二次函数一元二次方程及一元二次不等式之间的转化docx文档格式.docx
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的图像
J
丿，
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1丿
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1
Ly>
不等式
ax1+/zv+c>
0（。
>
的解集
ax2+bx+c>
0（a>
ax1-\-bx+c<
0（67>
ax2+bx+cW0（Q>
0）
2.二次方程f（x）=ax2+bx+c=0的实根分布及条件.（数形结合）⑴方程f（x）二0的两根屮一根比r大，另一根比r小0g•f（厂）<
0
A=/?
2-4ac>
⑵二次方程心。
的两根都大于心徭"
«
-/（r）>
0,
b
⑶二次方程f（x）=0在区间（p,q）内有两根OV一£
5
a•/⑷>
af（P）<
a-f（q）<
a・/（p）>
0;
（4）方程f（x）=0两根的一根大于p,另一根小于q（p>
练习：
1.己知函数f（x）=-x3+—ax2+2bx+3c的两个极值点分别为刘，x2,且xiE（0,
32
1）,x2e（l,2）,则b-3a的取值范围是・
2.若关于X的方程3rx2+（3-7r）x+4=0的两个实根a,B满足0<
a<
l<
B<
2,则实数t
的取值范围是.
3
3.己知关于X的方程兀2一（2加一8）兀+加2_16二0的两个实根Xi、X2满足<
-<
x2,则实
数m的取值范围.
4.若方程lg（-x2+3x-ni）=lg（3-x）在［0,3］上有唯一解,求m的取值范围。
6.设A={x|1<
x<
3},又设X是关于x的不等式组<
的解集，试确定b
x2-2bx+5<
Q
的取值范围，使得AcX.
7.已知关于x的二次方程兀2+2mx+2m+1=0.
（1）若方程有两根，其中一根在区间（-1,0）内，另一根在区间（1,2）内，求m的范围.
（2）若方程两根均在区间（0,1）内，求m的范围.
8.设二次函数/（劝二处2+/zr+c（d＞0）,方程f（x）-x=0的两个根xi,x?
满足0＜兀]＜勺＜丄.a
当兀w（0,兀J时，证明兀v/（x）＜.
19.设/（x）=x2-2ox+2,当xe[-1,+8）时，都有f（x）Ma恒成立，求a的取值范围。
10.设函数/（兀）=处2+/?
兀+c,II/
（1）=—土,3a>
2c>
2Z?
求证:
仃）a>
0且—3v2v—°
；
a4
（2）函数f（x）在区间（0,2）内至少有一个零点；
⑶设X】，X2是函数f（x）的两个零点，则72<
|^-^21<
^.
1.（3,10）
7
2（汩）
4•解：
原方程等价于
—兀？
+3x—zn>
3-x>
0<
-x2+3x-m=3-x
-x2+3x-m>
-x2+4x-3=Z72
参考答案
令）\=-x2+4x-3,y2=mf在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0Wx〈3,当且
仅当两函数的图彖在［0,3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m二1,或-3WmW0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为［-3,O］U{1}。
5.证明：
原方程整理后，得2q32+2q+1—q2=o,令f（x）=2a2x2+2ax+Y-a2,则f（x）是开口向上的抛物线，且f（0）=l-a2<
0,故此二次函数f（x）二0有一个正根，一个负根.要证明正根比1小，只须证f
（1）>
0,要证明负根比-1大，只须证f（-1）〉0.因为/（I）=2/+2q+1_a2=（°
+1尸>
0从而命题得证.
/（-l）=26Z2-2t?
+l-6/2=（6Z-l）2>
6.解：
设f（x）—x"
—2兀+c/=（x—1）~+（q—1）,g（兀）—~26x4-5—（x—+（5—b）?
.要
"
1）50使AcX时，则必使f（x）,g（x）在［1,3］上的函数图象落在x轴下方，即丿~
/（3）<
7.解：
⑴条件说明抛物线/（x）=x2+2/nx+2m+l与x轴的交点分别在区间（-1,0）和（1,
2）内，画出示意图，得
/（0）=2m+l<
0,
/（-1）=2>
/（I）=4/h+2<
/
（2）=6m+5>
m<
——
2meR、
=>
<
51•••——<
62
8•证明:
由题意可知f（x）-x=a（x-x}）（x-x2>
）.\90<
x{<
—，.\a（x-xi）（x-x2）>
•••当xw（0,xi）时,f（x）>
x.又f（x）-x,=a{x-x}）（x-x2）+x-x}=（x-xx）（ax-ax2+1）
X-Xi<
0,.且ox-czx,十l>
l-or）>
0,.*.f（X）<
X1,综上可知，所给问题获证.
所以实数s的取值范围是a5~3~^~或a^l.
解析2：
当沪0时，不符合题意，所以aHO,又/（x）=lax24-2x-3-«
=0在［T,1］上
19—1
a3-2x
有解，0（2兀2一1加=3-2兀在［-1,叮上有解o—=在［-1,1］上有解，问题转化
为求函数y=2x上的值域；
设t=3-2x,xe[-l,1],则2x=3-t,te[l,5],
3-2x
）,=丄・（，_3）~_2=丄（/+7._6）,设g（t）=t+-.gi（t）=^-^-f虫[i,V7）时，g*（t）<
o,
2t2ttr
此函数£
⑴单调递减，虫（J7,5]时，g（t）>
0,此函数g⑴单调递增，・・・y的取值范围是
[77-3,1],/./（x）=2ax2+2兀一3-0=0在[-1,1]上有解u>
丄w[J7-3,1]a>
\或a
_3+77
*——•
11•解：
记①的解集为A,②的解集为B,③的解集为C。
解①得A=（-1,3）；
解②得
B=[0,l）u（2,4]，・•・AcB二[0,1）u（2,3）
（1）因同时满足①、②的x值也满足③，AnBcC
设f（x）=2x2+mx+l,由f（x）的图象可知:
方程的小根小于0,大根大于或等于3时,即可满
（2）因满足③的x值至少满足①和②中的一个，・・・CuAuB,而AUB二（-1,4]因此Cu（-1,4]二方程2x2+mx-l=0小根大于或等于T,大根小于或等于4,因而
/（-1）.=1-/72>
31
/（4）=4m+31>
0.解之彳导一二5加51
4
—1<
4
12.解:
•・•log1（x2+x+g）=log][（兀+£
）2+勺52,log]（2x2-x+|）=log][2（兀-丄）2+^]<
22^242®
242
又f（x）在（-8,2]上递增，由原不等式，得：
log,（x2+x+—）<
logj（2x2-x+-）2228
13.证明：
⑴依题意，对任意xWR,都有f（x）<
l,vf（x）=-Z?
（x-y-）2
/.f（—）=—<
1,•/a>
0,b>
0/.a<
2y[b.
2b4b
（2）充分性：
・・・b>
l,a^b-1,对任意xe[0,1]可推岀：
ax-bx2>
b（x-x2）-x>
-x>
-\,
即ax-bx1>
-1；
Xv/?
\,a<
2y/h,对任意xW[O,1],可知
必要性：
对任意xe[O,1],|/（x）<
l,/./（x）>
-!
/./（!
）>
综上，对任意xe[o,1]|f（x）\<
1的充要条件是b-\<
2丽
（3）Va>
0,O〈bW1时，对任意xe[O,1],f（x）=ax-bx2>
-b>
-l
即f（x）NT；
又由f（x）W1知f⑴W1,即a-bWl,即aWb+1,而当aWb+1时,/（-V）=ax-bx1<
（b+l^x-bx2=-b（x-^-）2+
•・・0<
比1,・・・匕乜>
1・••在[0,1]上，y=（b+l）x-bx2是增函数，故在x=l时取得最大值12b
・・・f（x）W1
・••当a>
0,0<
bW1时，对任意xe[0,1]
|f（x）<
1的充要条件是aWb+1
14.W:
F（x）=/（x）-a=x2-lax+2-a.
门当厶=4（a-1）（a+2）<
0时,即~2<
l时,对一切xe[-l,+«
）,F（x）N0恒成立;
门）当厶二4（a-l）（a+2）20时由图可得以下充要条件：
A>
0[（a-l）（a+2）n0
<
/（-1）>
0即\a+3>
0得-3EW-2;
综合可得q的取值范围为[-3,1]
15.
解:
设g（x）=f（x）-x=ax2+（b-l）x+1,则g（x）=0的二根为Xi和X2・
x2<
-2<
%!
2a+1二J（b_l）-+1
g⑵>
即g（0）>
2°
+l=J（b-l）2+1
g（-2）>
（）・
或g（0）>
2a+l=J（b-1）2+1
⑵由（码-尢2）2=（匕）2—仝，可得2d+l二J（b-1F+1.cia
16.解：
（1）f（l）=a+b+c=0且a>
b>
c,.*.a>
0且c〈0,/.A=^2—46ZC>
0,f（x）
的图象与x轴有两个交点.⑵Vf（l）=0,Al是f（x）=0的一个根，由韦达定理知另一根
为£
a
Aa>
0Hc<
0,—<
1,又a>
c,b=-a-c,则a{m-—）（m-\）=-a<
Q—<
\
aaci
・・・加+3>
£
+3>
-2+3=1,Vf（x）在（1,+8）单调递增,・・J（加+3）>
/（l）=0,即存a
在这样的m使f（m+3）>
0.（3）令g（x）=f（x）~t/（^i）+/（^2）1»
则g（x）是二次函数.
•••g（x,）^（x2）=[/（%,）/^i）+/（^）][/（X2）_■/'
（xj；
/（吃）]=_扣（和_yd2）]2V0
又•・•/（兀2），S（X1）•g（x2）<
0，Ag（x）=0有两个不等实根，且方程g（x）=0的根必有一个属于（X1,X2）.
17.解：
（1）—>
0»
-3或x>
3・・・f（x）定义域为[a,B],・・・a>
3,^fi>
x,>
x2>
af
x+3
有口—巴二2=6（斗_心）>
（）,当05<
1时，f（x）为减函数，当m〉l时，f（x）为增函数.若+3x2+3（X]+3）（兀+3）
⑵若f（x）在[a,B]上的值域为[log,“〃（0-l）,log,”〃（a-l）],V0<
l,f（x）为减函数.
B_3
/（0）=logw——•=log,z（0-1）[mB2+（2加一1）0-3（加一1）=0
・・.<
0+3即<
°
，又0>
a>
3,即
”_3\dicx~+（2/7?
—1）^Z—3（/2?
—1）=0
fW=log,,,—=10gwm{a-1）
a+3
m<
1
A=16m2-16m+l>
a,0为方程/77X2+（2m-l）x-3（/72-1）=0的大于3的两个根・•・<
2m-1
>
3
2m
吋⑶>
•••05<
呼，故当•••0“<
¥
时，满足题意条件的"
在.
18.证明：
（l）・.・/（l）=d+b+c=-纟・・・3a+2b+2c=0又3a>
2c>
2b.-.3a>
0,2b<
b3
0,b<
0又2c=-3a-2b由3a>
2b/•3a>
-ia-2b>
2b^：
a>
Q：
.-3<
--
・・・f（0）二c>
0fi/（l）=--<
o
（2）Vf（0）=c,f
（2）=4a+2b+c=a-c.①当c>
0时,Va>
0,・•・函数f（x）在区间（0,1）内至少有一个零点.②当cWO时，Va>
0.\/
（1）=--<
且f
（2）二a-c>
0・・・函数f（x）在区间（1,2）内至少有一个零点，综合①②得f（x）在（0,2）内至少有一个零点.
（3）
Vxi,X2是函数f（x）的两个零点，则xi,X2是方程ax2+bx+c=0的两根
・•・42<
x,-x2|
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