高三第一轮复习立体几何练习题含答案Word格式.doc
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为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长
AB＝2知最长棱AC1的长为2.
答案 2
9．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形．
以上正确结论的序号是________．
解析 由斜二测画法的规则可知①正确；
②错误，是一般的平行四边形；
③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；
而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．
答案 ①
10．图（a）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成；
图（b）中的三视图表示的实物为________．
图（a） 图（b）
解析
（1）由三视图可知从正面看到三块，从侧面看到三块，结合俯视图可判断几何体共由4块长方体组成．
（2）由三视图可知几何体为圆锥．
答案 4 圆锥
三、解答题
11．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图在下面画出（单位：
cm）．
（1）在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
解
（1）如图．
（2）所求多面体的体积
V＝V长方体－V正三棱锥＝4×
4×
6－×
×
2
＝（cm3）．
12．已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长．
解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.∵△VA1C1∽△VMN，
∴＝，∴x＝.
即圆锥内接正方体的棱长为.
13．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？
解 如图所示，在正四棱锥S－ABCD中，
高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
在Rt△SOA中，
OA＝＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高，
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝，即侧面上的斜高为.
14．
（1）如图1所示的三棱锥的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，那么该三棱锥的侧视图是图2还是图3?
（2）某几何体的三视图如图4，问该几何体的面中有几个直角三角形？
（3）某几何体的三视图如图5，问该几何体的面中有几个直角三角形？
解
（1）该三棱锥在侧（右）投影面上的投影是一直角三角形，该三棱锥的侧视图应是图2.
（2）该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中OA、OB、OC两两垂直，
∴△OAB、△OAC、△OBC都是直角三角形，但△ABC是锐角三角形．设AO＝a，OC＝c，OB＝b，则AC＝，BC＝，AB＝，∴cos∠BAC＝>
0，∴∠BAC为锐角．同理，∠ABC、∠ACB也是锐角．
综上所述，该几何体的面中共有三个直角三角形．
（3）该几何体是三棱锥，其直观图如图所示，其中，AB⊥BC，AB⊥BD，BD⊥CD，∴DC⊥面ABD，∴DC⊥AD，
∴△ACD也是直角三角形．
∴该几何体的面中共有四个直角三角形.
第2讲空间几何体的表面积与体积
1．棱长为2的正四面体的表面积是（ ）．
A.B．4C．4D．16
解析 每个面的面积为：
2×
＝.∴正四面体的表面积为：
4.
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（ ）．
A．2倍B．2倍C.倍D.倍
解析 由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的2倍．
3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：
cm2）为（ ）．
A．48 B．64 C．80 D．120
解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱锥（底面边长为8），直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×
8×
5＝80（cm2）．
4．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为
（ ）．
A. B. C. D.
解析 在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°
，SC＝2，∴SA＝＝；
同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°
，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×
1×
＝，则三棱锥的体积为×
2＝.
5．某品牌香水瓶的三视图如下（单位：
cm），则该几何体的表面积为 （ ）．
A.cm2 B.cm2
C.cm2 D.cm2
解析 该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．
S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×
4＋4×
2＋2×
3×
3＋4×
1＋2π×
1－2×
π2＝94＋.
6．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°
，则棱锥S-ABC的体积为（ ）．
A．3B．2C.D．1
解析 由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°
，所以∠DCB＝∠DCA＝60°
，在△BDC中，BD＝（4－x），所以x＝（4－x），所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×
4＝.
7．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于________．
解析 将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π.
答案 4π
8．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×
＝.
答案
9．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．
解析 借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4.
答案 12＋4
10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．
解析 设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为＝2，圆锥底面面积为S1＝π·
（2）2＝24π，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S2＝π×
3＝18π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝18π＋24π＝（18＋24）π.
答案 （18＋24）π
11.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的表面积S.
解
（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，
所以V＝1×
（2）由三视图可知，该平行六面体中，
A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，
S＝2×
（1×
1＋1×
＋1×
2）＝6＋2.
12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°
，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，如图所示，求CP＋PA1的最小值．
解 PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．计算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°
的直角三角形．
CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得
A1C＝＝＝5，
故（CP＋PA1）min＝5.
13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图．
（1）请画出该安全标识墩的左视图；
（2）求该安全标识墩的体积．
解
（1）左视图同主视图，如图所示：
（2）该安全标识墩的体积为
V＝VPEFGH＋VABCDEFGH
＝×
402×
60＋402×
20
＝64000（cm3）．
14．如图（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°
，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图（b）所示．
（1）求证：
BC⊥平面ACD；
（2）求几何体D－ABC的体积．
（1）证明 在图中，可得AC＝BC＝2，
从而AC2＋BC2＝AB2，
故AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.
（2）解 由
（1）可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，
∴VB－ACD＝S△ACD·
BC＝×
2＝，
由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.
第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系
1．下列命题正确的个数为（ ）．
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0B．1C．2D．3
解析 ①④错误，②③正确．
2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是 （ ）．
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、异面或相交
解析 经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.
3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为（ ）
A．5部分B．6部分
C．7部分D．8部分
解析垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．
答案C
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是 （ ）．
A．A1、M、O三点共线 B．M、O、A1、A四点共面
C．A、O、C、M四点共面 D．B、B1、O、M四点共面
解析 因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；
又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．
5．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中 （ ）．
A．AB∥CD
B．AB与CD相交
C．AB⊥CD
D．AB与CD所成的角为60°
解析 如图，把展开图中的各正方形按图（a）所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图（b）所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图（b）中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°
.
6．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）．
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析 选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；
再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；
而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．
7．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：
①两条平行直线；
②两条互相垂直的直线；
③同一条直线；
④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）．
解析 只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．
答案 ①②④
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的结论为________（注：
把你认为正确的结论的序号都填上）．
解析 直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．
答案 ③④
9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．
解析如题图所示，
由A′O⊥平面ABCD，
可得平面A′BC⊥平面ABCD，
又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，
即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°
答案90°
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
解析 法一 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．
法二 在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
答案 无数
11．如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°
，BC綉AD，BE綉FA，G、H分别为FA、FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C、D、F、E四点是否共面？
为什么？
（1）证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GH綉AD.
又BC綉AD，∴GH綉BC，∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）解 由BE綉AF，G为FA中点知，BE綉FG，
∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由
（1）知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
12．在长方体ABCD－A1B1C1D1的A1C1面上有一点P（如图所示，其中P点不在对角线B1D1）上．
（1）过P点在空间作一直线l，使l∥直线BD，应该如何作图？
并说明理由；
（2）过P点在平面A1C1内作一直线m，使m与直线BD成α角，其中α∈，这样的直线有几条，应该如何作图？
解
（1）连接B1D1，BD，在平面A1C1内过P作直线l，使l∥B1D1，则l即为所求作的直线，如图（a）．
∵B1D1∥BD，l∥B1D1，∴l∥直线BD.
图（a）
（2）∵BD∥B1D1，∴直线m与直线BD也成α角，即直线m为所求作的直线，如图（b）．由图知m与BD是异面直线，且m与BD所成的角α∈.
当α＝时，这样的直线m有且只有一条，当α≠时，这样的直线m有两条．
图（b）
13.如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AD、AB的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.
E、F、G、H四点共面；
（2）设FG与HE交于点P，求证：
P、A、C三点共线．
证明
（1）△ABD中，E、F为AD、AB中点，
∴EF∥BD.
△CBD中，BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，
∴GH∥BD，∴EF∥GH（平行线公理），
∴E、F、G、H四点共面．
（2）∵FG∩HE＝P，P∈FG，P∈HE，
⇒P∈直线AC.
∴P、A、C三点共线．
14．在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60°
，对角线AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°
（1）求四棱锥的体积；
（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值．
解
（1）在四棱锥P－ABCD中，
∵PO⊥面ABCD，
∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角，
即∠PBO＝60°
，在Rt△POB中，
∵BO＝AB·
sin30°
＝1，
又PO⊥OB，∴PO＝BO·
tan60°
＝，
∵底面菱形的面积S菱形ABCD＝2.
∴四棱锥P－ABCD的体积VP－ABCD＝×
＝2.
（2）取AB的中点F，连接EF，DF，
∵E为PB中点，∴EF∥PA，
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）．在Rt△AOB中，
AO＝AB·
cos30°
＝＝OP，
∴在Rt△POA中，PA＝，∴EF＝.
在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝，
∴cos∠DEF＝＝＝＝.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
第4讲直线、平面平行的判定及其性质
1．若直线m⊂平面α，则条件甲：
“直线l∥α”是条件乙：
“l∥m”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．若直线a∥直线b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（ ）
A．一定平行B．不平行
C．平行或相交D．平行或在平面内
解析直线在平面内的情况不能遗漏，所以正确选项为D.
3．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是（ ）．
A．l∥α B．l⊥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α
解析 l∥α时，直线l上任意点到α的距离都相等；
l⊂α时，直线l上所有的点到α的距离都是0；
l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；
l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．
4．设m，n是平面α内的两条不同直线；
l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 （ ）．
A．m∥β且l1∥α B．m∥l1且n∥l2
C．m∥β且n∥β D．m∥β且n∥l2
解析 对于选项A，不合题意；
对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得
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