完整版全国高考理科数学全国一卷试题及答案2推荐文档Word格式文档下载.docx
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3→
→3
A.4
-4
B.4
C.
4
+4
D.
7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）
A.
2
B.
C.3
D.2
8.设抛物线C：
y²
=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为3的直线与C交于M，N两点，
→→
则𝐹
𝑀
·
𝐹
𝑁
=（）
A.5B.6C.7D.8
9.已知函数f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）
A.[-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分
别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。
在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则（）
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
11.已知双曲线C：
2
-y²
=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交
点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=（）
A.2B.3C.D.4
12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面积的最大值为（）
所成的角都相等，则截此正方体所得截面面
B.C.D.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若x，y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为.
14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.
15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有
种.（用数字填写答案）
16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.
三.解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（12分）
（一）必考题：
共60分。
在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°
，∠A=45°
，AB=2，BD=5.
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=，求BC.
18.（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点
C到达点P的位置，且PF⊥BF.
（1）证明：
平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.（12分）
设椭圆C：
2+y²
=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
（2）设O为坐标原点，证明：
∠OMA=∠OMB.
20、（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检
验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的概率都为P（0<
P<
1），且各件产品是否为不合格品相互独立。
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），求f（P）的最大值点。
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以
（1）中确定的作为P的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21、（12分）
已知函数
.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1,x2,证明：
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为𝜌
²
+2𝜌
cos𝜃
（1）求C₂的直角坐标方程:
-3=0.
（2）若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.
23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.
（1）当a=1时，求不等式f（x）﹥1的解集；
（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．C2．B3．A4．B5．D6．A
7．B8．D9．C10．A11．B12．A
二、填空题
13．614．-6315．1616．-33
三、解答题
17.解：
（1）在△ABD中，由正弦定理得BD=
sin∠A
AB
sin∠ADB.
由题设知，5
sin45︒
=2,所以sin∠ADB=.
sin∠ADB5
由题设知，∠ADB<
90︒所以cos∠ADB==.
5
（2）由题设及
（1）知，cos∠BDC=sin∠ADB=.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2=BD2+DC2-2⋅BD⋅DC⋅cos∠BDC
=25+8-2⨯5⨯22⨯2
=25.
所以BC=5.
18.解：
（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.
（2）作PH⊥EF，垂足为H.由
（1）得，PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.
由
（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.
可得PH=3，EH=3.
22
则H（0,0,0），P（0,0,
3）,D（-1,-3,0），uuur=
33），uuur=（0,0,
3）为平面ABFD的法向量.
DP
（1,,
HP
22222
设DP与平面ABFD所成角为，则sin=|
uuuruuur
HP⋅DP
uuuruuur|=
|HP||DP|
4=.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3.
19.解：
（1）由已知得F（1,0），l的方程为x=1.
由已知可得，点A的坐标为（1,2）或（1,-
2）.
所以AM的方程为y=-2x+
或y=
x-.
（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0︒.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x-1）（k≠0），A（x1,y1），B（x2,y2），则x1<
，
x2<
，直线MA，MB的斜率之和为kMA
+kMB
=y1+y2x-2-2
12
由y1=kx1-k，y2=kx2-k得
=.
k+k2kx1x2-3k（x1+x2）+4k
MAMB（x-2）（x-2）
将y=k（x-1）代入
x2+2=
（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0.
4k2
所以，x1+x2=2k2+1,
2k2-2
x1x2=2k2+1.
则2kxx-3k（x+x）+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k=0
1212
2k2+1.
从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补.所以∠OMA=∠OMB.
综上，∠OMA=∠OMB.
20.解：
20
（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（p）=C2p2（1-p）18.因此
2020
f'
（p）=C2[2p（1-p）18-18p2（1-p）17]=2C2p（1-p）17（1-10p）.
令f'
（p）=0，得p=0.1.当p∈（0,0.1）时，f'
（p）>
0；
当p∈（0.1,1）时，f'
（p）<
0.所以f（p）的最大值点为
p0=0.1.
（2）由
（1）知，p=0.1.
（ⅰ）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知YB（180,0.1），X=20⨯2+25Y，即
X=40+25Y.
所以EX=E（40+25Y）=40+25EY=490.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX>
400，故应该对余下的产品作检验.
21.解：
'
1ax2-ax+1
（1）f（x）的定义域为（0,+∞），f（x）=-x2-1+x=-x2.
（ⅰ）若a≤2，则f'
（x）≤0，当且仅当a=2，x=1时f'
（x）=0，所以f（x）在（0,+∞）单调递减.
（ⅱ）若a>
2，令f'
（x）=0得，x=或x=.
当x∈
a-a2-4a+
a2-4+∞'
<
（0,）U（,22
）时，f
（x）0；
当x∈（a-a2-4,
时，f（x）
>
0.
所以f（x）在（0,a-a2-4），（a+a2-4,+∞）单调递减，在
（a-a2-4
2222
）单调递增.
（2）由
（1）知，f（x）存在两个极值点当且仅当a>
2.
由于f（x）的两个极值点x，x满足x2-ax+1=0，所以xx=1，不妨设x<
x，则x>
1.由于
1212122
f（x1）-f（x2）=-1-1+alnx1-lnx2=-2+alnx1-lnx2=-2+a-2lnx2，
x-xxx
x-x
1-x
121212
12
x2
所以f（x1）-f（x2）<
a-2等价于1-x+2lnx
<
0.
x22
122
设函数g（x）=1-x+2lnx，由
（1）知，g（x）在（0,+∞）单调递减，又g
（1）=0，从而当x∈（1,+∞）时，
x
g（x）<
所以1-x+2lnx<
0，即f（x1）-f（x2）<
a-2.
2x1-x2
22.解：
（1）由x=cos，y=sin得C2的直角坐标方程为
（x+1）2+y2=4.
（2）由
（1）知C2是圆心为A（-1,0），半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B（0,2）且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于
B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或
l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l与C只有一个公共点时，A到l所在直线的距离为2，所以|-k+2|=2，故k=-4或k=0.经检验，当
1213
k=0时，l与C没有公共点；
当k=-4时，l与C只有一个公共点，l与C有两个公共点.
1231222
当l2
与C2
只有一个公共点时，A到l2
所在直线的距离为2，所以|k+2|=2，故k=0或k=4.经检验，当
当k=4时，l与C没有公共点.
12322
综上，所求C的方程为y=-4|x|+2.
13
23.解：
⎧-2,
x≤-1,
（1）当a=1时，f（x）=|x+1|-|x-1|，即f（x）=⎪2x,
⎪2,
-1<
x<
1,
x≥1.
故不等式f（x）>
1的解集为{x|x>
1}.
（2）当x∈（0,1）时|x+1|-|ax-1|>
x成立等价于当x∈（0,1）时|ax-1|<
1成立.若a≤0，则当x∈（0,1）时|ax-1|≥1；
若a>
0，|ax-1|<
1的解集为0<
2，所以2≥1，故0<
a≤2.
aa
综上，a的取值范围为（0,2].
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