全等三角形证明题及答案docxWord文件下载.docx
《全等三角形证明题及答案docxWord文件下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形证明题及答案docxWord文件下载.docx(20页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
BE
CFD
证明:
连接BF和EF
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
∴三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
∴∠EBF=∠BEF。
∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
∴三角形ABF和三角形AEF全等。
∴∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。
F
C
E
B
已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF
AA
AD
CD
AB
CFDB
BD
如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、
∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠FBE
又∵BE=BE
∴⊿ABE≌⊿FBE(SAS)
∴∠A=∠BFE
EDAD
AB
∵AB知:
AB
14.P是∠BAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-ABC
PD
在AC上取点E,
使AE=AB。
∵AE=ABAP=AP
∠EAP=∠BAE,
∴△EAP≌△BAP
∴PE=PB。
PC<EC+PE
∴PC<(AC-AE)+PB
∴PC-PB<AC-AB。
15.已知∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,求证:
AC-AB=2BE
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
∵∠ABC=3∠C
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
∴AB=AD
∴AC–AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∴AE垂直BD
∵BE⊥AE
∴点E一定在直线BD上,
在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD
∴点E也是BD的中点
∴BD=2BE
∵BD=CD=AC-AB
∴AC-AB=2BE
16.已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求DCD
EB
∵作AG∥BD交DE延长线于G
∴AGE全等BDE
∴AG=BD=5
∴AGF∽CDF
AF=AG=5
∴DC=CF=2
18.如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
AD⊥BC.
延长AD至BC于点E,
∵BD=DC∴△BDC是等腰三角形
∴∠DBC=∠DCB
又∵∠1=∠2∴∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等腰三角形
∴AB=AC
在△ABD和△ACD中
{AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
∴△ABD和△ACD是全等三角形(边角边)
∴∠BAD=∠CAD
∴AE是△ABC的中垂线
∴AE⊥BC
∴AD⊥BC
19.如图,OM平分∠POQ,MA⊥OP,MB⊥OQ,A、B为垂足,AB交OM于点N.
∠OAB=∠OBA
∵OM平分∠POQ
∴∠POM=∠QOM
∵MA⊥OP,MB⊥OQ
∴∠MAO=∠MBO=90
∵OM=OM
∴△AOM≌△BOM(AAS)
∴OA=OB
∵ON=ON
∴△AON≌△BON(SAS)
∴∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
∵∠ONA+∠ONB=180
∴∠ONA=∠ONB=90
∴OM⊥AB
20.(5分)如图,已知AD∥BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线交
AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,
∵PA27、(10分)如图:
在△ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD⊥AC。
∵△ABD和△BCD的三条边都相等
∴△ABD=△BCD
∴∠ADB=∠CD
∴∠ADB=∠CDB=90°
∴BD⊥AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
在△ABD与△ACD中
AB=AC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
AF=DE。
∵AB=DC
AE=DF,
CE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE=△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
△ABF=△CDE
∴AF=DE
30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中AB∥CD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.
连接EF
∵AB∥CD
∴∠B=∠C
∵M是BC中点
∴BM=CM
在△BEM和△CFM中
BE=CF
∠B=∠C
BM=CM
∴△BEM≌△CFM(SAS)
∴CF=BE
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:
△ABE≌△CDF.
∵AF=CE,FE=EF.
∴AE=CF.
∵DF知:
如图所示,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,求证:
AE=AF。
AC
连接BD;
∵AB=ADBC=D
∴∠ADB=∠ABD∠CDB=∠ABD;
两角相加,∠ADC=∠ABC;
∵BC=DCE\F是中点
∴DE=BF;
∵AB=ADDE=BF
∠ADC=∠ABC
∴AE=AF。
33.如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:
∠5=∠6.
在△ADC,△ABC中
∵AC=AC,∠BAC=∠DAC,∠BCA=∠DCA
∴△ADC≌△ABC(两角加一边)
∵AB=AD,BC=CD
在△DEC与△BEC中
∠BCA=∠DCA,CE=CE,BC=CD
∴△DEC≌△BEC(两边夹一角)
∴∠DEC=∠BEC
34.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:
△ABC≌△DEF.
∵AD=DF∴AC=DF
∵AB
知:
如图,
AC
BC于C,
DEAC
于E,
ADAB于A,
BC=AE.若AB=5,
求AD的长?
∵AD⊥AB
∴∠BAC=∠ADE
又∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E
根据三角形角度之和等于180度
∴∠ABC=∠DAE
∵BC=AE,△ABC≌△DAE(ASA)∴AD=AB=5
38.如图:
AB=AC,ME⊥AB,MF⊥AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
MB=MC
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵ME⊥AB,MF⊥AC
∴∠BEM=∠CFM=90°
在△BME和△CMF中
∵∠B=∠C∠BEM=∠CFM=90°
ME=MF
∴△BME≌△CMF(AAS)
∴MB=MC.
39.如图,给出五个等量关系:
①ADBC②ACBD③CEDE④DC
⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
①AD=BC,⑤∠DAB=∠CBA
△DAB≌△CBA
∵AD=BC,∠DAB=∠CBA
又∵AB=AB
∴△DAB≌△CBA
40.在△ABC中,
ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且
ADMN于D,
BEMN于E.
(1)
当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①
ADC≌CEB;
②DEADBE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,
(1)中的结论还成立吗?
若成立,请给出证明;
若不成立,说明理由.
(1)
①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°
,
∴∠CAD+∠ACD=90°
,∠BCE+∠CBE=90°
,∠ACD+∠BCE=90°
.
∴∠CAD=∠BCE.
∵AC=BC,
∴△ADC≌△CEB.
②∵△ADC≌△CEB,
∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°
,∴∠ACD=∠CBE.
又∵AC=BC,
∴△ACD≌△CBE.∴CE=AD,CD=BE.
∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE
41.如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。
(1)EC=BF;
(2)EC⊥BF
EA
M
(1)∵AE⊥AB,AF⊥AC,∴∠BAE=∠CAF=90°
∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,
即∠EAC=∠BAF,
在△ABF和△AEC中,
∵AE=AB,∠EAC=∠BAF,AF=AC,∴△ABF≌△AEC(SAS),
∴EC=BF;
(2)如图,根据
(1),△ABF≌△AEC,
∴∠AEC=∠ABF,∵AE⊥AB,∴∠BAE=90°
∴∠AEC+∠ADE=90°
∵∠ADE=∠BDM(对顶角相等),
∴∠ABF+∠BDM=90°
在△BDM中,∠BMD=180°
-∠ABF-∠BDM=180°
-90°
=90°
∴EC⊥BF.
42.如图:
BE⊥AC,CF⊥AB,BM=AC,CN=AB。
(1)AM=AN;
(2)AM⊥AN。
∵BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°
,∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC,CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
(2)
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
43.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF求.证:
BC∥EF
在△ABF和△CDE中
AB=DE
∠A=∠DAF=CD
∴△ABF≡△CDE(边角边)
∴FB=CE
在四边形BCEF中
FB=CE
BC=EF
∴四边形BCEF是平行四边形
∴BC‖EF
44.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC
∵∠CAE=∠EAN
∴AE为公共,
∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
∵BE为公共边
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE∥CF.
∵AD是△ABC的中线
BD=CD
∵DF=DE(已知)∠BDE=∠FDC
∴△BDE≌△FDC
则∠EBD=∠FCD
∴BE∥CF(内错角相等,两直线平行)。
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,E,F是垂足,DEBF.
AB∥CD.
DC
∵DE⊥AC,BF⊥AC
∴∠CED=∠AFB=90o
又∵AB=CD,BF=DE
∴Rt⊿ABF≌Rt⊿CDE(HL)
∴AF=CE
∠BAF=∠DCE
∴AB
AEB
CE>
DE。
当∠AEB越小,则DE越小。
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形,且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中,∠AEB为锐角,即∠AEB<
90°
∵DF
∵AB=DC,AC=DB,BC=BC
∴△ABC≌△DCB,
BEC
∴∠ABC=∠DCB
又∵BE=CE,AB=DC
∴△ABE≌△DCE
∴AE=DE
50.如图9所示,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°
,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
∠ADC=∠BDE.
FD
图9
作CG⊥AB,交AD于H,
则∠ACH=45o,∠BCH=45o
∵∠CAH=90o-∠CDA,∠BCE=90o-∠CDA∴∠CAH=∠BCE
又∵AC=CB,∠ACH=∠B=45o
∴△ACH≌△CBE,∴CH=BE
又∵∠DCH=∠B=45o,CD=DB
∴△CFD≌△BED
∴∠ADC=∠BDE