高考数学资料5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(7)导数部分Word下载.doc

高考数学资料5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(7)导数部分Word下载.doc

《高考数学资料5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(7)导数部分Word下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学资料5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(7)导数部分Word下载.doc（56页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

D在区间内无零点，在区间内有零点。

【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。

解析由题得，令得；

令得；

得，故知函数在区间上为减函数，在区间

为增函数，在点处有极小值；

又

，故选择D。

二、填空题

10.（2009辽宁卷文）若函数在处取极值，则

解析f’（x）＝

f’

（1）＝＝0Þ

a＝3

答案3

11.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.

解析解析由题意该函数的定义域，由。

因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。

解法1（图像法）再将之转化为与存在交点。

当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填

或是。

解法2（分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得

12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为.

解析考查利用导数判断函数的单调性。

，

由得单调减区间为。

亦可填写闭区间或半开半闭区间。

13.（2009江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.

解析考查导数的几何意义和计算能力。

，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）

答案:

【命题立意】:

本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.

14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.

答案

解析由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，

所以。

15.（2009陕西卷理）设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.

答案-2

16.（2009四川卷文）设是已知平面上所有向量的集合，对于映射，记的象为。

若映射满足：

对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。

现有下列命题：

①设是平面上的线性变换，，则

②若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换；

③对，则是平面上的线性变换；

④设是平面上的线性变换，，则对任意实数均有。

其中的真命题是（写出所有真命题的编号）

答案①③④

解析①：

令，则故①是真命题

同理，④：

令，则故④是真命题

③：

∵，则有

是线性变换，故③是真命题

②：

由，则有

∵是单位向量，≠0，故②是假命题

【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，

突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。

17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为。

答案

解析，斜率k＝＝3，所以，y－1＝3x，即

三、解答题

18.（2009全国卷Ⅰ理）本小题满分12分。

（注意：

在试题卷上作答无效）

设函数在两个极值点，且

（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；

（II）证明：

分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。

大部分考生有思路并能够得分。

由题意知方程有两个根

则有

故有

右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。

（II）这一问考生不易得分，有一定的区分度。

主要原因是含字母较多，不易找到突破口。

此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。

解析由题意有．．．．．．．．．．．．①

又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

消去可得．

又，且

19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数．

（I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值；

（II）若函数在区间上不单调，求的取值范围．

解析（Ⅰ）由题意得

又，解得，或

（Ⅱ）函数在区间不单调，等价于

导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数

即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有

，即：

整理得：

，解得

20.（2009北京文）（本小题共14分）

设函数.

（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值点.

解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．

（Ⅰ）,

∵曲线在点处与直线相切，

∴

（Ⅱ）∵,

当时，，函数在上单调递增，

此时函数没有极值点.

当时，由，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

∴此时是的极大值点，是的极小值点.

21.（2009北京理）（本小题共13分）

设函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查

综合分析和解决问题的能力．

曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）由，得，

若，则当时，，函数单调递减，

若，则当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，

即时，函数内单调递增，

若，则当且仅当，

综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.

22.（2009山东卷文）（本小题满分12分）

已知函数,其中

（1）当满足什么条件时,取得极值?

（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

解:

（1）由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即,此时方程的根为

,

所以

当时,

（-∞,x1）

x1

（x1,x2）

x2

（x2,+∞）

f’（x）

＋

－

f（x）

增函数

极大值

减函数

极小值

所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.

当时,

（-∞,x2）

x2

（x2,x1）

x1

（x1,+∞）

综上,当满足时,取得极值.

（2）要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立,所以

设,,

令得或（舍去）,

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上,当时,;

当时,

本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.

22.设函数，其中常数a>

1

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性;

（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）>

0恒成立，求a的取值范围。

解析本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。

解析（I）

由知，当时，，故在区间是增函数；

当时，，故在区间是减函数；

当时，，故在区间是增函数。

综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。

（II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。

由假设知

即解得1<

a<

6

故的取值范围是（1，6）

23.（2009广东卷理）（本小题满分14分）

已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．

（1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；

（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．

解析

（1）依题可设（），则；

又的图像与直线平行

，，

设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时，解得

当时，解得

（2）由（），得

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，

若，，

函数有两个零点，即

；

函数有两个零点，即；

当时，方程有一解,,

函数有一零点

综上，当时,函数有一零点；

当（），或（）时，

函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分）

已知函数，讨论的单调性.

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

本小题满分12分。

解析的定义域是（0,+）,

设,二次方程的判别式.

当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。

①当,即时，仅对有,对其余的都有

此时在上也是增函数。

①当，即时，

方程有两个不同的实根,,.

+

_

单调递增

极大

单调递减

极小

此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.

25.（2009安徽卷文）（本小题满分14分）

已知函数，a＞0，

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。

期中e=2.71828…是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。

第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。

解析

（1）由于

令

①当,即时,恒成立.

在（－∞,0）及（0,＋∞）上都是增函数.

②当,即时

由得或

或或

又由得

综上①当时,在上都是增函数.

②当时,在上是减函数,

在上都是增函数.

（2）当时,由

（1）知在上是减函数.

在上是增函数.

又

函数在上的值域为

26.（2009江西卷文）（本小题满分12分）

设函数．

（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；

（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

解析

（1）,

因为,,即恒成立,

所以,得，即的最大值为

（2）因为当时,;

当时,;

所以当时,取极大值;

当时,取极小值;

故当或时,方程仅有一个实根.解得或.

27.（2009江西卷理）（本小题满分12分）

（1）求函数的单调区间；

（1）若，求不等式的解集．

解析

（1）,由,得.

因为当时,；

当时,；

所以的单调增区间是:

单调减区间是:

.

（2）由,

得：

.

故：

当时,解集是：

当时，解集是：

；

.

28.（2009天津卷文）（本小题满分12分）

（Ⅰ）当曲线处的切线斜率

（Ⅱ）求函数的单调区间与极值；

（Ⅲ）已知函数有三个互不相同的零点0，，且。

若对任意的

，恒成立，求m的取值范围。

答案

（1）1

（2）在和内减函数，在内增函数。

函数在处取得极大值，且=

函数在处取得极小值，且=

解析解析当

所以曲线处的切线斜率为1.

（2）解析，令，得到

因为

当x变化时，的变化情况如下表：

-

在和内减函数，在内增函数。

（3）解析由题设，

所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得

若，而，不合题意

若则对任意的有

则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得

综上，m的取值范围是

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。

30.（2009湖北卷理）（本小题满分14分）（注意：

在R上定义运算（b、c为实常数）。

记，，.令.

如果函数在处有极什,试确定b、c的值；

求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。

解当得对称轴x=b位于区间之外

此时

由

①若

于是

①若，则，

综上，对任意的b、c都有

而当，时，在区间上的最大值

故对任意的b，c恒成立的k的最大值为

31.（2009四川卷文）（本小题满分12分）

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。

（I）求函数的解析式；

（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

解析（I）由已知,切点为（2,0）,故有,即……①

又，由已知得……②

联立①②，解得.

所以函数的解析式为…………………………………4分

（II）因为

令

当函数有极值时，则，方程有实数解，

由，得.

①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值

②当时，有两个实数根

情况如下表：

↗

↘

所以在时，函数有极值；

当时，有极大值；

当时，有极小值；

…………………………………12分

32.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）

设函数有两个极值点，且

（I）求的取值范围，并讨论的单调性；

（I）

令，其对称轴为。

由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

（II）由（I），

设，

则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。

故．

33.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）

已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.

（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。

（Ⅰ）.因为函数的图象关于直线x=2对称，

所以，于是

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，.

（ⅰ）当c12时，，此时无极值。

（ii）当c<

12时，有两个互异实根,.不妨设＜，则＜2＜.

当x＜时，，在区间内为增函数；

当＜x＜时，，在区间内为减函数;

当时，，在区间内为增函数.

所以在处取极大值，在处取极小值.

因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.

于是的定义域为.由得.

于是.

当时，所以函数

在区间内是减函数，故的值域为

35.（2009福建卷理）（本小题满分14分）

已知函数,且

（1）试用含的代数式表示b,并求的单调区间；

（2）令,设函数在处取得极值，记点M（,），N（,），P（）,,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m（,x），线段MP与曲线f（x）均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q（n,f（n））,xn<

m,使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）

解法一:

（Ⅰ）依题意,得

由.

从而

令

①当a>

1时,

当x变化时，与的变化情况如下表：

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。

②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R

③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.

（Ⅱ）由得令得

由

（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。

观察的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；

③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：

满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－=0时，解得

直线MP的方程为

当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。

当时，.

所以存在使得

即当MP与曲线有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似

（1）于中的观察，可得m的取值范围为

解法二：

（1）同解法一.

（2）由得，令，得

由

（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。

故M（）.N（）

（Ⅰ）直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在（－1,m）上有根,即函数

上有零点.

因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.

又.因此,在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.

等价于即

又因为,所以m的取值范围为（2,3）

从而满足题设条件的r的最小值为2.

36.（2009辽宁卷文）（本小题满分12分）

设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。

（2）求a的值，并讨论f（x）的单调性；

（1）证明：

当

解析（Ⅰ）.有条件知，

，故.………2分于是.

故当时，＜0；

当时，＞0.

从而在，单调减少，在单调增加.………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，

最小值为.

从而对任意，，有.………10分

而当时，.

从而………12分

37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）

已知函数f（x）=x－ax+（a－1），。

（1）讨论函数的单调性；

（2）证明：

若，则对任意x，x，xx，有。

解析

（1）的定义域为。

2分

（i）若即,则

故在单调增加。

（ii）若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

（iii）若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

（II）考虑函数

由于1<

5,故，即g（x）在（4,+∞）单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·

·

12分

38.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）

已知函数

（1）如，求的单调区间；

（1）若在单调