电磁感应线框问题.docx

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电磁感应线框问题

电磁感应线框问题

一、线框平动切割

所谓线框平动切割，通常是指矩形线框平动进入磁场切割磁感线而产生电磁感应现象。

中学阶段通常讨论的是线

框垂直磁感线平动切割。

1.水平平动切割

例1.如图所示，I、□为两匀强磁场区域，I区域的磁场方向垂直纸面向里，川区域的磁场方向垂直纸面向外，磁感强

度为B,两区域中间为宽为s的无磁场区域口，有一边长为L（L>s）、电阻为R的正方形金属框abcd置于I区域,ab边与磁场边界平行，现拉着金属框以速度v向右匀速移动。

⑴分别求出ab边刚进入中央无磁场区域□和刚进入磁场区域m时，通过ab边的电流大小和方向。

（2）把金属框从I区域完全拉入山区域过程中拉力所做的功。

（93'上海市高考试题）

[分析]

（1）金属框以速度v向右做匀速直线运动时，当ab边刚进入中央无磁场区域时，由于穿过金属框的磁通量减

小，因而在金属框中产生感应电动势，形成adcb方向的感应电流，其大小为I1=£i/R=BLv/R.

当ab的刚进入磁场区域m时，由于ab,dc两边都切割磁感线而产生感应电动势，其大小为£ab=£dc=BLv,方向

相反，故两电动势所对应的等效电源在回路中组成串联形式，因此，在线框中形成了adcb方向的感应电流，其大小为：

I2=（£ab+£dc）/R=2BLv/R

（2）金属线框从I区域完全拉入山区域过程中，拉力所做的功分为三个部分组成，其中一、三两部分过程中，金属框在

外力作用下匀速移动的位移均为s，第二部分过程中金属框在外力作用下增速移动的距离为（L—s）。

因金属框匀速运

动，外力等于安培力，所以

N=Wfe=W+W+W

又W=F1s=BI1Ls=（B2L2v/R）s

W=2F2（L—s）=2BI2L（L—s）=[4B2L2v/R]（L—s）

W=F3s=（B2L2v/R）s

因此整个过程中拉力所做的功等于：

W+W+W=[4B2L2v/R]（L—s/2）

[评述]本题所要求解问题，是电磁感应中最基本问题，但将匀强磁场用一区域隔开，并将其反向，从而使一个常规问题变得情境新颖，增加了试题的力度，使得试题对考生思维的深刻性和流畅性的考查提高到一个新的层次。

abcd,其边长为L,总电阻为R,

2、如图10-11所示，在光滑绝缘的水平面上有一个用一根均匀导体围成的正方形线框

图10-11

放在磁感应强度为B.方向竖直向下的匀强磁场的左边，图中虚线MN为磁场的左边界。

线框在大小为F的恒力作用下向右运动，其中ab边保持与MN平行。

当线框以速度vo进入磁场区域时，它恰好做匀速运动。

在线框进入磁场的过程中，

（1）线框的ab边产生的感应电动势的大小为E为多少？

（2）求线框a、b两点的电势差。

（3）求线框中产生的焦耳热。

12、解析：

（1）E=BLvo

（2）a、b两点的电势差相当于电源的外电压UabEIrabBLvo些0R-BLvo

R44

F所做的功等于线圈中产生的焦耳热，所以线圈中产

（3）解法一：

由于线圈在恒力F作用下匀速进入磁场区，恒力

生的热量为Q=W=FL

解法二：

线圈进入磁场区域时产生的感应电动势为

E=BLvo电路中的总电功率为p£线圈中产生的热量

R

2.斜向平动切割

例2.一边长为L的正方形金属线框（其截面积为S,电阻率为p）。

线框以速率v通过均匀磁场区域（线框平面始终与

x:

妃

日

X1

I

磁场垂直）速度的方向与水平方向成45°角。

如图所示，磁场区域宽度为a,长为b,磁感强度为.

c'XX

B。

⑴若b>L,a>L时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。

L：

X

⑵若b>L,avL时线框通过匀强磁场后释放多少焦耳热。

L、匚姑」

［分析］（i）线框进入磁场中因切割磁感线产生感应电流，并通过线框本身的电阻善**

而产生焦耳热。

由焦耳定律可得:

-

牛（s2/R）t①^厂女

由法拉第电磁感应定律可得：

e=BLvcos45°②

由电阻定律可得：

R=4p（L/S）

由于a>L,故产生的焦耳热的时间为:

t=2L/vcos45°④

解以上①②③④式可得：

牛（B2L2vS）/（2&Tp）

（2）当avL,b>L时，同理由焦耳定律可得：

牛（£2/R）t⑤

由法拉第电磁感应定律可得：

e=BLvcos45°⑥

由电阻定律可得：

R=4p（L/S）⑦

由于avL,故产生焦耳热的时间为：

t=2a/vcos45°⑧

解以上⑤⑥⑦⑧式可得：

牛（B2LavS）/（2p）

［评述］试题将常规的水平垂直进入磁场改为斜向进入磁场切割磁感线，并将线框宽度与磁场宽度分两种情况要求，不仅突出考查了同学对运动独立性原理的掌握情况，同时体现了对同学思维深刻性和灵活性的考核。

3.竖直平动切割

例3.用密度为D,电阻率为p的导线做正方形线框。

线框平面在竖直平面内从高处自由落下，初速度为零，有一沿

（B2L2S」霸）/4LP=4DLSg

所以得：

h=128D2p2g/B4

［评述］该题是一道综合性较大的题目，考查了同学正确解答本题所需六个方面的知识点，突出对同学分析能力和综合能力的考查。

一、导体线框运动与图像综合

例题1、如图所示，等腰三角形内分布有垂直于纸面向外的匀强磁场，它的底边在x轴上且长为2L,高为L.纸面内

一边长为L的正方形导框沿x轴正方向做匀速直线运动穿过磁场区域，在

时针方向为导线框中电流的正方向，在下面四幅图中能够正确表示电流一位移

t=0时刻恰好位于图中所示的位置.以顺

（I—x）关系的是

（）

【角车析】线框进入磁场的过程中，线框的右边做切割磁感线运动，产生感应电动势，从而在整个回路中产生感应

电流，由于线框做匀速直线运动，且切割磁感线的有效长度不断增加，其感应电流的大小不断增加，由右手定则，可

判定感应电流的方向是顺时针的；线框全部进入磁场后，线框的左边和右边同时切割磁感线，当

3

x<^L时，回路中的

3

感应电流不断减小，由右手定则可判定感应电流的万向是顺时针；当]L

应电流的方向是逆时针.线框出磁场的过程，可依照同样方法分析.

【答案】A

例题2在质量为M=1k册小车上，竖直固定着一个质量为m=0.2kg，高h=0.05m、总电阻R=100Q、n=100匝矩形线圈，且

小车与线圈的水平长度I相同。

现线圈和小车一起在光滑的水平面上运动，速度为v1=10m/s,随后穿过与线圈平面垂直，磁感应强度B=1.0T的水平有界匀强磁场，方向垂直纸面向里，如图

（1）所示。

已知小车运动（包括线圈）的速度v

随车的位移s变化的vs图象如图⑵所示。

求：

（1）小车的水平长度l和磁场的宽度d

（2）小车的位移s10cm时线圈中的电流大小I以及此时小车的加速度a

（3）

线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量

nBhv2

【解析】

（1）由图可知，从s5cm开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度V随位移s减小，当s15cm时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动。

因此小车的水平长度l10cm。

当s30cm时,线圈开始离开磁场，则d（305）cm25cm

⑵当s10cm时，由图象中可知线圈右边切割磁感线的速度v28m/s

I

由闭合电路欧姆定律得线圈中的电流

10010.058人八人

IA0.4A

解得

v32m/s

o

（3）由图象可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度为

线圈进入磁场和离开磁场时，克服安培力做功，线卷的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热。

Q^（Mm）（v2v2）

解得线圈电阻发热量Q=57.6J

二、导体线框运动与电路综合

例题2、用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同

的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图所示.在每个线框进入磁场的过程中,

MN两点间的电压分别为Uk、Ub、UC和U.下列判断正确的是（）

A.Ukvlb

例题3、

（zoiL*南鱼模枢）加圄甲所示・inrcr为一足够长的先暑站培制面，e区国应律在方向垂宜卦面的句喉晰场「刷场边界ef、hg与料面富边曲（S末平面内〉平行.一正方形会成框"况日袖在粉面上■微谄平行于席场诂暮，叫符命属匝"斜商卜旱好恒㈱Jtl衬，金甬喉MTT的-云动篇升财旧的国轻中，区世虬的hn便蒙扣囹己所示-已知金寓枢电匣为％岸里为相lt]lu注蜜为g，囹M由金屋起走"俄昏中朗刽屋时世的斐度均为已加Bt就1

⑵金^Ucc边到W境场边界EF莉I南耳的加史腰；

（3）主里柯字过谜匡H直中产生的0耳垠-

解：

tt1由囹M可知，在。

~\时间肉金属恒后动的加深度

V|

au—

X

处制而扶怖菌A由牛质一篦二庄律肓"三度戏nB

七

廓诣sinO=—

在七时间内金属框匀谨进入磁场，期1舟巧、

在时间内，金溟椎运的校秽

111

£

U3.土5叩]

则磁或的荒度（1=1:

十片一^

2｝有tM刻主建15、边到祉EFliJ界时前职度为彳一・役此此出座度大小为时，

££Z

由地切割磁场产兰的匿成势E=E1『UA

爷判拘壹企力F=—2

R.

由牛/藕二定律F-mgsitiE=*a.A

舍匡拒浒X,瑜弟月5静=」"「勺

『1

加序度方向沿羽面向上，

（35全属框水七时胡遇昉到t.肽列离开磁塌的过起中・曲巾北关兼馆用矶混匕）・£境8=!

责启一小"十。

船禅尸勒】*-%疽地

变式训练3、如图所示,一边长L=0.2m质量m1=0.「5kg、电阻R=0.1Q的正方形导体线框abcd，与一质量为m>=2

kg的物块通过轻质细线跨过两定滑轮相连.起初ad边距磁场下边界为d1=0.8m,磁感应强度B=2.5T,磁场宽度d2=0.3

m,物块放在倾角0=53。

的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数=0.5.现将物块由静止释放，经一段时间后发现当ad

边从磁场上边缘穿出时，线框恰好做匀速运动.（g取10m/s2,sin53°=0.8,cos53°=0.6）求:

（1）线框ad边从磁场上边缘穿出时绳中拉力的功率

（2）

线框刚刚全部进入磁场时速度的大小；

（3）整个运动过程中线框产生的焦耳热.

【解析】

（1）由于线框匀速出磁场，则

对m有:

m2gsin0-mgcos0-Ft=0得Ft=10N

对m1有:

FT-m1rg-BIL=0又因为|=BU

R

联立可得：

v=2m/s

所以绳中拉力的功率P=Ftv=20W

⑵从线框刚刚全部进入磁场到线框ad边刚要离开磁场，由动能定理得

FRd2-L）-m〔g（d2-L）=-（m1+m?

）v2-Ek

且Ek=1（m1+m2）v02

2

代入数据解得V0=1.9

m/s.

（3）

从初状态到线框刖则完全出雌场.由能削转化与守恒定律可得三

将数值代入有：

2Midxo,a-C.6X2X10X0.6）X（0.S+0.3+0.2）-0.5^10^

四、导体线框运动与能量综合

⑵方框下落加速度为g时，有：

2

mg旧2Lmg,则：

I皿竺

24BLB

方框的发热功率：

pi2r4AL?

g

B2

⑶根据能量守恒定律，有

12.2—

mgh一mvtI0Rt

2

|0JRFF

解得怛定电流I0的表达式:

I0A（*gh2v。

…-4d

正确答案是：

（1）vm匕厂g

22

（2）P

.24ALdg

IR5

B2

⑶I。

3如图（a）所示，斜面倾角为37。

，一宽为

d=0.43m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与斜面底边平行。

在斜面上由静止释放一长方形金属线框，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。

取斜面底部为零势能面，从线

框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移s之间的关系如图（b）所示，图中①、②均为直

线段。

已知线框的质量为m=0.1kg，电阻为R=0.06Q,重力加速度取g=10m/s2,sin37=0.6,cos37=0.8。

（1）求金属线框与斜面间的动摩擦因数短

（2）求金属线框刚进入磁场到恰完全进入磁场所用的时间t;

（3）求金属线框穿越磁场的过程中，线框中产生焦耳热的最大功率Pm；

（4）请在图（c）中定性地画出：

在金属线框从开始运动到完全穿出磁场的过程中，线框中感应电流I的大小随时间

只J0■SI■■IIBMIIIIMlUdlBIMJII

（2）i属螳框避人.雄冶的谊程中，喊小由机械能等于宜服陛爆力和安捂力所做的由，巩械毙仇均为破小，区臼安1…-『-…•…“一•

懵刀也为恒力•故抵梅做勺速运动,已

BvZ=2asHMtia=esin37"-眼cog37‘至Me*

可解司拔偃用进蹴场时的匹度大小为；v,=L2n/a

ae2=t„+v

出圈知：

£1E?

=（C.TB6-0-656）J=Q.DSJil+F^JiBSinJT*=0.5Bf电为姓框的制辿五・即携框进入解场的程运幼的距廉，可来出

s-=0„J5n

'1flII%

故二三s=U.I25s

Vj1.£.

zJQ2

5fv

<3）线框出刖出蹴易时哽度最大，绿框竹的尊耳热由窣缺大，且F_lI?

E=-芝

A

由可广（d-气）可求得矿=1+6n/s

根据洗框匀i更进入礴场明，F鸟却umwW=nEsin37Q，

可天出F^=L2N：

22

又因为L=BIL=-''L司隶出展『=0,OlMi?

>，?

将马、略1?

的值代入巳=全，可尿出七=土4孙

R

g>囹玺如囹所示，

0.如图甲所示，一个质量m=0.1kg的正方形金属框总电阻R=0.5Q金属框放在表面绝缘且光滑的斜面顶端（金属

框上边与AA重合），自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB平行、宽度为d的匀强磁场后

滑至斜面底端（金属框下边与BB重合）,设金属框在下滑过程中的速度为v,与此对应的位移为s,那么v2-s图象（记

录了线框运动全部过程）如图乙所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上。

试问：

（g取10m/s2）

（1）根据v2—s图象所提供的信息，计算出金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为多少？

（2）匀强磁场的磁感应强度多大？

（3）现用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金属框上，

使金属框从斜面底端BB'金属框下边与BB重合）由静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后到达斜面顶端（金属框

1,S2,S3对应的时间分别为ti,t2,t3

上边与AA'重合）。

试计算恒力F做功的最小值。

&

0.9m

v°0

s2

1.0m

v13m/s

、3

1.6m

初速v〔3m/s末速度v3=5m/s

匀加速运动

由v2s图可知，物体运动可分为三段，设位移分别为S

（1）s

线框通过磁场时，线框作匀速运动，线框受力平衡

在AAa'a区域，对线框进行受力分析

mgsin=ma1

穿过磁场区域时，F安BIL=mgsin

BLv〔

BLma1

R

解得B—T

3

（3）设恒力作用时金属框上边进入磁场速度为V,

12

-mV

2

又由mgsin解得V16m/sF-3，

12

由于一mVmgs〔sin,所以穿过磁场后，撤去外力，物体仍可到达顶骊。

2

所以力F做功为

WF（s2s3）

25（1.61）3.6J

18

产生的电动势E'=2BLv',

电磁感应线框压轴题分类之交错磁场问题（注意两条边都切割）

1如图所示，在倾角为。

的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，其中一个的方向垂直斜面向下，另一个的方向垂直斜面向上，宽度均为L.

个质量为m边长为L的正方形线框以速度v刚进入上边磁场时恰好做匀速直线运动，当ab边到达gg'和ff'的中间位置时，线框又恰好做匀速直线运动.问：

线框从开

始进入上边的磁场至ab边到达gg'和ff'中间位置时，产生的热量为多少？

B212v

解析：

当ab边刚进入上边磁场时，做匀速直线您动，有mgsin0=

R

在ab边越过ff'时，线框的两边ab和cd同时切割磁感线，当再次做一匀速直线运动时,

mgsin0=4BLv，所以有v

R

=v/4

+%.

32

由能量守恒得：

Q=mg・3Lsin

2

°+1mC-1mv2=2mgLsine

222

2如图所示，轻绳绕过轻滑轮连接着边长为L的正方形导线框

为R,质量为M物块氏的质量为m（M>m,两匀强磁场区域强度均为B,方向水平与线框平面垂直。

线框ab边距磁场边界高度为ho开始时各段绳都

处于伸直状态，把它们由静止释放，ab边刚穿过两磁场的分界线CC^入磁场II时线框做

匀速运动。

求：

（1）

（2）

（3）

A和物块A,线框A1的电阻

I、II的高度也为L,磁感应

解：

（1）

ab边刚进入磁场I时线框A的速度vi；

ab边进入磁场II后线框A所受重力的功率P；

从ab边刚进入磁场II到ab边刚穿出磁场II的过程中，线框中产生的焦耳热Q

12

Mghmgh—（Mm）v1①

2

由机械能守恒定律，有:

解得：

v1

（2）设线框

E2BLv2

■2（Mm）ghMm

ab边进入磁场II时速度为v2,则线框中产生的电动势:

③

线框中的电流

E

2BLv

R

R

F

2IBL

2

线框受到的安培力

2.2

4BLv2

R

设绳对A、氏的拉力大小为T则：

对A:

T+F=Mg

对A:

T=mg

6）

cr.

联立⑤⑥⑦解得：

v2

M（M

PMgv2

（Mm）Rg

—2,2

4BL

、—2

m）Rg

4B2L2

（3）从ab边刚进入磁场II到ab边刚穿出磁场II的此过程中线框一直做匀速运动，根据能量守恒得：

Q（Mm）gL⑩

3.如图所示，间距为L的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为。

，导轨光滑且电阻忽略不计.场强为B的条形

匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1,间距为d2.两根质量均为m有效电阻均为R勺导体棒a和b放在

导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度为g）

（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△E<.

（2）

若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个

磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进

入第2个磁场区域.且a.b在任意一个磁场区域或无磁

场区域的运动时间均相.求b穿过第2个磁场区域过程

中，两导体棒产生的总焦耳热Q.

（3）对于第

（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个

磁场区域时的速率v。

解析：

（1）a和b不受安培力作用，由机械能守恒定律知，

Ekmgd1sin……①

（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为

离开无磁场区域时的速度为v2,

能量守恒知：

在磁场区域

12

Q-mv2mgd1sin

2

4如图所示，两平行光滑的金届导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L,处丁竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=B.导轨左端MP间接一电阻R,

质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电阻.现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右做匀速直线运动并穿越n个磁场区域.

（1）求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q;

（2）求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；

⑶规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时问t变化的图象；

（4）若n为奇妁，涌讨电阻R的涌亶荷肇［二第2二碧

△牝

若n为傕犹，浦的电BER的:

争由荷通q=京上二0

5.如图所示，倾角为370的光滑绝缘的斜面上放着M=1kg的U型导轨abcd,ab//cd。

另有一质量m=1kg的金属棒EF

平行bc放在导轨上，EF下侧有绝缘的垂直于斜面的立柱P、S、Q挡住EF使之不下滑。

以OO为界，下部有一垂直

上，导轨和斜面足够长。

当剪断细线后，试求:

V

-jiirtOT*-|l^flEO*37*-h卜）

当>旭号如的易士:

吏常，晶大源晴加；

V-%~i

（3）设导勃下我币ifid时达到缺*津度，则有；

q=J=藤淳；d-Gm.蜀茎缢用壁古恒吏佳俾;

si2C

11

HgdsinST^

代A洲棚箭涅：

AE_-20-02J

例5:

在如图所示的倾角为。

的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小为

强磁场，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域II的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽

度均为L,一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下

滑，当ab边刚越过GH进入磁场I区时，恰好以速度v〔做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度V2做匀速直线运动，从ab进入GH到

MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量为△Ek,重力对线框做功大小为Wi,安培力对线框做功大小为W2,

卜列说法中正确的有

A.在下滑过程中，由于重力做正功，所以有V2>V1

B.从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，机械能守恒

C.从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程，有（Wi一△Ek）机械能转化为电能

D.从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小为△Ek=Wi-W2

解析：

当线框的ab边进入GH后匀速运动到进入JP为止，ab进入JP后回路感应电动势增大，感应电流增大，因此所受安培力增大，安培力阻碍线框下滑，因此ab进入JP后开始做减速运动，使感应电动势和感应电流均减小，

安培力又减小，当安培力减小到与重力沿斜面向下的分力mgsin。

相等时，以速度V2做匀速运动，因此v2

由于有安培力做