鄞中物理奥赛培训教材第二版知识框架第11-20讲文档格式.doc
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一、动能
动能是描述质点机械运动状态的一个物理量。
特点：
动能是标量且恒为正值，它的大小跟参照系的选择有关。
二、动能定理
1．内容：
作用在质点上合外力所做的功等于质点动能的改变量。
2．表达式：
3．说明：
（1）质点动能定理只能在惯性系中运动，其中位移和速度必须是同一惯性系的。
（2）动能和功是完全不同的两个物理量，动能是描述质点机械运动状态的物理量；
功是和运动过程相联系，是描述力的空间累积效应的物理量，但动能和功又是密切联系的，体现在动能定理中，做功的本质是使物体的动能变化。
4．质点组动能定理
（1）内容：
对于质点组，外力做功与内力做功之和等于质点组动能的改变量。
（2）表达式：
第十三讲势能和机械能守恒定律
一、保守力和非保守力
保守力：
凡做功只依赖于质点组（或物体系）的初态和终态的相对位置的力，即与路径无关的力，如重力、万有引力等。
非保守力：
凡做功与路径有关的力，又称耗散力，如滑动摩擦力等。
二、势能
（一）概念
在保守力场中，有一种仅由物体系内的相对位置决定的能量，称之为势能。
物体系具有势能的条件是受保守力作用。
（二）物体系的势能和保守力的关系
势能的改变量等于保守力做功的负值：
。
（三）特点
（1）势能是标量。
（2）势能是状态量，由于势能的概念只确定了其改变量，为确定某状态下物体系的势能值。
必先规定某一状态势能为零，这状态称之为势能零点。
（3）势能是物体系共有的。
（4）若物体系同时受几种保守力作用。
则同时存在相应的几种势能。
（四）力学中常见的势能
（1）重力势能：
在物体跟地球组成的系统中，由物体跟地球之间相互作用的重力及相对位置决定的势能。
（式中为与选定的零势能面位置的高度差）
（2）万有引力势能
a．产生：
两个质点组成的系统中，由两质点相互作用的万有引力及相对位置决定的势能。
b．势能零点的规定：
一般规定两质点相距无限远处为势能零点。
c．大小：
式中为两质点间距。
讨论：
①质点及均匀球体组成的物体系，其引力势能为。
式中为质点到球心的距离。
②质点及均匀球壳组成的物体系：
a．质点在均匀球壳内，其引力势能为：
式中为球壳半径。
b．质点在均匀球壳外，其引力势能为：
式中为质点到球壳球心的距离。
（3）弹性势能
①产生在物体和弹簧组成的系统中，在弹簧弹性限度内，由物体跟弹簧相互作用的弹性力及相对位置决定的势能。
②势能零点的规定：
一般规定弹簧处于原长的位置为势能零点。
③大小：
三、机械能够守恒定律
（一）机械能
物体系动能和势能的总和，其中势能包括重力势能和弹性势能。
（二）机械能守恒定律
一个物体系在某一过程中，外力不做功，内部非保守内力不做功，系统的机械能守恒。
2．说明：
（1）定律只适用于惯性系，应用时必须选同一惯性系。
（2）必须注意定律成立的条件：
①外力对系统不做功，表明系统与外界没有没有能量交换。
②非保守力不做功，表明系统内部不发生机械能与其它形式能的转化。
第十四讲天体运动
一、开普勒三定律
第一定律：
行星沿椭圆轨迹绕日运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。
第二定律：
行星与太阳的连线（称矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。
即：
式中，为从太阳中心引向行星的矢径的长度，为行星速度与矢径之间的夹角。
第三定律：
行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。
式中，为太阳质量，为引力恒量。
实际上，凡在中心天体的引力作用下，绕中心天体作周期运动的物体。
如人造地球卫星，都遵循以上三定律，只需把“太阳”改成“中心天体”即可。
二、万有引力定律
任何两质点间都存在着相互吸引力，其大小与两质点的质量的乘积成正比，与两质点间的距离平方成反比，力的方向沿着两质点的连线。
式中，为引力恒量，大小N.m2.kg-2。
注意：
（1）此式仅适用于两质点之间。
（2）假如两物体不能看做质点，要求它们之间的引入，须把两物体分割成许多小块，然后再用上式计算，再矢量合成。
（3）质量分布是球对称的球体产生的万有引力，等效于把球体质量集中于球心的质点所产生的万有引力。
对均匀球面对球外质点的引力也等同于把球面的质量集中在球心处而成的质点与球外质点间的引力。
对均匀球壳对位于球壳内的质点的引力等于零。
三、天体运动
天体运动的轨道一般是圆或椭圆，它做曲线运动的向心力是靠万有引力提供的，因天体本身的大小与它们之间的距离比较起来很小，因此可以把它们当成质点来处理。
当一颗质量为的行星以速度绕着质量为的恒星做半径为的圆周运动时，如以无穷远处作为零势能，则它的动能和势能分别为：
，
而
故
行星的总能量
由上可知，卫星飞得越高，其速度越慢，但它的总能量却越大，它是发射高轨卫星较困难的原因之一。
在解决实际问题时，常把天体的能量问题与开普勒三定律结合起来解题。
第十五讲动量定理与动量守恒定律
一、动量和动量定理
在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体做机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：
物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积遵从一定的规律，例如在两物体的碰撞过程中，它们的改变量必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们引入来量度物体的“运动量”，称之为动量。
人们又发现：
要使原来静止的物体获得某一速度，可用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力和力的作用时间的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把叫做冲量。
由牛顿定律，容易得出它们的联系。
对单个物体：
；
即冲量等于动量的增量，这就是动量定理。
在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上。
当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：
对于多个物体组成的物体系，按照力的施力物体划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：
第1个
第2个
…… ……
第个
由牛顿第三定律：
因此得到：
即
质点系所有外力的冲量等于物体系总动量的增量。
二、动量守恒定律
动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的，首先在碰撞问题的研究中发现了它，随着实践范围的扩大，逐步认识到它具有普遍意义。
对于相互作用的系统，在合外力为零的情况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。
上式就是动量守恒定律的数学表达式。
应用动量守恒定律应注意以下几点：
（1）动量是矢量，相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和，而不是代数和，在具体计算时，经常采用正交分解法，写出动量守恒定律的分量方程，这样就可以把矢量运算转化为代数运算。
（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量保持不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化。
系统内力只能改变系统内物体的动量，却不能改变系统的总动量。
在合外力不为零时，系统的总动量要发生改变，但垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。
（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，当系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当做合外力为零处理，动量守恒定律成立。
如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似认为守恒。
（4）动量守恒定律是由牛顿定律推导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。
因此，动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。
第十六讲碰撞
一、碰撞
质量和质量的两个物块在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为，及，，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到：
根据两物块碰撞过程中的恢复情况，碰撞又可分为下列几种：
（一）弹性碰撞
在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由机械能守恒定律有：
结合动量守恒定律解得：
对于上述结果可作如下讨论：
（1）时，则，，即、交换速度。
（2）若，且有，则，，即大物体速度几乎不变，而小物体以二倍于大物体速度运动。
（3）若，且有，则，，则大物体几乎不动，而小物体原速率反弹。
（二）完全非弹性碰撞
两物体相碰后粘合在一起或具有相同的速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，机械能损失最大。
碰撞过程中损失的机械能为：
（三）一般非弹性碰撞，恢复系数
一般非弹性碰撞是指碰撞后两物体分开，速度，且碰撞过程中有机械能损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。
物理学中用恢复系数来表示碰撞性质。
恢复系数定义为：
（1）弹性碰撞，；
（2）完全非弹性碰撞，，；
（3）一般非弹性碰撞，。
（四）斜碰
两物体碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，设两物体间的恢复系数为，设碰撞前、的速度为，，其法向分量分别为，，碰后速度为，，法向分量为，，则有
若两物体接触处光滑，则应有、切向分量不变，，。
若两物体接触处有切向摩擦，这一摩擦力大小正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向冲量便不可忽略。
二、质心及质心的运动
（一）质心及质心位置
任何一个质点系中都存在着一个称为质心的特殊点，它的运动与内力无关，只取决于外力。
当需将质点组处理成一个质点时，它的质量就是质点组的总质量。
当需要确定质心运动时，就没想把质点组所受的全部外力集中作用在质心上。
设空间有个质点，其质量、位置分别记作，，质点组质心记为C，则质量、位置：
在x，y，z直角坐标系中，记录质心的坐标位置为：
；
（二）质心的速度、加速度、动量
质心的速度：
质心的加速度：
由此可知，当质点组所受外力为零，质心将保持静止或匀速直线运动状态。
（三）质心的动能与质点组的动能
以两个质点为例，质量，的两质点相对于静止参照系速度，，质心C的速度为，两质点相对于质心的速度是，，可以证明有
即两个质点的总动能等于质心的动能与两个质点相对于质心的动能之和。
第十七讲角动量与角动量守恒
一、力矩
在某惯性系中，质点相对于参考点O的位移为，质点所受力为，设于不共线，它们惟一确定的平面记为。
在平面上，通常于之间有一个较小的夹角和一个较大的夹角，其中，规定为于之间的夹角。
力相对于参考点O的力矩是个矢量，它被定义为：
力矩大小表达式中的即为参考点O到力作用线的距离，即有。
常称为力。
也可将表达式中的用平面内在垂直于方向线上的分量代替，即有：
的方向与平面垂直。
以参考点O为坐标原点建立Oxyz坐标系，引入x，y，z轴的方向矢量，，，它们均为1个单位，方向沿x，y，z轴上的分量，那么可分解为。
，，分别称在x，y，z轴上的分量，有时也将它们称为相对于x轴，y轴，z轴的力矩。
可以证明，一个质点受若干个力作用时，相对于同一参考点的各分力力矩之和等于合力的力矩。
二、角动量
将质点的质量记为，速度记为，它的动量便为。
设和不共线，它们惟一确定的平面记为，在平面上和的夹角如图所示，质点相对参考点O的角动量也是一个矢量，它被定义为：
大小：
方向：
按从到的右手螺旋法则确定。
如图所示，将分解为：
那么对有贡献的只有分量，即有：
以O为坐标原点建立Oxyz坐标系后，也可相应地分解为：
，，分别称在x，y，z轴上的分量，有时也将它们称为相对于x轴，y轴，z轴的角动量。
需要注意，相对同一参考点O，平面由，两矢量确定，平面由共点的，两矢量确定，通常二者并不重合，和的方向也常互异。
三、质点对参考点的角动量定理
动量定律可表述为：
即质点所受的力等于它的动量随时间的变化率。
质点所受力矩与它的角动量随时间的变化率也恰好是相等关系，即有
这就是质点的角动量定理，定理中，必须相对同一参考点，质点角动量定理有三个分量式：
，，
质点在运动过程中若恒为零，则为守恒量，这就是质点角动量守恒定律。
在某一惯性系中做匀速直线运动的质点，受力必为零，相对这一惯性系中任何参考点的力矩均为零，角动量守恒。
变换惯性系，质点运动的匀速直线运动不变，因此它在任何惯性系中相对于任何参考点的角动量都守恒；
考察行星的运动，略去其他天体施加的引力，以太阳为参考点，太阳引力的力矩恒为零，行星绕太阳运动过程中相对于太阳的角动量守恒。
但若改取其他点为参考点，太阳引力力矩不恒为零，角动量便不再守恒。
四、质点组对参考点的角动量定理
首先要取一个参考点O，质点组中各质点相对O点的角动量一般记为，则称
为质点组相对O点的角动量。
第质点所受力相对O点的力矩记为，引入
因，故必有。
如前所述，质点组中各质点所受力有内力和外力之分，因此可将分解为
式中，为各质点所受内力相对O点力矩之和，为各质点所受外力相对O点的力矩之和。
于是便有
根据牛顿第三定律可以证明，任何一对作用力和反作用力相对于同一参考系的力矩之和为零。
考虑到质点组中内力成对出现，必有，即有：
这就是质点组角动量定理。
质点组角动量定理的三个分量式为：
如果在过程中，质点组各质点所受外力相对参考点O的力矩之和恒为零，那么质点组相对该参考点O的角动量为守恒量。
这就是质点组的角动量守恒定律。
五、讨论
（1）地面上质点组中各个质点均受到重力作用，重力的方向由质点所在位置处重力角速度的方向确定，重力的大小也与的大小有关。
线度远小于地球半径的质点组，各质点所在位置的重力加速度可处理为相同的矢量，这种情况下可以证明，各质点所受重力相对某一参考点的力矩之和等效为全部重力集中在某一个部位后相对该参考点的力矩，这一点部位即为质点组的重心。
证明中还可以得到这样的结论：
此质点组的重心恰好位于它的质心。
（2）刚体绕一个固定的几何轴线转动，称为刚体的定轴转动。
有些情况中，刚体作定轴转动时没有实物支持轴，对称的陀螺在地面上无平移地绕竖直几何轴转动便是一例。
实物支持轴可为转动的刚体提供支持力和摩擦力。
刚体作定轴转动时，常将参考点选在几何轴上，与转动快慢变化直接相关的便是角动量定理沿几何转轴的分量式。
将几何轴取为z轴，对应的分量式为:
常称为各外力相对转轴力矩之和。
（3）质点所受都是外力，若质点所受合外力为零，便称它处于平衡状态。
平衡状态的特征是加速度为零，此时质点或静止或做匀速直线运动。
物体处于平衡状态的特征是质心的加速度为零和物体相对任何一个参考点的角动量守恒，这就要求：
可以证明，在的前提下，只要各外力相对某一参考点的力矩之和为零，那么外力相对任何参考点的力矩之和也必定为零，据此，可将物体平衡的条件放宽为：
处于平衡态的物体可以是静止的，也可以是运动着的，讨论得较多的是静止状态。
第十八讲转动定律
一、转动惯量
质量是平动惯性的量度。
在刚体的定轴转动中，描述转动惯性的物理量，称之为刚体对该轴的转动惯量，定义为：
，式中为质点绕定轴转动的半径。
转动惯量可表示为刚体的质量与某个长度的平方的乘积。
称为回转半径。
同一刚体，绕不同的轴转动，其转动惯量是不同的。
刚体的转动惯量不但取决于刚体质量的大小，而且与其质量相对轴的分布有关。
在实际中，常常依此规律来改变转动惯量以适应需要。
刚体的转动惯量的值，一般通过实验的方法进行测定。
形状规则且密度均匀刚体的转动惯量，可根据定义式计算，限于数学工具，下面直接给出部分常见规则刚体的转动惯量。
（1）质量为、长度为均匀细杆，绕过其中点并垂直于杆的垂直固定轴转动，转动惯量为。
绕过其端点的垂直固定轴转动，其转动惯量为。
（2）质量为、半径为的匀质圆环，绕过其圆心并与环面垂直的固定轴转动，转动惯量为。
（3）质量为的中心有孔的匀质薄圆盘，外半径为，内半径为，绕过盘心并与盘面垂直的固定轴转动的转动惯量为。
中心有孔的匀质圆柱体绕其中心轴的转动惯量与此相同。
如果中心没有孔的圆盘或实心圆柱体，则，用替代，则。
（4）质量为，半径为的匀质球体，围绕其直径转动的转动惯量为。
对转动惯量的计算，有下面两个定理，一个定则。
定理一：
平行轴定理
对不同的转轴，刚体的转动惯量不同。
实验表明，如果几个轴相互平行，其中的一个轴过质心，刚体对此轴的转动惯量最小。
若用表示刚体通过质心轴的转动惯量，对另一个与此平行相距为的定轴的转动惯量为：
定理二：
垂直轴定理
对于薄片状物体，相对于z轴的转动惯量为相对于x轴的转动惯量与相对于y轴的转动惯量的和，即：
定则：
伸展定则
如果将一个物体的任何一点，平行地沿着一根轴的方向作任意大小的位移，则此物体对此轴的转动惯量不变。
我们可以想像，将一个物体，平行于直轴地，往两端拉开。
在物体伸展的同时，保持物体任何一点离直轴的垂直距离不变，则伸展定则阐明此物体对此轴的转动惯量不变。
二、转动定律
力是产生加速度的原因。
在刚体的定轴转动中，力矩是改变刚体转动状态的原因，在定轴转动中，刚体的角加速度与外界对轴的合外力矩成正比，与其对轴的转动惯量成反比，此规律称为转动定律，表达式为：
，其中角加速度。
第十九讲振动
一、机械振动
物体在某位置附近做往复运动，叫做机械振动。
该位置称为振动的平衡位置。
（1）产生振动的条件：
有回复力的作用且所受阻力足够小。
（2）回复力：
物体离开平衡位置时所受到的指向平衡位置的力叫回复力。
（3）振动位移：
平衡位置指向物体所在位置的有向线段，为方便描述振动引入。
二、简谐运动
（一）简谐运动的定义
如果物体所受的回复力大小总与位移成正比，方向总与位移相反，那么它所作的振动叫做简谐运动。
简谐运动物体的上述受力特征，可表示为：
其动力学方程为：
上式中，为简谐运动物体所受的回复力，为振动物体相对于其平衡位置的位移，为与间的比例系数（振动物体为弹簧振子时，为弹簧的倔强系数），负号表示回复力的方向与位移的方向相反，为振动物体在位移为时的加速度。
（二）简谐运动和匀速圆周运动
简谐运动是一种变加速运动，直接用数学方法求解其运动方程显得复杂，若定性画出运动图线会发现像正弦或余弦曲线。
联想到数学中的单位圆，则可以尝试与熟悉的匀速圆周运动联系。
考察一个以角速度沿半径为的圆周做匀速运动的质点，它的质量为，受到的合外力构成向心力，方向指向圆心，大小为：
取xOy坐标系如图所示。
设时质点的角位置为，任意时刻角位置。
质点在方向的分运动为：
质点所受合力在方向分量为：
由此可见，匀速圆周运动质点在方向分运动具有两个特征：
位移量随时间在零点附近作往返的余弦变化；
质点在方向受力与位移量的大小成正比，方向相反，或者说是一个线性回复力，可见该运动是一个简谐振动。
（三）简谐运动方程
由上可知，满足的振动物体的位移随时间的变化规律是一余弦函数（当然也可以表述为正弦函数），这就是简谐运动的方程：
式中，为此振动的振幅，即振动物体离开平衡位置最大位移的大小，叫此振动的角频率（也称圆频率），它与此振动的周期、频率有如下的关系：
式中，叫此振动的相位，叫此振动的初相位。
若时刻（即起振时刻）振动位移和速度分别为和，则有：
需要注意的是：
当时，可在Ⅰ、Ⅲ象限；
当时，可在Ⅱ、Ⅲ象限。
因此，还需结合或的正、负来辅助确定所在象限。
简谐运动的周期是由振动系统本身的物理条件来决定，其关系式为：
式中，为振动物体的质量。
故此周期又称为此物体的固有周期（对应地也有其固有频率）。
一个作简谐运动的系统，若它不与外界交换能量，内部又没有机械能损失，则称该系统为谐振子。
谐振子的机械能守恒。
谐振子的能量可以用简谐运动的振幅、频率和相位表示。
可见谐振子的动能和势能都随时间变化，但机械能：
保持不变。
，，与时间的关系如图所示。
由图可见，动能和势能的变化频率都是振动频率的两倍。
谐振子的总能量与振幅的平方成正比，与角频率的平方成正比。
这是谐振子的一般特征。
谐振子的能量表达式还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便。
将势能写成位移的函数，则有：
或将总能量写成振幅的函数，则有：
（四）弹簧振子
劲度系数为的轻质弹簧水平放置，一端固定另一端连接质量为小物体，后者与水平面光滑接触。
取轴水平地朝着弹簧伸长的方向放置。
坐标原点设在弹簧处于自由长度状态时小物体所在位置。
如图所示，当小物体有位移时，便受到弹性力：
该力为线性回复力，小物体的运动是简谐运动：
其中角频率：
振幅与初相位可由时刻小物体的位置及速度来确定。
（五）单摆
如图所示，有一根长度为不能伸长的轻线。
上端固定，下端与一质量为的小球相连。
当小球静止不动时，线与小球的拉力与重力平衡，小球位于悬点下方的O点，O点称为小球的平衡位置。
若将小球向右拉开一小段距离，到达B点
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