2012年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析文档格式.doc
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6．（5分）（2012•广东）在△ABC中，若∠A=60°
，∠B=45°
，，则AC=（ ）
7．（5分）（2012•广东）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ）
72π
48π
30π
24π
8．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y﹣5=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则弦AB的长等于（ ）
2
9．（5分）（2012•广东）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（ ）
105
16
15
10．（5分）（2012•广东）对任意两个非零的平面向量和，定义°
=．若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且•和•都在集合中，则•=（ ）
二、填空题：
本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是 ．
12．（5分）（2012•广东）若等比数列{an}满足a2a4=，则a1a32a5= ．
13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 ．（从小到大排列）
14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为 ．
15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB= ．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（12分）（2012•广东）已知函数，x∈R，且
（1）求A的值；
（2）设，，，求cos（α+β）的值．
17．（13分）（2012•广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
x：
y
1：
2：
3：
4
4：
5
18．（13分）（2012•广东）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且，PH为△PAD中AD边上的高．
（1）证明：
PH⊥平面ABCD；
（2）若PH=1，，FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积；
（3）证明：
EF⊥平面PAB．
19．（14分）（2012•广东）设数列{an}前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn=2Sn﹣n2，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
20．（14分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
（a＞b＞0）的左焦点为F1（﹣1，0），且点P（0，1）在C1上．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：
y2=4x相切，求直线l的方程．
21．（14分）（2012•广东）设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．
（1）求集合D（用区间表示）
（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．
参考答案与试题解析
考点：
复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
专题：
数系的扩充和复数．
分析：
利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，以及虚数单位i的幂运算性质，运算求得结果．
解答：
解：
∵，
故选D．
点评：
本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．
补集及其运算．菁优网版权所有
集合．
直接根据集合的补集的定义以及条件，求出∁UM．
∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，3，5}，则∁UM={2，4，6}，
故选A．
本题主要考查集合的表示方法、求集合的补集，属于基础题．
平面向量的坐标运算．菁优网版权所有
平面向量及应用．
由，，利用能求出．
∵，，
∴．
本题考查平面向量的坐标运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
函数奇偶性的判断．菁优网版权所有
函数的性质及应用．
结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）=f（x），即可判断
A：
y=sinx，则有f（﹣x）=sin（﹣x）=﹣sinx为奇函数
B：
y=x3，则有f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3=﹣f（x）为奇函数，
C：
y=ex，则有f（﹣x）=，为非奇非偶函数．
D：
y=ln，则有F（﹣x）=ln=f（x）为偶函数
故选D
本题主要考查了函数的奇偶行的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义
简单线性规划．菁优网版权所有
不等式的解法及应用．
先画出线性约束条件的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值
作出不等式组对应的平面区域如图：
（阴影部分）．
由z=x+2y得y=﹣，
平移直线y=﹣，
由图象可知当直线y=﹣经过点B时，直线y=﹣的截距最小，
此时z最小．
由，解得，即B（﹣1，﹣2），
代入目标函数z=x+2y得z=﹣1+2×
（﹣2）=﹣5．
即目标函数z=x+2y的最小值为﹣5．
故选：
本题主要考查了线性规划的思想和方法，二元一次不等式表示平面区域的知识，数形结合解决问题的思想方法，属基础题
正弦定理．菁优网版权所有
解三角形．
结合已知，根据正弦定理，可求AC
根据正弦定理，，
则
故选B
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题
由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
空间位置关系与距离；
立体几何．
由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项
由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，
则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π
故选C
本题考查由三视图求体积，解题的关键是由三视图得出几何体的几何特征及相关的数据，熟练掌握相关几何体的体积公式也是解题的关键
直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
直线与圆．
由直线与圆相交的性质可知，，要求AB，只要求解圆心到直线3x+4y﹣5=0的距离
由题意可得，圆心（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离，
则由圆的性质可得，，
即．
本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，点到直线的距离公式的应用，属于基础试题
循环结构．菁优网版权所有
算法和程序框图．
本循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s=1×
3×
5×
…×
（2i﹣1），由此能够求出结果．
如图所示的循环结构是当型循环结构，
它所表示的算式为s=1×
（2i﹣1）
∴输入n的值为6时，输出s的值s=1×
5=15．
故选C．
本题考查当型循环结构的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
先求出•=，n∈N，•=，m∈N，再由cos2θ=∈（0，），故m=n=1，从而求得•=的值．
∵°
•=====，n∈N．
同理可得°
•====，m∈N．
再由与的夹角，可得cosθ∈（0，），
∴cos2θ=∈（0，），故m=n=1，
∴•==，
本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得m=n=1，是解题的关键，属于中档题．
11．（5分）（2012•广东）函数的定义域是 [﹣1，0）∪（0，+∞） ．
函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
根据影响定义域的因素知，分母不为零，且被开方式非负，即，解此不等式组即可求得函数的定义域．
要使函数有意义，须，
解得x≥﹣1且x≠0
∴函数的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．
故答案为[﹣1，0）∪（0，+∞）．
此题是个基础题．考查函数定义域及其求法，注意影响函数定义域的因素有：
分母不等于零，偶次方根的被开方式非负，对数的真数大于零等．
12．（5分）（2012•广东）若等比数列{an}满足a2a4=，则a1a32a5= ．
等比数列的性质．菁优网版权所有
等差数列与等比数列．
由等比数列{an}的性质可得=，再次利用等比数列的定义和性质可得．
∵等比数列{an}满足=，则，
故答案为．
本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．
13．（5分）（2012•广东）由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为 1，1，3，3 ．（从小到大排列）
极差、方差与标准差；
众数、中位数、平均数．菁优网版权所有
概率与统计．
由题意，可设x1≤x2≤x3≤x4，，根据题设条件得出x1+x2+x3+x4=8，，再结合中位数是2，即可得出这组数据的值．
不妨设x1≤x2≤x3≤x4，，
依题意得x1+x2+x3+x4=8，
，即，所以（x4﹣2）2＜4，则x4＜4，
结合x1+x2+x3+x4=8，及中位数是2，只能x1=x2=1，x3=x4=3，则这组数据为1，1，3，3．
故答案为：
1，1，3，3．
本题考查中位数，平均数，标准差，解题的关键是利用相关公式建立方程，作了正确判断．
14．（5分）（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为（θ为参数，）和（t为参数），则曲线C1和C2的交点坐标为 （2，1） ．
圆的参数方程；
直线与圆相交的性质；
直线的参数方程．菁优网版权所有
坐标系和参数方程．
先把曲线C1和C2的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标
曲线C1的普通方程为x2+y2=5（），曲线C2的普通方程为y=x﹣1
联立方程x=2或x=﹣1（舍去），
则曲线C1和C2的交点坐标为（2，1）．
（2，1）
本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程
15．（2012•广东）如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB= ．
弦切角；
与圆有关的比例线段．菁优网版权所有
利用题设条件，由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，故△ABD∽△ACB，，由此能求出结果．
如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，
∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，
∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∴AB2=AC•AD=mn，
．
本题考查与圆有关的线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．
两角和与差的余弦函数；
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
三角函数的求值．
（1）将代入函数解析式，利用特殊角三角函数值即可解得A的值；
（2）先将，代入函数解析式，利用诱导公式即可得sinα、cosβ的值，再利用同角三角函数基本关系式，即可求得cosα、sinβ的值，最后利用两角和的余弦公式计算所求值即可
（1），解得A=2
（2），即
，即
因为，
所以，，
所以．
本题主要考查了三角变换公式在化简求值中的应用，诱导公式、同角三角函数基本关系式的应用，特殊角三角函数值的运用，属基础题
用样本的频率分布估计总体分布；
频率分布直方图；
（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；
（2）由平均数加权公式可得平均数为55×
0.05+65×
0.4+75×
0.3+85×
0.2+95×
0.05，计算出结果即得；
（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．
（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×
0.05=73（分）；
（3）数学成绩在[50，60）的人数为：
100×
0.05=5，
数学成绩在[60，70）的人数为：
，
数学成绩在[70，80）的人数为：
数学成绩在[80，90）的人数为：
所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：
100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．
本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解．
直线与平面垂直的判定；
棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
（1）因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB，因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD，由此能够证明PH⊥平面ABCD．
（2）连接BH，取BH中点G，连接EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，由此能够求出三棱锥E﹣BCF的体积．
（3）取PA中点M，连接MD，ME，因为E是PB的中点，所以，因为ME，所以MEDF，故四边形MEDF是平行四边形．由此能够证明EF⊥平面PAB．
∵AB⊥平面PAD，
∴PH⊥AB，
∵PH为△PAD中AD边上的高，
∴PH⊥AD，
∵AB∩AD=A，
∴PH⊥平面ABCD．
（2）如图，连接BH，取BH中点G，连接EG，
∵E是PB的中点，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
则，
∴=
如图，取PA中点M，连接MD，ME，
∴ME，
∴MEDF，
∴四边形MEDF是平行四边形，
∴EF∥MD，
∵PD=AD，∴MD⊥PA，
∵AB⊥平面PAD，∴MD⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴MD⊥平面PAB，
∴EF⊥平面PAB．
本题考查直线与平面垂直的证明，求三棱锥的体积，解题时要认真审题，注意合理地化立体几何问题为平面几何问题．
数列递推式．菁优网版权所有
（1）当n=1时，T1=2S1﹣1．由T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，能求出a1．
（2）当n≥2时，Sn=Tn﹣Tn﹣1=2Sn﹣n2﹣[2Sn﹣1﹣（n﹣1）2]=2Sn﹣2Sn﹣1﹣2n+1，所以Sn=2Sn﹣1+2n﹣1，Sn+1=2Sn+2n+1，故an+1=2an+2，所以=2（n≥2），由此能求出数列{an}的通项公式．
（1）当n=1时，T1=2S1﹣1
因为T1=S1=a1，所以a1=2a1﹣1，求得a1=1
（2）当n≥2时，
所以Sn=2Sn﹣1+2n﹣1①
所以Sn+1=2Sn+2n+1②
②﹣①得an+1=2an+2
所以an+1+2=2（an+2），即（n≥2）
求得a1+2=3，a2+2=6，则
所以{an+2}是以3为首项，2为公比的等比数列
所以
所以，n∈N*．
本题考查数列的首项和数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法的合理运用．
直线与圆锥曲线的关系；
椭圆的标准方程．菁优网版权所有
圆锥曲线的定义、性质与方程．
（1）因为椭圆C1的左焦点为F1（﹣1，0），所以c=1，点P（0，1）代入椭圆，得b=1，由此能求出椭圆C1的方程．
（2）设直线l的方程为y=kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．因为直线l与椭圆C1相切，所以△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0．由此能求出直线l的方程．
解
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