直线上的三个点确定一个圆.（尺规作图）求函数模型
符合实际
（1）弧长公式:
弧长（R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数）用函数模型解释实际问题
检验
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