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所以，当他碰到大名鼎鼎的帕斯卡，就迫不及待地向他请教了。

然而，梅累的貌似简单的问题，却真正难住他了。

虽然经过了长时间的探索，但他还是无法解决这个问题。

1654年左右，帕斯卡与费马在一系列通信中讨论了类似的“合理分配赌金”的问题。

该问题可以简化为：

甲、乙两人同掷一枚硬币，规定：

正面朝上，甲得一点；

若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。

假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。

帕斯卡：

若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注。

甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。

费马：

结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：

情况

1

2

3

4

胜者

甲甲

甲乙

乙甲

乙乙

前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。

所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。

帕斯卡与费马用组合方法给出了正确解答。

虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。

后来他们还研究了更复杂的在多个赌徒间分赌注的问题。

1655年，荷兰数学家惠更斯恰好也在巴黎，他了解到了帕斯卡与费马的工作详情之后，也饶有兴趣地参加了他们的讨论，讨论的情况与结果被惠更斯总结成《关于赌博中的推断》（1657年）一书，这是公认的有关或然数学的奠基之作。

二、概率论的公理化

俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯·

米西斯Mises,1883-1953）对概率论的理论化做了最早的尝试，但它们提出的公理理论并不完善。

事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。

这方面的先行者是法国数学家博雷尔,1781-1956）他首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，1909年他提出并在特殊情形下解决了随机变量序列§

1，§

2，...，服从大数定律的条件问题。

他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。

特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。

他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。

后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概率论的中心课题之一——大数定律，成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。

1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。

在科尔莫戈罗夫的公理化理论中，对于域中的每一个事件，都有一个确定的非负实数与之对应，这个数就叫做该事件的概率。

在这里，概率论的定义同样是抽象的，并不涉及频率或其他任何有具体背景的概念。

他还提出了6条公理，之后的整个概率论大厦都可以从这6条公理开始建起。

科尔莫戈罗夫的公理系也因此逐渐获得了数学家们的普遍承认。

科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他还是出色的教育家。

他多次获得国际大奖，1965年，他把得到的国际巴桑奖金全数捐赠给学校图书馆，1980年他荣获沃尔夫奖。

概率论的公理化，使其成为了一门严格的演绎科学，取得了与其他数学分支同等的地位，并通过集合论与其他数学分支密切地联系着。

三、概率论的进一步发展

概率论本质上是研究随机现象的一门科学。

这类现象与必然科学截然不同，他的条件与结果之间并不存在某种必然的联系，也就是说，在相同的条件下，可能会发生某一结果，也可能不发生这一结果。

例如投掷一枚硬币，既可能正面朝上，也可能反面朝上。

但是，这并不意味着就不能用数量来描述和研究它们。

投掷硬币，投掷一次似乎没有什么规律性可言，但当它们大量出现时，在总体上却会呈现出某种规律，我们就称这种总体上的规律性为统计规律性，它的存在构成了或然数学研究的基础。

关于概率论方法的讨论最初是由帕斯卡和费马二人以通信的形式展开的。

它们虽然没有提出明确的概念定义，但他们在估计赌徒获胜的可能性时，总是利用有利情形数与所有可能数之比来做，这实质上就是早期古典概率的概念。

他们会同惠更斯一起，给出了概率、数学期望等基本概念的雏形，并得到相应的性质和计算方法，这些都表明，当时概率已成为具有本身特定研究对象的一门独立学科。

后来，由于概率论在保险理论、人口统计、射击理论、年度预算、产品检验以及天文学、物理学等学科的应用，很快引起了许多数学家的关注，概率论的发展也随之进入了一个崭新的阶段。

1718年，法国数学家隶莫弗（DeMoivre,Abraham,1667—1754）发表了《机遇原理》，他首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式，并讨论了许多投掷骰子和其他赌博的问题。

1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础。

在科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物还有莱维、辛钦、杜布和伊藤清等。

1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。

1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。

1939年，维尔引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。

从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。

像任何一门公理化的数学分支一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。

值得我们高兴的是，我国数学家在概率论的研究方面也取得了许多重要的成果。

数学家侯振廷年轻时发表的著名论文《Q过程的唯一性准则》得到国内外学者的高度评价，荣获1978年度的英国戴维逊奖。

四、概率论的应用

数学家们通过大量的同类型随机现象的研究，从中揭示出概率论某种确定的规律，而这种规律性又是许多客观事物所具有的，所以，概率论应用也随之扩宽了。

众所周知，接种牛痘是增强机体抵抗力、预防天花等疾病的有效方法，然而，当牛痘开始在欧洲大规模接种之际，它的副作用引起了人们的争议。

为了探求事情的真相，伯努利家族的另一位数学家丹尼尔·

伯努利根据大量的统计数据，应用概率论的方法，得出了接种牛痘能延长人的平均寿命三年的结论，从而消除了人们的恐惧与怀疑，为这一杰出的医学成果在世界范围内普及扫除了障碍。

现在，概率论与以它作为基础的数理统计学一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及工农业生产等诸多领域中起着不可或缺的作用。

直观地说，卫星上天，导弹巡航，飞机制造，宇宙飞船遨游太空等都有概率论的一份功劳；

及时准确的天气预报，海洋探险，考古研究等更离不开概率论与数量统计；

电子技术的发展，影视文化的进步，人口普查及教育等同概率论与数理统计也是密不可分的。

例如，天气预报的制作中就有一种统计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学和预报员时间经验的基础上，应用概率论和数理统计方法，再利用电子计算机，根据历史资料制作概率天气预报。

它所提供的不是某种天气现象的“有”或“无”，某种气象要素值“大”或“小”，而是天气现象出现的可能性有多大。

如对降水的预报，传统的天气预报一般预报有雨或无雨，而概率预报则给出可能出现降水的百分数，百分数越大，出现降水的可能性越大。

根据概率论中用投针试验估计π值思想产生的蒙特卡罗方法（这是一种建立在概率论与数理统计基础上的计算方法），借助电子计算机这一工具，使这种方法在核物理、表明物理、电子学、生物学、高分子化学等学科的研究中起着重要的作用。

概率论理论严谨，应用广泛，这一数学分支正日益受到人们的重视，以后将会随着科学技术的发展而得到发展。

五、概率论的历史评价

到17世纪时,不少学者已对赌博中的某些问题进行了讨论,并挖掘了其中的数学原理。

但对当时的大多数学家来说,概率论是庸俗的赌博游戏,难登大雅之堂。

是社会的发展及其需要,才推动了概率论的发展。

如果没有社会的需要,概率论至今恐怕仍然只能在牌桌上显示神通。

我觉得“概率论产生于赌博”这个观点是不完全对的，“赌博问题”和“理性思考”是概率论产生的两个必要条件,而后者更重要。

与其它数学分支的形成与发展一样，概率论的形成与发展推动了新的数学思想和方法形成，如随机思想、假设检验思想等等。

同时，新的数学思想与方法又极大地推动了数学的发展，正因为有公理化思想作指导，概率论才得以发展成为一门严格的演绎科学。

四百年以前“赌注下在多少点最有利？

”的问题，现在看起来实在简单不过了，但在当时，由于基本思想与方法的局限性，虽然有许多人为此进行不懈地探索，却很难有大的突破。

因此，从某种意义上说，概率论的形成与发展实质也是新的数学思想和方法的形成与发展的历史。

了解概率论的历史有助于我们学习和应用概率论这一重要的数学分支。

正如拉普拉斯所说：

“一门开始于研究赌博机会的科学，居然成了人类知识中最重要的学科之一，这无疑是令人惊讶的事情。

概率论发展简史

一、历史背景：

　　17、18世纪，数学获得了巨大的进步。

数学家们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整的数学分支。

除了分析学这一大系统之外，概率论就是这一时期"

使欧几里得几何相形见绌"

的若干重大成就之一。

二、概率论的起源：

　　概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。

　　它起源于对赌博问题的研究。

早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。

他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。

　　概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。

他们在往来的信函中讨论"

合理分配赌注问题"

。

　　甲、乙两人同掷一枚硬币。

规定：

　　帕斯卡：

若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注，两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，

　　　　　　　　　　　乙胜，甲、乙平分赌注

　　甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。

１

２

３

４

　　帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。

三、概率论在实践中曲折发展：

　　在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。

后来由于许多社会问题和工程技术问题，如：

人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。

这些问题的提法，均促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切贝谢夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。

在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。

但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。

因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

四、概率论理论基础的建立：

　　谈及概率论的产生，我们必须得提及瑞士数学家族——贝努利家族的几位成员，特别是雅可布?

贝努利（JacobBernoulli,1654-1705），概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·

贝努利的《推测术》。

经过二十多年的艰难研究，贝努利在该书中，表述并证明了著名的"

大数定律"

所谓"

，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。

这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。

因此，贝努利被称为概率论的奠基人。

遗憾的是，在雅可布?

贝努利逝世八年后的1713年，他的研究大作《猜度术》才正式出版。

之后，法国数学家数学家棣莫弗（Abraham?

DeMoivre,1667-1754）把概率论又作了巨大推进，他在1718年发表的《机遇原理》一书中提出了概率乘法法则，以及“正态分布”和“正态分布律”的概念，为概率论的“中心极限定理”建立奠定了基础。

值得一提的是，棣莫弗还于1730年出版的概率著作《分析杂录》中使用了概率积分，得出了n阶乘的级数表达式。

他还于1725年出版专门论著，把概率论首次应用于保险事业上。

1760年，法国数学家蒲丰（ComtedeBuffon，1707-1788）的《偶然性的算术试验》出版，他把概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究。

著名的投针实验便是他于1777年提出的，利用这一实验，他采取概率的方法尝试求求圆周率π的近似值。

19世纪，法国数学家拉普拉斯（SimonLaplace,1749-1827）、德国数学家高斯（Gauss,1777-1855）、法国数学家泊松等为概率论建方完整的体系和更为广泛的应用做了进一步奠基性工作。

特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。

拉普拉斯有一句名言，现在不少论及概率论在中小学数学教学中的意义的论文都引有这句话，这句话是：

“生活中最重要的问题，其中大多数只是概率问题”。

概率论自问世之后，即充分显示了它巨大的应用价值。

当时，牛痘在欧洲大规模接种后，曾因副作用引起争议。

丹尼尔·

贝努里（DanielBernoulli，1700—1782）根据大量的统计资料，作出了种牛痘能延长人类平均寿命三年的结论，消除了一些人的恐惧和怀疑；

欧拉（Euler，1707-1783）将概率论应用于人口统计和保险，写出了《关于死亡率和人口增长率问题的研究》，《关于孤儿保险》等文章；

泊松将概率应用于射击的各种问题的研究，提出了《打靶概率研究报告》等等。

也正因为概率论有其巨大的应用价值，使得它成为18和19两个世纪的热门学科之一，几乎所有的科学领域，包括神学等社会科学都企图借助于概率论去解决问题。

但是，事物都是具有两面性的，因为过于强调概率论的应用价值，也在一定程度上形成了“滥用”的现象，以至到19世纪末，人们不得不重新对概率论进行审视，客观上促进了人们积极地寻求概率论的逻辑基础。

为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。

1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

五、概率论的应用：

发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事科学及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的作用。

例如，天气预报的制作就有一种统计预报法，它是在大气动力学、热力学、气候学和预报员时间经验的基础上，应用概率论和数理统计方法，利用电子计算机，根据历史资料制作天气预报。

用这种方法制作的天气预报称为概率天气预报，即用概率值表示预报量出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象的"

有"

或"

无"

，某种气象要素值"

大"

小"

，而是天气现象出现的可能性有多大。

概率天气预报既反映了天气变化确定性的一面，又反映了天气变化的不确定性和不确定程度。

在许多情况下，这种预报形式更能适应经济活动和军事活动中决策的需要。

这种预报法预报量的概率值。

正如我国在近现代科学的发展中地位不高一样，概率论没能在我国产生与发展。

概率论传入我国的历史也不长，在上个世纪初才传入我国。

1905年京师大学堂的数学教科学《普通代数学》中有概率问题的讨论。

上个世纪30、40年代在我国产生广泛影响的《范氏大代数》一书中有不少对古典概率的讨论。

50年代，我国的数学教育以学习前苏联为主，概率论被从中小学数学教学中“驱逐出境”，到了60年代，我国曾把作为大学内容的概率初步知识下放到中小学教材，由于是将大学数学下放到中小学，终因其理论要求过高、内容过深，与学生的生活经验与认知水平之间存在过大差距而“水土不服”，以至没能在中小学站住脚。

虽然在80年代，教育界曾关注过概率统计在中小学的教学，但由于当时的概率只是高中的选学内容，高考不考，教师不教，学生不学，概率教学难免形同虚设。

直到最近几年，教育界才真正关注并重视了概率论的教育价值，以前所未有的地位将它写入《数学课程标准》。

　　为了使大家更直观的了解概率论的应用，下面我给大家举一个概率论在社会调查中应用的例子。

对于某些被调查不愿公开回答的问题，运用概率论的方法可以得到较准确的结论。

举个例子，对一批即将出国留学的学生进行调查，确定学业完成后愿意回国者所占的比例。

对于"

完成学业后，你是否会回国"

这一问题，很多人不希望透露自己的真实想法。

为了得到正确的结论，我们将问题稍加调整，将"

定位问题a，另设问题b：

"

你的年龄是奇数"

将a、b组成一组问题，让被调查者抛硬币决定回答问题a或b，并且在问卷上不标示被调查者回答的是问题a还是问题b。

解除了顾虑后，被调查者都会给出真实的想法。

然后，运用概率论方法，我们就可以从调查结果中得到我们想知道的回国者比例。

假定有300人接受调查，结果有130个"

是"

因为被调查者回答问题a、b的概率各是50%，所以将各有约150人回答a或b问题。

又被调查者年龄是奇数的概率各是50%，所以150个回答b问题的人中，约有75个"

那么130个"

的答案中，约有55个"

是问题a的答案，于是我们就可以得到完成学业后愿意回国者的比例约55/150即11/30。

　　现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学。

它内容丰富，结论深刻，有别开生面的研究课题，由自己独特的概念和方法，已经成为了近代数学一个有特色的分支。

概率论和数理统计是一门随机数学分支，它们是密切联系的同类

17、18世纪，数学获得了巨大的进步。

概率论、起源、分支

概率论发展史

一、历史背景

二、概率论的起源：

　概率论起源于博弈问题。

15-16世纪，意大利数学家帕乔利,1445-1517）、塔塔利亚,1499-1557）和卡尔丹,1501-1576）的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。

1657年，荷兰数学家惠更斯,1629-1695）发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。

这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。

而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利（JacobBernoulli,1654-1705）。

他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。

伯努利之后，法国数学家棣莫弗Moivre,1667-1754）把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。

之后法国数学家蒲丰Buffon,1707-1788）提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。

另外，拉普拉斯、高斯和泊松等对概率论做出了进一步奠基性工作。

泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。

19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。

他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。

切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。

19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一