国庆作业Word文件下载.docx
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解：
（1）∵原方程有两个实数根，
∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0
∴1-4k≥0，
∴k≤
4
∴当k≤
时，原方程有两个实数根．
（2）假设存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立．
∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2＝2k+1，x1•x2＝k2+2k．
由x1•x2−x12−x22≥0，
得3x1•x2−（x1+x2）2≥0．
∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，整理得：
-（k-1）2≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立．
又∵由
（1）知k≤
，
∴不存在实数k使得x1•x2−x12−x22≥0成立．
（2013•泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
．（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0．
（1）求证：
方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
（2013•资阳）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．
（1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求⊙O的半径r；
（2）如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°
，请直接写出∠DCA的度数．
考点：
垂径定理；
含30度角的直角三角形；
圆周角定理；
翻折变换（折叠问题）．
分析：
（1）过点O作OE⊥AC于E，根据垂径定理可得AE=
AC，再根据翻折的性质可得OE=
r，然后在Rt△AOE中，利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到
ADC
所对的圆周角，然后根据∠ACD等于
所对的圆周角减去
CD
所对的圆周角，计算即可得解．
解答：
（1）如图，过点O作OE⊥AC于E，
则AE=
AC=
×
2=1，
∵翻折后点D与圆心O重合，
∴OE=
r，
在Rt△AOE中，AO2=AE2+OE2，
即r2=12+（
r）2，
解得r=
3
；
（2）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°
∵∠BAC=25°
∴∠B=90°
-∠BAC=90°
-25°
=65°
根据翻折的性质，
AC
所对的圆周角等于
所对的圆周角，
∴∠DCA=∠B-∠A=65°
=40°
点评：
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，翻折的变换的性质，以及圆周角定理，
（1）作辅助线构造出半径、半弦、弦心距为边的直角三角形是解题的关键，
（2）根据同弧所对的圆周角相等求解是解题的关键．
（2013•贵阳）已知：
如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°
△OEF是等边三角形；
（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
等边三角形的判定与性质；
扇形面积的计算．
（1）作OC⊥AB于点C，由OC⊥AB可知AC=BC，再根据AE=BF可知EC=FC，因为OC⊥EF，所以OE=OF，再由∠EOF=60°
即可得出结论；
（2）在等边△OEF中，因为∠OEF=∠EOF=60°
，AE=OE，所以∠A=∠AOE=30°
，故∠AOF=90°
，再由AO=10可求出OF的长，根据S阴影=S扇形AOD-S△AOF即可得出结论．
（1）证明：
作OC⊥AB于点C，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC，
∵AE=BF，
∴EC=FC，
∵OC⊥EF，
∴OE=OF，
∵∠EOF=60°
∴△OEF是等边三角形；
（2）解：
∵在等边△OEF中，∠OEF=∠EOF=60°
，AE=OE，
∴∠A=∠AOE=30°
∴∠AOF=90°
∵AO=10，
∴OF=
10
∴S△AOF=
10=
50
，S扇形AOD=
90π
360
102=25π，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOF=25π-
本题考查的是垂径定理，涉及到等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质及扇形的面积等知识，难度适中．
（2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．
等腰三角形的判定与性质；
勾股定理．
（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：
（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：
（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，
∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；
设BC=x，则AC=x-2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴（x-2）2+x2=42，
解得：
x1=1+
7
，x2=1-
（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+
此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．
显示解析试题篮
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几何变换综合题．
专题：
压轴题．
（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．
（3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：
存在α（30°
和75°
），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、答图5所示．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°
∴AE=AD•cos30°
=3
，DE=AD•sin30°
=3，
∴△AED的周长为：
6+3
+3=9+3
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．
∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°
=t，NK=ND0•tan30°
=
t，
∴S=S△D0NK=
ND0•NK=
t•
t=
t2；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，
∴A0N=
A0B=6-t，NK=A0N•tan30°
（6-t）．
∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=
3×
-
（6-t）×
（6-t）=−
6
t2+2
t-
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，
A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°
（6-t）；
易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S梯形BND0I-S△BKJ=
[t+（2t-6）]•
（6-t）-
•（12-2t）•
（12-2t）=−
13
t2+20
t-42
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=
t2（0≤t≤1.5）
−
t−
（1.5＜t≤4.5）
t−42
（4.5＜t≤6）
（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：
经探究，得△BPQ∽△B1QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），
则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°
即∠BCB1=30°
∴α=30°
（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，
若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），
∵∠B1=30°
，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°
即∠BCB1=75°
∴α=75°
若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图6），
，∴∠B1CQ=∠B1QC=15°
即∠BCB1=180°
-∠B1CQ=180°
-15°
=165°
∴α=165°
综上所述，存在α=30°
，75°
或165°
，使△BPQ为等腰三角形．
本题考查了运动型与几何变换综合题，难度较大．难点在于：
其一，第
（2）问的运动型问题中，分析三角形的运动过程，明确不同时段的重叠图形形状，是解题难点；
其二，第（3）问的存在型问题中，探究出符合题意的旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点；
其三，本题第
（2）问中，计算量很大，容易失分．
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