二项式定理的高考常见题型及解题对策Word文件下载.doc

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原式==

=

=

=

小结：

这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。

2．“”型的展开式

例2．求的展开式；

分析：

解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

本题主要考察了学生的“问题转化”能力。

3．二项式展开式的“逆用”

例3．计算；

原式=

小结：

公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。

题型二：

求二项展开式的特定项

1．求指定幂的系数或二项式系数

（1）求单一二项式指定幂的系数

例4．（03全国）展开式中的系数是；

==

令则，从而可以得到的系数为：

，填

（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数

例5．（02全国）的展开式中，项的系数是；

解：

在展开式中，的来源有：

①第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；

②第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为

的系数应为：

填。

（3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数

例6．（04安徽改编）的展开式中，常数项是；

上述式子展开后常数项只有一项，即

本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，

考查了变型与转化的数学思想。

2．求中间项

例7．（00京改编）求（的展开式的中间项；

展开式的中间项为

即：

。

当为奇数时，的展开式的中间项是和；

当为偶数时，的展开式的中间项是。

3．求有理项

例8．（00京改编）求的展开式中有理项共有项；

当时，所对应的项是有理项。

故展开式中有理项有4项。

①当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；

②当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。

4．求系数最大或最小项

（1）特殊的系数最大或最小问题

例9．（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是；

要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为

（2）一般的系数最大或最小问题

例10．求展开式中系数最大的项；

解：

记第项系数为，设第项系数最大，则有

又，那么有

即

解得，系数最大的项为第3项和第4项。

（3）系数绝对值最大的项

例11．在（的展开式中，系数绝对值最大项是；

求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，

故此答案为第4项，和第5项。

题型三：

利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和

例12．（99全国）若，

则的值为；

解：

令，有，

令，有

故原式=

=

=

例13．（04天津）若，

则；

，

令，有

故原式==

在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：

特殊值在解题过程中考虑的比较多。

例14．设，

则；

解题过程分两步走；

第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；

第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。

=

=0

题型四：

利用二项式定理求近似值

例15．求的近似值，使误差小于；

分析：

因为=，故可以用二项式定理展开计算。

，

且第3项以后的绝对值都小于，

从第3项起，以后的项都可以忽略不计。

==

小结：

由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：

，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：

利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。

所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。

题型五：

利用二项式定理证明整除问题

例16．（02潍坊模拟）求证：

能被7整除。

证明：

=

=49P+（）

又

=（7+1）

=

=7Q（Q）

能被7整除。

在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二

项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑出相关的因数。

二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。

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