鲁教版五四制八年级数学上册《第5章 平行四边形》.docx
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鲁教版五四制八年级数学上册《第5章平行四边形》
《第5章平行四边形》
一、选择题
1．以下平行四边形的性质错误的是（ ）
A．对边平行B．对角相等
C．对边相等D．对角线互相垂直
2．在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是（ ）
A．105°B．115°C．125°D．65°
3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BCB．AB=AD，CB=CDC．AB=CD，AD=BCD．∠B=∠C，∠A=∠D
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为（ ）
A．28°，120°B．120°，28°C．32°，120°D．120°，32°
5．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）
A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°
6．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．11个
7．若▱ABCD的周长为28cm，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（ ）
A．11cmB．5.5cmC．4cmD．3cm
8．在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（ ）
A．110°B．30°C．50°D．70°
9．关于四边形ABCD：
①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．③④
10．在平行四边形ABCD中，∠A：
∠B：
∠C：
∠D的值可以是（ ）
A．1：
2：
3：
4B．3：
4：
4：
3C．3：
3：
4：
4D．3：
4：
3：
4
11．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为（ ）
A．6＜AC＜10B．6＜AC＜16C．10＜AC＜16D．4＜AC＜16
12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是（ ）
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC
②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．
A．3个B．4个C．1个D．2个
二、填空题
13．一组对边平行且相等的四边形一定是 形．
14．已知平行四边形的周长是100cm，AB：
BC=4：
1，则AB的长是 cm．
15．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 ．
16．▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，则BC= cm；当∠B=60°时，AD、BC间的距离AE= cm，▱ABCD的面积S▱ABCD= cm2．
17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B= 度，∠CAD= 度．
18．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 ．
19．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是 四边形．
20．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 ．
三、解答题
21．如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？
说明理由．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求AC、OA以及平行四边形ABCD的面积．
23．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB．求证：
OE∥BC．
24．如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于O点，M、N分别是OA、OC的中点，求证：
BM∥DN且BM=DN．
25．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，求证：
AF=
CF．
26．如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
求证：
（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
27．如图所示：
在四边形ABCD中，AD∥BC、BC=18cm，CD=15cm，AD=10cm，AB=12cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以2cm/秒的速度由A向D运动，点Q以3cm/秒的速度由C向B运动．
（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？
并求出此时四边形ABQP的周长
（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？
并求出此时四边形PDCQ的周长．
《第5章平行四边形》
参考答案与试题解析
一、选择题
1．以下平行四边形的性质错误的是（ ）
A．对边平行B．对角相等
C．对边相等D．对角线互相垂直
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的概念（有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）和平行四边形的性质进行判断．
【解答】解：
A、平行四边形的对边相互平行，故本选项不符合题意；
B、平行四边形的对角相等，故本选项不符合题意；
C、平行四边形的对边相等，故本选项不符合题意；
D、平行四边形的对角线相互平分，但不一定互相垂直，故本选项符合题意；
故选：
D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质：
①边：
平行四边形的对边相等．
②角：
平行四边形的对角相等．
③对角线：
平行四边形的对角线互相平分．
2．在平行四边形ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是（ ）
A．105°B．115°C．125°D．65°
【考点】平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线性质推出∠A+∠D=180°，即可求出答案．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，
∴∠D+∠A=180°，
∵∠A=65°，
∴∠D=115°．
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，关键是推出∠A+∠D=180°，题目比较典型，难度不大．
3．下列给出的条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BCB．AB=AD，CB=CDC．AB=CD，AD=BCD．∠B=∠C，∠A=∠D
【考点】平行四边形的判定．
【专题】推理填空题．
【分析】平行四边形的判定定理①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，判断即可．
【解答】解：
A、
根据AD∥CD，AD=BC不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据AB=AD，BC=CD，不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD=BC，得出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、根据∠B=∠C，∠A=∠D不能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了对平行四边形的判定定理的应用，关键是能熟练地运用平行四边形的判定定理进行推理，此题是一道比较容易出错的题目．
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为（ ）
A．28°，120°B．120°，28°C．32°，120°D．120°，32°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，易得∠B=∠D，∠BAD+∠D=180°．即可求得∠ABC、∠CAB的度数．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠BAD+∠D=180°，
∵∠D=120°，∠CAD=32°，
∴∠ABC=∠D=120°，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠BAD﹣∠CAD=60°﹣32°=28°．
故选B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行，对角相等，熟记性质是解题的关键．
5．如图，在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）
A．∠1+∠2=180°B．∠2+∠3=180°C．∠3+∠4=180°D．∠2+∠4=180°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质可知，A、B、C正确，因为平行四边形的两组对角分别相等，所以∠2+∠4=180°不一定正确，只有当四边形是矩形时才正确．
【解答】解：
由▱ABCD的性质及图形可知：
A、∠1和∠2是邻补角，故∠1+∠2=180°，正确；
B、因为AD∥BC，所以∠2+∠3=180°，正确；
C、因为AB∥CD，所以∠3+∠4=180°，正确；
D、根据平行四边形的对角相等，∠2=∠4，∠2+∠4=180°不一定正确；故选D．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
6．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．11个
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据平行四边形的定义即可求解．
【解答】解：
根据平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，则图中的四边DEOH、DEFC、DHGA、BGOF、BGHC、BAEF、AGOE、CHOF和ABCD都是平行四边形，共9个．
故选C．
【点评】本题可根据平行四边形的定义，直接从图中数出平行四边形的个数，但数时应有一定的规律，以避免重复．
7．若▱ABCD的周长为28cm，△ABC的周长为17cm，则AC的长为（ ）
A．11cmB．5.5cmC．4cmD．3cm
【考点】平行四边形的性质．
【专题】计算题．
【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）=28，则AB+BC=14cm，而△ABC的周长=AB+BC+AC=17，继而求出AC的长．
【解答】解：
如图：
∵▱ABCD的周长是28cm，
∴AB+BC=14cm．
∵△ABC的周长是17cm，
∴AC=17﹣（AB+AC）=3cm．
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择的使用，避免混淆性质，以致错用性质．
8．在平行四边形ABCD中，∠B=110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F=（ ）
A．110°B．30°C．50°D．70°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】要求∠E+∠F，只需求∠ADE，而∠ADE=∠A与∠B互补，所以可以求出∠A，进而求解问题．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠ADE=180°﹣∠B=70°
∵∠E+∠F=∠ADE
∴∠E+∠F=70°
故选D．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．
9．关于四边形ABCD：
①两组对边分别相等；②一组对边平行且相等；③一组对边平行且另一组对边相等；④两条对角线相等．以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）
A．①②③④B．①③④C．①②D．③④
【考点】平行四边形的判定．
【分析】由平行四边形的判定定理得出①和②能判定四边形ABCD是平行四边形；③和④不一定能判定四边形ABCD是平行四边形；即可得出结论．
【解答】解：
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴①能判定；
∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴②能判定；
∵一组对边平行且另一组对边相等的四边形是梯形，不一定是平行四边形，
∴③不一定能；
∵两条对角线相等的四边形不一定是平行四边形，
∴④不一定能；
以上四种条件中，可以判定四边形ABCD是平行四边形的有①②；
故选：
C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定方法；熟练掌握平行四边形的判定方法，不能进行推理论证是解决问题的关键．
10．在平行四边形ABCD中，∠A：
∠B：
∠C：
∠D的值可以是（ ）
A．1：
2：
3：
4B．3：
4：
4：
3C．3：
3：
4：
4D．3：
4：
3：
4
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的基本性质：
平行四边形的两组对角分别相等即可判断．
【解答】解：
根据平行四边形的两组对角分别相等．可知选D．
故选D．
【点评】主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
11．平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围为（ ）
A．6＜AC＜10B．6＜AC＜16C．10＜AC＜16D．4＜AC＜16
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据平行四边形周长公式求得AB、BC的长度，然后由三角形的三边关系来求对角线AC的取值范围．
【解答】解：
∵平行四边形ABCD的周长32，5AB=3BC，
∴2（AB+BC）=2（
BC+BC）=32，
∴BC=10，
∴AB=6，
∴BC﹣AB＜AC＜BC+AB，即4＜AC＜16．
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形三边关系．三角形三边关系：
三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
12．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，按下列条件得到的四边形BFDE是平行四边形的个数是（ ）
①图甲，DE⊥AC，BF⊥AC
②图乙，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC
③图丙，E是AB的中点，F是CD的中点
④图丁，E是AB上一点，EF⊥AB．
A．3个B．4个C．1个D．2个
【考点】平行四边形的判定与性质．
【分析】①由DE⊥AC，BF⊥AC，可得DE∥BF，又由四边形ABCD是平行四边形，利用△ACD与△ACB的面积相等，即可判定DE=BF，然后由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证得四边形BFDE是平行四边形；
②由四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，易证得△ADE≌△CBF，则可判定DE∥BF，DE=BF，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
③由四边形ABCD是平行四边形，E是AB的中点，F是CD的中点，易证得DF∥BE，DF=BE，继而证得四边形BFDE是平行四边形；
④无法确定DF=BE，只能证得DF∥BE，故不能判定四边形BFDE是平行四边形．
【解答】解：
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ACD=S△ABC，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，S△ACD=
AC•DE，S△ABC=
AC•BF，
∴DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，AD=CB，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴DE=BF，∠AED=∠BFC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形；
③证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB的中点，F是CD的中点，
∴DF=
CD，BE=
AB，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形；
④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E是AB上一点，EF⊥AB，
无法判定DF=BE，
∴四边形BFDE不一定是平行四边形．
故选A．
【点评】本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理的应用是解此题的关键．
二、填空题
13．一组对边平行且相等的四边形一定是 平行四边 形．
【考点】平行四边形的判定．
【分析】直接利用平行四边形的判定方法：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出答案即可．
【解答】解：
一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形．
故答案为：
平行四边．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，正确掌握平行四边形的判定方法是解题关键．
14．已知平行四边形的周长是100cm，AB：
BC=4：
1，则AB的长是 40 cm．
【考点】平行四边形的性质．
【专题】方程思想．
【分析】如图：
因为四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得AB=CD，AD=BC，又因为平行四边形的周长等于100cm，AB：
BC=4：
1，所以可求得这个平行四边形较长的边长的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形的周长等于100cm，
∴AB+CD+AD+BC=100cm，
∴AB+BC=50cm，
∵AB：
BC=4：
1，
∴BC=10cm，AB=40cm，
∴AB的长是40cm．
故答案为40．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等．注意解此题需要利用方程思想．
15．在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，则这个平行四边形中两邻角的度数分别是 120°，60° ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质，在平行四边形中，若一个角为其邻角的2倍，设一个角x，由四边形的内角和定理得到方程2x+4x=360°，解得x=60°，则它的邻角是2x=120°
【解答】解：
设一个角x，则另一个角为2x．
∵平行四边形
∴2（x+2x）=360°，即x=60°，则2x=120°
∴这个平行四边形中两邻角的度数分别是120°，60°．
故答案为120°，60°．
【点评】本题考查平行四边形的性质以及四边形的内角和定理．运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．
16．▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，则BC= 10 cm；当∠B=60°时，AD、BC间的距离AE= 4
cm，▱ABCD的面积S▱ABCD= 40
cm2．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】首先根据平行四边形对边相等的性质可求得BC的长度，又由∠B=60°，即可求得AD与BC的距离AE的长，继而求得S□ABCD的值．
【解答】解：
∵▱ABCD的周长为36cm，AB=8cm，
∴CD=AB=8cm，AD=BC=10cm，
∵∠B=60°，AE⊥BC，
∴∠BAE=30°，
∴BE=
AB=4（cm），
∴AE=
=4
（cm），
∴S□ABCD=BC•AE=10×4
=40
（cm2）．
故答案为：
10；4
；40
．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握平行四边形的性质是关键．
17．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B= 60 度，∠CAD= 30 度．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用锐角三角关系得出∠B=60°，再利用平行四边形的性质得出∠DAC的度数．
【解答】解：
∵在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，
∴cosB=
=
，
∴∠B=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BAD=120°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=30°．
故答案为：
60，30．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及锐角三角关系，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．
18．如图，D，E，F分别是△ABC的AB，BC，CA边的中点．若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 10 ．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的中位线定理，可得△ABC的各边长为△DEF的各边长的2倍，从而得出△DEF的周长即可．
【解答】解：
∵点D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴AB=2EF，AC=2DE，BC=2DF，
∵AB+AC+BC=20，∴DE+EF+DF=10，
故答案为10．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，是基础知识要识记．
19．已知a、b、c、d为四边形的四边长，a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形一定是 平行 四边形．
【考点】因式分解的应用．
【分析】首先配方可得（a﹣b）2+（c﹣d）2=0，再根据偶次幂的非负性可得a﹣b=0，c﹣d=0，进而得到a=b，c=d，然后再根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得答案．
【解答】解：
∵a2+b2+c2+d2=2ac+2bd
∴a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣2bd=0
∴（a﹣b）2+（c﹣d）2=0
解得：
a=b，c=d，
∴这个四边形的形状是平行四边形．
故答案为：
平行．
【点评】此题主要考查了因式分解的运用，平行四边形的判定，关键是掌握完全平方公式和平行四边形的判定方法．
20．如图所示，▱ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为 7 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】由平行四边形可得对边相等，由折叠，可得AE=EF，AB=BF，结合两个三角形的周长，通过列方程可求得FC的长，本题可解．
【解答】解：
设DF=x，FC=y，
∵▱ABCD，
∴AD=BC，CD=AB，
∵BE为折痕，
∴AE=EF，AB=BF，
∵△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，
∴BC=AD=8﹣x，AB=CD=x+y，
∴y+x+y+8﹣x=22，
解得y=7．
故答案为7．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及图形的翻折问题；解决翻折问题的关键是找着相等的边，利用等量关系列出方程求得答案．
三、解答题
21．如图，在▱ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？
说明理由．
【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形，可以证明四边形AECF是平行四边形，从而得到AE=CF．
【解答】解：
AE=CF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥EC．
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AE=CF．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四
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