平行线的性质与判定典型例题文档格式.docx

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∠ABC，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠3＝∠2，

∵∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，

∴DC∥AB．

5．如图所示，∠B＝25°

，∠D＝42°

，∠BCD＝67°

，试判断AB和ED的位置关系，并说明理由．

AB∥ED，

理由：

如图，过C作CF∥AB，

∵∠B＝25°

，

∴∠BCF＝∠B＝25°

∴∠DCF＝∠BCD﹣∠BCF＝42°

又∵∠D＝42°

∴∠DCF＝∠D，

∴CF∥ED，

∴AB∥ED．

6．如图，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，且∠1+∠2＝90°

．试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．

BC∥AD．理由如下：

∵DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，

∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，

∵∠1+∠2＝90°

∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°

∴AD∥BC．

7．已知：

如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2．求证：

EF∥CD．

∵DG⊥BC，AC⊥BC，

∴∠DGB＝∠ACB＝90°

（垂直定义），

∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行），

∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等），

∴∠1＝∠DCA，

∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．

8．将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起，友情提示：

∠A＝60°

，∠D＝30°

，∠E＝∠B＝45°

．

（1）①若∠DCB＝45°

，则∠ACB的度数为　135°

②若∠ACB＝140°

，则∠DCE的度数为　40°

　．

（2）由

（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．

（3）当∠ACE＜90°

且点E在直线AC的上方时，当这两块三角尺有一组边互相平行时，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）．

（1）①∵∠DCE＝45°

，∠ACD＝90°

∴∠ACE＝45°

∵∠BCE＝90°

∴∠ACB＝90°

+45°

＝135°

故答案为：

135°

；

②∵∠ACB＝140°

，∠ECB＝90°

∴∠ACE＝140°

﹣90°

＝50°

∴∠DCE＝90°

﹣∠ACE＝90°

﹣50°

＝40°

40°

（2）猜想：

∠ACB+∠DCE＝180°

∵∠ACE＝90°

﹣∠DCE

又∵∠ACB＝∠ACE+90°

﹣∠DCE+90°

＝180°

即∠ACB+∠DCE＝180°

（3）30°

、45°

当CB∥AD时，∠ACE＝30°

当EB∥AC时，∠ACE＝45°

9．已知：

DE⊥AO于E，BO⊥AO，∠CFB＝∠EDO，证明：

CF∥DO．

∵DE⊥AO，BO⊥AO，

∴∠AED＝∠AOB＝90°

∴DE∥BO（同位角相等，两条直线平行），

∴∠EDO＝∠BOD（两直线平行，内错角相等），

∵∠EDO＝∠CFB，

∴∠BOD＝∠CFB，

∴CF∥DO（同位角相等，两条直线平行）．

10．如图，已知∠A＝∠C，∠E＝∠F，试说明：

AD∥BC．

∵∠E＝∠F，

∴AE∥CF，

∴∠A＝∠ADF，

∵∠A＝∠C，

∴∠ADF＝∠C，

11．已知：

如图，EG∥FH，∠1＝∠2．求证：

∠BEF+∠DFE＝180°

∵EG∥HF

∴∠OEG＝∠OFH，

∵∠1＝∠2

∴∠AEF＝∠DFE

∴AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE＝180°

12．如图，AB∥CD，∠B＝70°

，∠BCE＝20°

，∠CEF＝130°

，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由．

AB∥EF，理由如下：

∵AB∥CD，

∴∠B＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）

∵∠B＝70°

∴∠BCD＝70°

，（等量代换）

∵∠BCE＝20°

∴∠ECD＝50°

∵CEF＝130°

∴∠E+∠DCE＝180°

∴EF∥CD，（同旁内角互补，两直线平行）

∴AB∥EF．（平行于同一直线的两条直线互相平行）

13．如图，AD∥BC，∠DAC＝120°

，∠ACF＝20°

，∠EFC＝140°

．求证：

EF∥AD．

∵AD∥BC，

∴∠DAC+∠ACB＝180°

∵∠DAC＝120°

∴∠ACB＝60°

又∵∠ACF＝20°

∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝40°

又∵∠EFC＝140°

∴∠BCF+∠EFC＝180°

∴EF∥BC，

∴EF∥AD．

14．完成下列推理过程：

已知：

如图，∠1+∠2＝180°

，∠3＝∠B

求证：

∠EDG+∠DGC＝180°

∵∠1+∠2＝180°

（已知）

∠1+∠DFE＝180°

（　邻补角定义　）

∴∠2＝　∠DFE　（　同角的补角相等　）

∴EF∥AB（　内错角相等，两直线平行　）

∴∠3＝　∠ADE　（　两直线平行，内错角相等　）

又∵∠3＝∠B（已知）

∴∠B＝∠ADE（　等量代换　）

∴DE∥BC（　同位角相等，两直线平行　）

∴∠EDG+∠DGC＝180°

（　两直线平行，同旁内角互补　）

15．已知：

如图，BE∥GF，∠1＝∠3，∠DBC＝70°

，求∠EDB的大小．

阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）

∵BE∥GF（已知）

∴∠2＝∠3（　两直线平行同位角相等　）

∵∠1＝∠3（　已知　）

∴∠1＝（　∠2　）（　等量代换　）

∴DE∥（　BC　）（　内错角相等两直线平行　）

∴∠EDB+∠DBC＝180°

（　两直线平行同旁内角互补　）

∴∠EDB＝180°

﹣∠DBC（等式性质）

∵∠DBC＝（　70°

　）（已知）

﹣70°

＝110°

16．如图，已知：

E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于点G、H，AB∥CD，∠A＝∠D，试说明：

（1）AF∥ED；

（2）∠BED＝∠A；

（3）∠1＝∠2

（1）证明：

∴∠A＝∠AFC，

∵∠A＝∠D，

∴∠AFC＝∠D，

∴AF∥ED；

（2）证明：

∵AF∥ED，

∴∠BED＝∠A；

（3）证明：

∴∠1＝∠CGD，

又∵∠2＝∠CGD，

∴∠1＝∠2．

17．阅读理解，补全证明过程及推理依据．

如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

求证∠A＝∠F

∵∠1＝∠2（已知）

∠2＝∠DGF（　对顶角相等　）

∴∠1＝∠DGF（等量代换）

∴　BD　∥　CE　（　同位角相等，两直线平行　）

∴∠3+∠　C　＝180°

又∵∠3＝∠4（已知）

∴∠4+∠C＝180°

（等量代换）

∴　AC　∥　DF　（　同旁内角互补，两直线平行　）

∴∠A＝∠F（　两直线平行，内错角相等　）

18．如图，∠α和∠β的度数满足方程组

，且CD∥EF，AC⊥AE．

（1）求∠α和∠β的度数．

（2）求∠C的度数．

（1）解方程组

得

（2）∵∠α+∠β＝55°

+125°

∴∠C+∠CAB＝180°

∵AC⊥AE，

∴∠CAE＝90°

∴∠C＝180°

﹣55°

＝35°

19．如图，直线a∥b，∠1＝45°

，∠2＝30°

，求∠P的度数．

过P作PM∥直线a，

∵直线a∥b，

∴直线a∥b∥PM，

∵∠1＝45°

∴∠EPM＝∠2＝30°

，∠FPM＝∠1＝45°

∴∠EPF＝∠EPM+∠FPM＝30°

＝75°

20．如图，AB∥CD，∠A＝60°

，∠C＝∠E，求∠E．

∵AB∥CD，∠A＝60°

∴∠DOE＝∠A＝60°

又∵∠C＝∠E，∠DOE＝∠C+∠E，

∴∠E＝

∠DOE＝30°

21．如图，已知∠1+∠2＝180°

，∠B＝∠3，∠BAC与∠DCA相等吗？

∠BAC＝∠DCA，

∵∠CFE＝∠2，∠2+∠1＝180°

∴∠CFE+∠1＝180°

∴DE∥BC，

∴∠AED＝∠B，

∵∠B＝∠3，

∴∠3＝∠AEF，

∴∠BAC＝∠DCA．

22．如图，已知EF⊥BC，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°

．试说明直线AD与BC垂直．（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．

∵∠1＝∠C，（已知）

∴　GD　∥　AC　，（　同位角相等，两直线平行　）

∴∠2＝　∠DAC　．（　两直线平行，内错角相等　）

又∵∠2+∠3＝180°

，（已知）

∴∠3+　∠DAC　＝180°

．（等量代换）

∴　AD　∥　EF　，（　同旁内角互补，两直线平行　）

∴∠ADC＝∠EFC．（　两直线平行，同位角相等　）

∵EF⊥BC，（已知）

∴∠EFC＝90°

，∴∠ADC＝90°

∴　AD　⊥　BC　．

23．如图1，BC⊥AF于点C，∠A+∠1＝90°

（1）求证：

AB∥DE；

（2）如图2，点P从点A出发，沿线段AF运动到点F停止，连接PB，PE．则∠ABP，∠DEP，∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点A，D，C重合的情况）？

并说明理由．

（1）如图1，∵BC⊥AF于点C，

∴∠A+∠B＝90°

又∵∠A+∠1＝90°

∴∠B＝∠1，

∴AB∥DE．

（2）如图2，当点P在A，D之间时，过P作PG∥AB，

∵AB∥DE，

∴PG∥DE，

∴∠ABP＝∠GPB，∠DEP＝∠GPE，

∴∠BPE＝∠BPG+∠EPG＝∠ABP+∠DEP；

如图所示，当点P在C，D之间时，过P作PG∥AB，

∴∠BPE＝∠BPG﹣∠EPG＝∠ABP﹣∠DEP；

如图所示，当点P在C，F之间时，过P作PG∥AB，

∴∠BPE＝∠EPG﹣∠BPG＝∠DEP﹣∠ABP．

24．已知：

如图，FE∥OC，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．

AB∥DC；

（2）若∠B＝30°

，∠1＝65°

，求∠OFE的度数．

∵FE∥OC，

∴∠1＝∠C，

∵∠1＝∠A，

∴∠A＝∠C，

∴AB∥DC；

（2）解：

∵AB∥DC，

∴∠D＝∠B，

∵∠B＝30°

∴∠D＝30°

∵∠OFE是△DEF的外角，

∴∠OFE＝∠D+∠1，

∵∠1＝65°

∴∠OFE＝30°

+65°

＝95°

25．（2018秋•牡丹区期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°

AD∥EF；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°

，求∠B的度数．

（1）∵AB∥DG，

∴∠BAD＝∠1，

∴∠2+∠BAD＝180°

∴AD∥EF；

（2）∵∠1+∠2＝180°

，∠2＝150°

∴∠1＝30°

∵DG是∠ADC的平分线，

∴∠GDC＝∠1＝30°

∵AB∥DG，

∴∠B＝∠GDC＝30°

26．如图，AD⊥BC于点D，EG⊥BC于点G，∠E＝∠3．请问：

AD平分∠BAC吗？

若平分，请说明理由．

平分．

∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）

∴∠ADC＝∠EGC＝90°

，（垂直的定义）

∴AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）

∴∠2＝∠3，（两直线平行，内错角相等）

∠E＝∠1，（两直线平行，同位角相等）

又∵∠E＝∠3（已知）

∴∠1＝∠2（等量代换）

∴AD平分∠BAC（角平分线的定义）．

27．如图，EF∥AB，∠DCB＝70°

，∠CBF＝20°

，∠EFB＝130°

（1）问直线CD与AB有怎样的位置关系？

并说明理由；

（2）若∠CEF＝70°

，求∠ACB的度数．

（1）CD和AB的关系为平行关系．理由如下：

∵EF∥AB，∠EFB＝130°

∴∠ABF＝180°

﹣130°

又∵∠CBF＝20°

∴∠ABC＝70°

∵∠DCB＝70°

∴∠DCB＝∠ABC，

∴CD∥AB；

（2）∵EF∥AB，CD∥AB，

∴EF∥CD，

∵∠CEF＝70°

∴∠ECD＝110°

∴∠ACB＝∠ECD﹣∠DCB，

∴∠ACB＝40°

28．如图，BD是∠ABC的平分线，ED∥BC，∠4＝∠5，则EF也是∠AED的平分线．完成下列推理过程：

∵BD是∠ABC的平分线（已知）

∴∠1＝∠2（角平分线定义）

∵ED∥BC（已知）

∴∠5＝∠2（　两直线平行，内错角相等　）

∴∠1＝∠5（等量代换）

∵∠4＝∠5（已知）

∴EF∥　BD　（　内错角相等，两直线平行　）

∴∠3＝∠1（　两直线平行，同位角相等　）

∴∠3＝∠4（等量代换）

∴EF是∠AED的平分线（角平分线定义）