立体几何中用传统法求空间角Word文档格式.doc

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2、三垂线法找二面角的平面角.

例一：

如图,在正方体中,、分别是、的中点,则异面直线与所成的角的大小是______90______.

考向二线面角

例二、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2.

（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；

（II）证明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。

练习：

如图，在三棱锥中，底面，

点，分别在棱上，且

（Ⅰ）求证：

平面；

（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的正弦值；

（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.

又，∴AC⊥BC.

∴BC⊥平面PAC.

（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，

∴，

又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，

∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.

∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，

∴△ABP为等腰直角三角形，∴，

∴在Rt△ABC中，，∴.

∴在Rt△ADE中，，

考向三：

二面角问题

在图中做出下面例题中二面角

例三：

.定义法（2011广东理18）

如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，

且∠DAB=60，,PB=2,

E,F分别是BC,PC的中点．

（1）证明：

AD平面DEF;

（2）求二面角P-AD-B的余弦值．

法一：

（1）证明：

取AD中点G，连接PG，BG，BD。

因PA=PD，有，在中，，有为等边三角形，因此，所以平面PBG

又PB//EF，得，而DE//GB得ADDE，又，所以AD平面DEF。

（2），

为二面角P—AD—B的平面角，

在

法二：

（1）取AD中点为G，因为

又为等边三角形，因此，，从而平面PBG。

延长BG到O且使得POOB，又平面PBG，POAD，

所以PO平面ABCD。

以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为轴，z轴，平行于AD的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系。

设

由于

得

平面DEF。

（2）

取平面ABD的法向量

设平面PAD的法向量

由

取

2、三垂线定理法

例四．（广东省惠州市2013届高三第三次调研理）（本小题满分14分）如图，在长方体中，，，点在棱上移动．

；

（2）当点为的中点时，求点到平面的距离；

（3）等于何值时，二面角的大小为？

18．（本小题满分14分）

如图，连接，依题意有：

在长方形中，，

．………4分

∴点到平面的距离为．…………………………………………………8分

（3）解：

过作交于，连接．由三垂线定理可知，为二面角的平面角．

∴，，．………………………10分，∴．……………………12分

∴，．

故时，二面角的平面角为．……………………………14分

练习.如图，在四面体中，,且，二面角大小为．

（1）求证：

平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

17．解：

（1）在四面体中，取中点分别为

，连接，则

则

又则

中，,

可知

又面,则

和两相交直线及均垂直，从而面

又面经过直线，故面面…………………………（6分）

（2）由

（1）可知平面平面

过向作垂线于足，从而面

过中，，则

于是与平面所成角即

因此直线与平面所成角的正弦值为.…………………………（12分）

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