2010年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析文档格式.doc
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第二次循环：
k=2，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）；
第三次循环：
k=3，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）
…
第m次循环：
k=m，p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n
此时结束循环，输出p=（n﹣m+1）（n﹣m+2）（n﹣m+3）（n﹣1）n=Anm
故选D
【点评】要注意对第m次循环结果的归纳，这是本题的关键．
5．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）
A． B． C． D．3
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】计算题；
待定系数法．
【分析】求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．
将y=sin（ωx+）+2的图象向右平移个单位后为
=，
所以有=2kπ，即，
又因为ω＞0，所以k≥1，
故≥，
故选C
【点评】本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．
6．（5分）（2010•辽宁）设{an}是有正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4=1，S3=7，则S5=（ ）
【考点】等比数列的前n项和；
等比数列的性质．菁优网版权所有
【分析】先由等比中项的性质求得a3，再利用等比数列的通项求出公比q及首项a1，最后根据等比数列前n项和公式求得S5．
由a2a4=a32=1，得a3=1，
所以S3==7，
又q＞0，解得=2，即q=．
所以a1==4，
所以=．
【点评】本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前n项和公式．
7．（5分）（2010•辽宁）设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A． B．8 C． D．16
【考点】抛物线的简单性质；
抛物线的定义．菁优网版权所有
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：
抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．
抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，
所以点、，从而|PF|=6+2=8
【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．
8．（5分）（2010•辽宁）平面上O，A，B三点不共线，设，则△OAB的面积等于（ ）
A． B．
C． D．
【考点】向量在几何中的应用．菁优网版权所有
【分析】利用三角形的面积公式表示出面积；
再利用三角函数的平方关系将正弦表示成余弦；
再利用向量的数量积公式求出向量夹角的余弦化简即得．
=
=•
=；
故选C．
【点评】本题考查三角形的面积公式；
同角三角函数的平方关系，利用向量的数量积求向量的夹角．
9．（5分）（2010•辽宁）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的﹣个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）
【考点】双曲线的简单性质；
两条直线垂直的判定．菁优网版权所有
压轴题．
【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．
设双曲线方程为，
则F（c，0），B（0，b）
直线FB：
bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，
所以，即b2=ac
所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，
所以或（舍去）
【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．
10．（5分）（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）
A．[0，） B． C． D．
【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有
【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．
因为y′===，
∵，
∴ex+e﹣x+2≥4，
∴y′∈[﹣1，0）
即tanα∈[﹣1，0），
∵0≤α＜π
∴≤α＜π
故选：
D．
【点评】本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．
11．（5分）（2010•辽宁）已知a＞0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有
【专题】简易逻辑．
【分析】初看本题，似乎无从下手，但从题目是寻求充要条件，再看选项会发现构造二次函数求最值．
由于a＞0，令函数，此时函数对应的开口向上，
当x=时，取得最小值，而x0满足关于x的方程ax=b，那么x0═，ymin=，
那么对于任意的x∈R，都有≥=
【点评】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力．
12．（5分）（2010•辽宁）有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（1，） C．（，） D．（0，）
【考点】棱锥的结构特征．菁优网版权所有
【分析】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围
根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，
有以下两种情况①底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有2﹣＜＜2+，
即，
即有＜a＜
②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时0＜a＜2；
综上分析可知a∈（0，）；
【点评】本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（2010•辽宁）的展开式中的常数项为 ﹣5 ．
【考点】二项式定理．菁优网版权所有
【分析】展开式的常数项为展开式的常数项与x﹣2的系数和；
利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数分别为0，﹣2即得．
的展开式的通项为Tr+1=C6r（﹣1）rx6﹣2r，
当r=3时，T4=﹣C63=﹣20，的展开式有常数项1×
（﹣20）=﹣20，
当r=4时，T5=﹣C64=15，的展开式有常数项x2×
15x﹣2=15，
因此常数项为﹣20+15=﹣5
故答案为﹣5
【点评】本题考查等价转化的能力；
考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．
14．（5分）（2010•辽宁）已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，则z=2x﹣3y的取值范围是 （3，8） ．（答案用区间表示）
【考点】简单线性规划的应用．菁优网版权所有
压轴题；
数形结合．
【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：
根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值和最小值，再根据最值给出目标函数的取值范围．
画出不等式组表示的可行域如下图示：
在可行域内平移直线z=2x﹣3y，
当直线经过x﹣y=2与x+y=4的交点A（3，1）时，
目标函数有最小值z=2×
3﹣3×
1=3；
当直线经过x+y=﹣1与x﹣y=3的交点B（1，﹣2）时，
目标函数有最大值z=2×
1+3×
2=8．
z=2x﹣3y的取值范围是（3，8）．
故答案为：
（3，8）．
【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．
15．（5分）（2010•辽宁）如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 ．
【考点】简单空间图形的三视图；
棱锥的结构特征．菁优网版权所有
作图题；
【分析】结合题意及图形，可知几何体为一个底面边长为2的正方形且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，还原几何体，求解即可．
由三视图可知，
此多面体是一个底面边长为2的正方形，
且有一条长为2的侧棱垂直于底面的四棱锥，
所以最长棱长为．
【点评】本题考查了三视图视角下多面体棱长的最值问题，考查了同学们的识图能力以及由三视图还原物体的能力．
16．（5分）（2010•辽宁）已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为 ．
【考点】数列递推式；
基本不等式在最值问题中的应用．菁优网版权所有
【分析】由累加法求出an=33+n2﹣n，所以，设f（n）=，由此能导出n=5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值．
an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2[1+2+…+（n﹣1）]+33=33+n2﹣n
所以
设f（n）=，令f′（n）=，
则f（n）在上是单调递增，在上是递减的，
因为n∈N+，所以当n=5或6时f（n）有最小值．
又因为，，
所以的最小值为
【点评】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力．
三、解答题（共8小题，满分90分）
17．（12分）（2010•辽宁）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）求sinB+sinC的最大值．
【考点】余弦定理的应用．菁优网版权所有
【分析】
（Ⅰ）根据正弦定理，设，把sinA，sinB，sinC代入2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC求出a2=b2+c2+bc
再与余弦定理联立方程，可求出cosA的值，进而求出A的值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中A的值，可知c=60°
﹣B，化简得sin（60°
+B）根据三角函数的性质，得出最大值．
（Ⅰ）设
则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC
∵2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC
方程两边同乘以2R
∴2a2=（2b+c）b+（2c+b）c
整理得a2=b2+c2+bc
∵由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA
故cosA=﹣，A=120°
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
sinB+sinC
=sinB+sin（60°
﹣B）
=cosB+sinB
=sin（60°
+B）
故当B=30°
时，sinB+sinC取得最大值1．
【点评】本题主要考查了余弦函数的应用．其主要用来解决三角形中边、角问题，故应熟练掌握．
18．（12分）（2010•辽宁）为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B．
（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；
（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．（疱疹面积单位：
mm2）
表1：
注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表
疱疹面积
[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）
频数
30402010
表2：
注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表
[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）
1025203015
（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；
完成下面2×
2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．
表3：
疱疹面积小于70mm2
疱疹面积不小于70mm2
合计
注射药物A
a=
b=
注射药物B
c=
d=
n=
附：
K2=．
【考点】独立性检验的应用．菁优网版权所有
【专题】应用题；
图表型．
（1）利用组合数找出所有事件的个数n，基本事件的个数m，代入古典概率计算公式p=
（2）由频数分布表中的频数求出每组的，画出频率分布直方图，完成2×
2列联表，代入计算随机变量值后与临界点比较判断两变量的相关性的大小．
（Ⅰ）从200选100的组合数C200100，记：
“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件A，则事件A包含的情况有2C19899∴（4分）
（Ⅱ）（i）
图Ⅰ注射药物A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图
可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．（8分）
（ii）表3：
a=70
b=30
100
c=35
d=65
105
95
n=200
由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．（12分）
【点评】本题考查的内容为：
利用组合数求古典概率，由频数分布表画频率分布直方图及2×
2列联表，考查独立性检验的计算公式与临界值比较以判断两个变量的关联性．要注意频率分布直方图的纵轴是
19．（12分）（2010•辽宁）已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：
CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．
【考点】平面与平面之间的位置关系；
空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有
证明题．
【分析】由PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标
（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；
（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．
【解答】证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）
（Ⅰ），
因为，
所以CM⊥SN（6分）
（Ⅱ），
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则令x=2，得a=（2，1，﹣2）．
所以SN与片面CMN所成角为45°
．
【点评】如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解
20．（12分）（2010•辽宁）设椭圆C：
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°
，．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．
【考点】椭圆的简单性质；
直线的倾斜角；
椭圆的标准方程；
直线与圆锥曲线的综合问题．菁优网版权所有
（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由，求出离心率．
（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1＞0，y2＜0．
（1）直线l的方程为，其中．
联立得．
解得，．
因为，所以﹣y1=2y2．即﹣=2，
解得离心率．（6分）
（2）因为，∴•．
由得，所以，解得a=3，．
故椭圆C的方程为．（12分）
【点评】本题考查椭圆的性质标和准方程，以及直线和圆锥曲线的位置关系，准确进行式子的变形和求值，是
解题的难点，属于中档题．
21．（12分）（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性先对|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|进行化简整理，转化成研究g（x）=f（x）+4x在（0，+∞）单调减函数，再利用参数分离法求出a的范围．
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．
则当时，f'
（x）＞0；
时，f'
（x）＜0．
故f（x）在单调增加，在单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，
从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|
等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①
令g（x）=f（x）+4x，则
①等价于g（x）在（0，+∞）单调减少，即．
从而
故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）
【点评】本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．
22．（10分）（2010•辽宁）如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．
（1）证明：
△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．
【考点】圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有
（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．
（2）根据
（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC，再结合三角形面积公式，不难得到∠BAC的大小．
（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
解：
（2）因为△ABE∽△ADC，
所以，
即AB•AC=AD•AE．
又S=AB•ACsin∠BAC，
且S=AD•AE，
故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°
【点评】相似三角形有三个判定定理：
判定定理1：
两角对应相等的两个三角形相似；
判定定理2：
三边对应成比例的两个三角形相似；
判定定理3：
两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．
23．（10分）（2010•辽宁）已知P为半圆C：
（θ为参数，0≤θ≤π）上的点，
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