五种插值法的对比研究Word文档格式.docx
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最后使用MATLAB软件的编程实现，绘制出不同插值法下的函数曲线，从几何上再次进行对比，得出结论。
通过此次论文的写作，我对于插值法有了更深的理解和认知，对于今后插值法的选择也会更加容易权衡把握。
关键词：
插值法；
对比；
插值函数；
多项式
Abstract:
Interpolationisoneofthemostbasicmethodsinnumericalanalysis.Therearemanyfunctionsinpracticalproblems,somegivenoexpression,someonlysupplydiscretedata.Soweonlyfinditagainfromtheadjacentnumbernexttofinditscorrectvalueandaccordingtoacertainrelationshiptotheadjacentnumbercorrected.Thecorrectrelationshipisaninterpolationinfact.Inpracticalapplications,theeffectofapproximationisalsodifferentwhendifferentinterpolationfunctionsareused.Wehavecontactedfivebasicinterpolationmethods,suchasLagrangeinterpolation,Newtoninterpolation,piecewiselinearinterpolation,piecewisethreeHermiteinterpolationandsplineinterpolationfunction.Firstly,thispaperintroducesthebasicconceptsandideastosolveproblemsoffivekindsofinterpolationmethods.Andthenthroughthecomparativeanalysisoftheadvantagesanddisadvantagesofdifferentinterpolationmethodsintheprocessofsolvingtypicalproblems.Finally,usingMATLABsoftwareprogramming,drawdifferentinterpolationmethodoffunctioncurve,fromgeometryagaincontrast,drawconclusions.Throughthewritingofthispaper,Ihaveadeeperunderstandingandrecognitionoftheinterpolationmethod,anditwillbeeasiertobalanceandselectwhichinterpolationmethodstouseinthefuture.
KeyWords:
Interpolationmethodcomparisoninterpolationfunctionpolynomial
1导言
1.1选题背景
插值方法最早来源于生产实践，作为一种数学方法，其经历了漫长的历史考验与证实。
早在数千多年前，我们的祖先就凭借插值方法，利用已知的少部分日月五星运行规律的观测值获得了相对较完整的运行规律。
在一千多年前的隋唐时期，中国的贤能之士就将插值技术应用到了制定历法的过程中。
而到公元六世纪时，隋朝的刘焯又把等距节点的二次插值应用于天文计算中。
在16-19世纪，多项式插值被用来解决航海学和天文学的一些重要问题。
十七世纪时，牛顿（Newton）和格雷格
里（Gregory）建立了等距结点上的一般插值公式，后来拉格朗日（Lagrange）建立
出了非等距结点插值公式。
在微积分产生并且广泛应用之后，插值的基本理论和结果随之有了进一步的完善，之后其应用也越来越广泛，尤其是在计算机普遍使用之后，插值法在各领域中的地位也越来越重要，与此同时自身也得到了发展。
经典的插值方法是基于泰勒插值（Taylor）和拉格朗日插值的，其实Taylor插值与拉格朗日插值的联系十分密切，即拉格朗日插值的极限形式可以视为Taylor插
值，反之，Taylor插值的离散化形式就是拉格朗日插值。
我们在建立拉格朗日插值多项式时很是简单方便，但一旦节点增加，就不能再使用原来的多项式计算，需要重新建立新的多项式，这无疑使计算变得繁琐起来，而Newton（牛顿）插值就克服
了这一问题。
此外根据实际问题，插值法的应用在很多情况下都需要尽量满足插值函数与原函数相差无异的前提，即要求在节点上插值函数与被插值函数的函数值和导数值都是相等的，也就是另一种插值法，Hermite（埃尔米特）插值法。
事实上，
我们把Taylor插值和拉格朗日插值进行联系融合就能总结出Hermite（埃尔米特）插
值，这也推广了前两种插值法。
现在，插值技术的应用在很多领域得到了普及，当我们需要认识某一事物的本质时，常根据其观测点，利用插值技术对特定问题进行深入拓展和解决，以加深对该事物的认识。
多项式插值是函数插值中最常用的一种形式。
在一般的插值问题中，插值条件可以唯一地确定一个次数不超过n的插值多项式。
从几何上可以解释为：
可以从多项式曲线中找出一些不超过n次的点通过平面上n•1个不同的点。
插值多项式有两种常用的表达式形式，一种是拉格朗日插值多项式，另一种是牛顿插值多项式，此外拉格朗日插值公式与牛顿插值公式永远相等。
此外，在进行高阶次插值时常常出现不稳定的情况，而采用样条插值和分段线性插值法就可以防止这类情况的发生。
分段线性插值或分段三次埃尔米特插值等此种分段低次插值法可以使逼近效果加强，但却整体光滑而不收敛。
为此，引入了更理想化的三次样条插值法。
1.2研究的目的和意义
在数值分析中，对于插值函数的学习是必不可少的，因为它能辅助我们把模糊的数据准确化，把想当然的数据变得无懈可击。
但是对于五种插值函数，他们具有不同的优势和适用范围，五种方法对同一问题的处理的结果一定不同，这时对于方法的选择显得至关重要。
因此我们对于他们差异化的了解与认知是必不可少的。
通过此篇论文的对比研究，我希望不但可以给数值分析领域中的学习者一些帮助和启示甚至让他们在求知的路上少些磕绊，也能推动一些运用到插值函数知识的社会工作领域的工作者的职业进步。
2五种插值法
2.1拉格朗日插值
拉格朗日是n次多项式插值，解题方法是先构造插值基函数再求n次插值多项
式。
对Lagrangen次插值多项式，首先要选取n1个插值点x。
/,……xn上的n次插
值基函数，
（X—X0）...（X—X」）（x—Xi1）...（X—Xn）
li（X）=
（Xi—X°
）...（Xi—Xi_1）（Xi—Xi十）…（Xi—Xn）
（i=0,1,2…,n）有了这n1个n次插值基函数，就能很容易的写出n次Lagrange插值
n
多项式了，其具体的表达式为Ln（x）=f（人儿（x）⑴。
i=0
拉格朗日插值原理：
表1插值数值表
Xi
X。
X1
x2.
Xn
f（x）
f（X0）
f（xj
f（X2）
f（Xn）
Lagrange插值的方法是：
对于给定的n个插值节点乂0,人,xn和对应的函数值y0,y1,y2,……,yn，我们利用n次Lagrange插值多项式，可以对插值区间上任意的x对应的函数值y利用下式Ln（x）来求解。
表1中的n次Lagrange插值多项式Ln（x）的数学表达式为：
中，（x）=（x—x0）（x—Xj...（x—Xn）。
2.2牛顿插值
牛顿插值也是n次多项式插值，提出了构造插值多项式的另一种方法。
它具有继承性和易变化节点的特点。
牛顿插值原理：
Newton插值的方法：
由表1构造的牛顿插值多项式为：
N（X）=f（Xo）（X-Xo）f[Xo,Xi]（X-XoXx-XjflXo,%%]••.
（x-Xo）.•>
X（XnjL）f[X0,X1,•.）Cn,]
用上式插值时，首先要计算各阶差商，而各阶差商的计算可以归纳为一阶差商的逐
次计算，一般的f[Xo,XL，…，Xn]=f[Xo，Xl—Xk2Xk]—f[X0,Xi,...,X2]
Xk—Xk」
余项为：
Rn（x）二f（x）-N（x）二f[x,x0,xL，…,xn]（x）⑵，
其中，（x）=（x—xo）（x—XL）...（X—xn）
2.3分段线性插值
分段线性插值的意义在于克服拉格朗日插值法的非收敛性。
其实分段线性插值
就是利用每两个相邻的插值基点做线性插值，就可以得到分段线性插值函数：
y（x^li（x）filii（x）fii，x[Xi,—]，（i=0,1,2…,n）
设分段线性插值函数为y（x），则具有以下性质：
1y（x）可以分段表示并且yi（x）在每个小区间[^4,Xi]上都是线性函数;
2yi（x）二f（xj=fi，（i=0,1,2…,n）；
3y（x）在整个区间[a,b]上连续[3]0
特点：
插值函数的序列具有一致的收敛性，弥补了高阶拉格朗日插值方法的不
足，可是存在插值精度低、基点处不光滑的缺陷，其中增加插值点可以提高插值精度。
几何上，分段线性插值是通过顺次连接各插值点形成线段，从而逼近原始曲线，这也是计算机绘图的基本原理。
2.4分段三次Hermite插值
对于函数f（x），有时我们不仅知道它在一些点处的函数值，而且还能知道它在这些点的导数值。
当在这些点上的插值函数P（x）的函数值和导数值同时满足与f（x）的函数值和导数值相等的要求时，此时的问题就是Hermite插值问题或带有导数的
插值问题。
假定已知函数f（x）在插值区间[p,q]上的n1个互不相同的节点Xi（i=0,1，…,n）
处满足f（x）二fi及f（X）二fi（i=0,1,2,...,n），如果函数G（x）的存在满足下列条件：
1G（x）在每个小区间上的多项式次数为3；
2G（x）C1[a,b]；
3G（xJ=f（Xi），Gg=f（x），i=（0,1，…,n）[5]
就称G（x）是f（x）在n•1个节点xi上的分段三次埃尔米特插值多项式。
所以，G（x）二hky。
）hk〃k1（x）仏的丫宀
二（12乂-兀）（x-Xk彳）2yk.（1.2x-x-1）（x—Xk）2yk1
Xk卅—XkXk—xk卅Xk—Xk卅xk卅—xk
（X-Xk）（xxk1）2yk（X-Xk1）（Xx）2yk1
Xk—Xk*Xk岀—Xk
2.5样条插值函数
2.5.1样条插值的相关概念
分段低次插值函数，虽然有收敛性，但平整度差。
因此，早期的制图工程师在
制图时首先会在样点处固定弹性木条，其他各处任意成形，这样就能画出一条曲线，定义样条曲线。
事实上，该曲线是由分段三次曲线并接而成，在连接点也就是样点上必须要二阶连续可导，从数学角度加以归纳得到数学样条这个概念。
利用样条插值方法得到的插值曲线光滑性好，但却不收敛。
由此我们可以引用三次样条函数以达到插值函数的收敛性且光滑度也更好了。
2.5.2三次样条插值函数
对于给定区间［p,q］上p=X。
：
x:
:
...：
Xn二q这n1个节点和在这些点上的函数
值f（xj=yj（i=0,1,...,n），若函数g（x）满足：
1在每个子区间［Xi」,Xi］（i=1,2,...,n）上，多项式g（x）的次数不超过3；
2g（x）,g（x）,g（x）在［p,q］上连续；
3满足g（xj=yi（i=0,1,...,n）的插值条件。
则g（x）是函数f（x）关于n个节点xi处的三次样条插值函数。
3五种插值法的对比研究
3.1五种插值法的解题分析比较
例1已知
表2
x
1
1/2
y
-2e
-4e
请写出在以上3个节点处的牛顿插值（一次和二次）以及拉格朗日插值。
解：
（1）拉格朗日型插值多项式构造过（0,1）（1,eJ的一次插值基函数
X—为
lo（X）二1—（X-1）
Xo—Xi
li（x）=^L=x
xi—xo
则一次插值多项式为:
i（x）二y°
l°
（x）y」i（x）一（x-1）xe，
构造过x0,x2的二次插值基函数
因此二次插值多项式为:
2（x）二yolo（x）yili（x）y2l2（x）
1i
=2（x-i）（x）2x（x）e°
-4x（x-i）e」
22
（2）牛顿型插值多项式
构造牛顿一次插值函数:
因为
f[x0,Xi]」（Xi）—f（X0）=e_i
Xi-Xo
所以
构造牛顿二次插值函数:
1（X）二f（Xo）（X—Xo）f[Xo,Xi]=1x（e，-1）
于是
2（x）=f（Xo）（X-Xo）f[Xo，Xi]（x-XoXx-XJflXoMK]
=ix（e，-i）x（x-i）（22e，-4e」）
综上，由拉格朗日公式「n（x）=7yjlj（x），牛顿公式
j=0
n（X）二f（Xo）（X-X°
）f[X°
Xi]...（X—Xo）...（X—Xn」）f[Xo,Xi,..,Xn]
及例题可以看出：
（i）拉格朗日插值法
优势：
公式的结构整齐紧密，对于理论研究分析非常方便;
缺点：
当增加或减少一个插值点的计算，将需要重新计算相应的插值基函数,然后插值多项式的公式代入结果也会改变，大大增加了计算量，解题十分繁琐。
此外，当插值点很多时，拉格朗日多项式的插值次数也会很高，使计算结果的值变得动荡。
换言之，即使在已知的几个点处得到正确的结果，但在附近的点处“事实上”的值和得到的结果之间的会有较大的差距。
（2）牛顿插值法
牛顿插值法的公式是另一种n次插值多项式的构造形式，然而它却克服了拉格朗日插值多项式的缺陷，它的一个显著优势就是每当增加一个插值节点，只要在原牛顿插值公式中增加一项就可形成高一次的插值公式。
此外，如果在实际应用中遇到等距分布的插值节点，牛顿插值公式就能得到进一步的简化，从而得到等距节点的插值公式，这样为缩短实际运算时间做出了很大的贡献。
这种插值仅仅要求插值多项式在插值节点处与被插函数有相等的函数值，而这种插值多项式却不能全面反映被插值函数的性态。
然而在许多实际问题中，不仅要求插值函数与被插值函数在所有节点处有相同的函数值，它也需要在一个或全部节点上插值多项式与被插函数有相同的低阶甚至高阶的导数值。
对于这些情况，拉格朗日插值和牛顿插值都不能满足。
11
例2过0,1两点并且满足f（0）=1f（0）=—,f⑴=2,f⑴=—，构造一个三次埃尔
22
米特插值多项式⑹。
利用公式有
ho（x）=（12^Xo）（^Xl）2=（12x）（x-1）2
Xi-XoX°
—治
h1（x）=（12^^）（^^）2=（3-2x）x2
Xo—X1x^-xo
x一论22
Ho（x）=（x—Xo）（L）=x（x—1）
Xo—X1
H'
x）=（x_xj（XX。
）2=x2（x-1）
H（x）=yoho（x）yh（x）yoHo（x）y；
Hi（x）
221212
=（12x）（x-1）22x2（3-2x）-x（x-1）2—x2（x-1）
--x33x2-x1
由这个例题2可以看出：
对于埃尔米特插值，我们不仅已知函数在某些点处的函数值，而且插值函数在这些点处的导数与被插函数相同。
因此，（-优点：
关于插值函数和被插函数的贴合程度，埃尔米特插值比多项式的好。
（2）缺点：
埃尔米特插值只有在被插值函数在插值节点处的函数值和导数值已知时才可以使用，而这在实际问题中是无法实现的，因为在一般情况下我们是不可能也没必要知道函数在插值节点处的导数值。
因此成为能否运用埃尔米特插值的一个重要因素就是：
我们知不知道插值函数在节点处的导数值。
例3对于函数
f（x）=
2
125x
取等距节点x^—i（i=0,1,...,10），建立插值多项式1o（x），并探究它与f（x）的误
10
差。
根据题意知道多项式的次数为10,代入拉格朗日插值多项式的公式有
10（X）八f（XJIj（X）
其中
Xi--1i,i=0,1,...,10
（x-X0）...（X-x9）（X-为0）
（x—Xo）...（Xi—X9）（Xi—X10）
计算结果如下表所示:
表3
'
10（Xi）
10（Xi）
f（Xi）2
1+25Xi
1+25Xj
-1.00
0.03846
-0.40
0.20000
0.19999
-0.90
0.04706
1.57872
-0.30
0.30769
0.23535
-0.80
0.05882
-0.20
0.50000
-0.70
0.07547
-0.22620
-0.10
0.80000
0.84340
-0.60
0.10000
0.00
1.00000
-0.50
0.13793
0.25376
对于［0,1］区间上的值可以由对称性得到，根据结果可以看出，10（x）在原点附
近能较好的逼近f（x），而在其余点处：
10（x）与f（x）的差异较大，越靠近端点，逼近效果就越不好。
由例题3可以不难发现，在高次插值中拉格朗日插值多项式存在较大缺陷，因
而为了弥补这种不足我们一般利用分段线性插值的方法。
12
例4给定函数y-2，~1込x^1取等距节点人=T—i（i=0,1,...,10），作分段
1+25x10
线性插值函数（x），并计算（0.9）的值
解:
首先计算出［-1,0］区间上的函数值表:
表4
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
对于区间［0,1］上的函数值可由对称性得到
其次，构造各点的插值基函数:
0—1EXE0.8
、5（x—0.8）0.8ex兰1
故得到分段线性插值函数‘（x）
「（x）=0.03846（1。
（x）l10（x））0.05882（11（x）l9（x）
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