高中双曲线解题方法Word格式文档下载.docx

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，

∴，又∵，∴，

所以，椭圆的标准方程为。

（2）方法一：

①若焦点在x轴上，设方程为，

∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为.

②若焦点在y轴上，设方程为，

∵点P（3,0）在该椭圆上∴即又，∴∴椭圆的方程为

方法二：

设椭圆方程为.∵点P（3,0）在该椭圆上∴9A=1，即,又∴，∴椭圆的方程为或.

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法，若焦点在x轴上，设方程为，若焦点在y轴上，设方程为，有时为了运算方便，也可设为，其中

.

例2.点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。

【分析】①列方程组求得P坐标；

②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解，要注意椭圆上点坐标的范围.

（1）由已知可得点A（－6,0）,F（0,4）

设点P（,）,则=（+6, 

）,=（－4, 

）,由已知可得

则2+9－18=0, 

=或=－6.

由于>

0,只能=,于是=.∴点P的坐标是（,）

（2）直线AP的方程是－ 

+6=0.设点M（,0）,则M到直线AP的距离是.

于是=,又－6≤≤6,解得=2. 

椭圆上的点（,）到点M的距离有

由于－6≤≤6,∴当=时,d取得最小值

点拨:

本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题，通常转化为二次函数值域问题.

【反馈练习】

1.如果表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（0，1）

2.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是

3.椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的7倍

4.若椭圆的离心率,则的值为 

5.．椭圆的右焦点到直线的距离为

6.与椭圆具有相同的离心率且过点（2，-）的椭圆的标准方程是或 

7.椭圆上的点到直线的最大距离是

8.已知点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点到两焦点的距离分别为和，过点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

分析：

讨论椭圆方程的类型，根据题设求出和（或和）的值．从而求得椭圆方程．

设两焦点为、，且，．

从椭圆定义知．即．

从知垂直焦点所在的对称轴，所以在中，，

可求出，，从而．

∴所求椭圆方程为或．

第2课　椭圆B

掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题;

能解决椭圆有关的综合性问题.

1.曲线与曲线的（D）

A 

焦点相同 

B离心率相等 

C准线相同 

D 

焦距相等

2.如果椭圆上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条准线的距离分别是 

3 

离心率，一条准线为的椭圆的标准方程是

例1.椭圆（a>

b>

0）的二个焦点F1（-c，0），F2（c，0），M是椭圆上一点，且。

求离心率e的取值范围.

分析:

离心率与椭圆的基本量a、b、c有关，所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标，再借助椭圆椭圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式，从而确定离心率的范围.

设点M的坐标为（x，y），则，。

由，得x2-c2+y2=0，即x2-c2=-y2。

①

又由点M在椭圆上，得y2=b2，代入①，得x2-c2，即。

∵0≤≤，∴0≤ 

≤，即0≤≤1，0≤≤1，解得≤≤1。

又∵0＜＜1，∵≤≤1.

例2.如图，已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A（x1,y1）,C（x2,y2）满足条件：

|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.

（1）求该弦椭圆的方程；

（2）求弦AC中点的横坐标.

第一问直接可有第一定义得出基本量a，从而写出方程；

第二问涉及到焦半径问题，可以考虑利用第二定义的得出焦半径表达式，结合等差数列的定义解决.

（1）由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b==3.

故椭圆方程为=1.

（2）由点B（4,yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=（－x1）,|F2C|=（－x2），

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得（－x1）+（－x2）=2×

由此得出：

x1+x2=8.

设弦AC的中点为P（x0,y0）,则x0==4.

1.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为

2．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB，则△F2AB的面积为

3.已知正方形，则以为焦点，且过两点的椭圆的离心率为

4.椭圆上的点P到它的左准线的距离是10，那么点P到它的右焦点的距离是 

12 

5.椭圆上不同三点，，与焦点的距离成等差数列．

求证:

；

证明：

由椭圆方程知，，．

由圆锥曲线的统一定义知：

，∴ 

．

同理 

∵ 

，且，

∴ 

，即 

第3课　双曲线

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质

能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.

1.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则

2.方程表示双曲线，则的范围是

3．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为

4.已知焦点，双曲线上的一点到的距离差的绝对值等于，则双曲线的标准方程为

例1.

（1）已知双曲线的焦点在轴上，并且双曲线上两点坐标分别为，求双曲线的标准方程;

（2）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程及离心率．

由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是：

①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上；

（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设所求双曲线的标准方程为①；

∵点在双曲线上，∴点的坐标适合方程①。

将分别代入方程①中，得方程组：

将和看着整体，解得，

∴即双曲线的标准方程为。

点评：

本题只要解得即可得到双曲线的方程，没有必要求出的值；

在求解的过程中也可以用换元思想，可能会看的更清楚。

（2）解法一：

双曲线的渐近线方程为：

当焦点在x轴时，设所求双曲线方程为 

∵，∴ 

∵在双曲线上

②

由①－②，得方程组无解

当焦点在y轴时，设双曲线方程为 

③

∵在双曲线上，∴ 

④

由③④得，

∴所求双曲线方程为：

且离心率

解法二：

设与双曲线共渐近线的双曲线方程为：

∵点在双曲线上，∴

，即．

一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数．

例2.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：

正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s.已知各观测点到该中心的距离都是1020m.试确定该巨响发生的位置.（假定当时声音传播的速度为340m/s:

相关各点均在同一平面上）

如图:

以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－|PA|=340×

4=1360

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上，

依题意得a=680,c=1020，

用y=－x代入上式，得，∵|PB|>

|PA|,

答：

巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.

例3.双曲线的焦距为2c，直线过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e的取值范围.

直线的方程为，即 

由点到直线的距离公式，且，得到点（1，0）到直线的距离，

同理得到点（－1，0）到直线的距离

由 

即 

于是得 

解不等式，得 

由于所以的取值范围是

点拨：

本小题主要考查点到直线距离公式，双曲线的基本性质以及综合运算能力.

1.双曲线的渐近线方程为

2.已知双曲线的离心率为，焦点是，，则双曲线方程为

3.已知双曲线的两个焦点为，，P是此双曲线上的一点，且，，则该双曲线的方程是

4.设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线左右焦点，若=3,则=7

5.与椭圆共焦点且过点的双曲线的方程

6.

（1）求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点且离心率为的双曲线标准方程．

（2）求以曲线和的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．

（1）设所求双曲线方程为：

，则，

∴，∴，∴所求双曲线方程为

（2）∵，∴或，∴渐近线方程为

当焦点在轴上时，由且，得．

∴所求双曲线方程为

当焦点在轴上时，由，且，得．

7.设双曲线 

的半焦距为，直线过、两点，且原点到直线的距离为，求双曲线的离心率．

由两点式得直线的方程，再由双曲线中、、的关系及原点到直线的距离建立等式，从而解出的值．

由过两点，，得的方程为．

由点到的距离为，得．

将代入，平方后整理，得．

令，则．解得或．

而，有．故或．

因，故，

所以应舍去．故所求离心率．

说明：

此题易得出错误答案：

或．其原因是未注意到题设条件，从而离心率．而，故应舍去．

8.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点．

（1）求双曲线方程；

（2）若点在双曲线上，求证：

（3）对于

（2）中的点，求的面积．

（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得

∴双曲线方程为；

（2）由

（1）可知，，， 

∴ 

，

，，∴ 

，

又点在双曲线上，∴ 

，即；

（3） 

∴的面积为6． 

第4课　抛物线

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛物线的简单几何性质.

2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题.

1.焦点在直线x－2y－4=0上的抛物线的标准方程是

2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为 

3.抛物线的焦点坐标是__（a,0）_

4.抛物线上与焦点的距离等于9的点的坐标是

5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值

例1.给定抛物线y2=2x，设A（a，0），a＞0，P是抛物线上的一点，且｜PA｜=d，试求d的最小值．

设P（x0，y0）（x0≥0），则y02=2x0，

∴d=｜PA｜=

==．

∵a＞0，x0≥0，

∴

（1）当0＜a＜1时，1－a＞0，

此时有x0=0时，dmin==a．

（2）当a≥1时，1－a≤0，

此时有x0=a－1时，dmin=．

例2.如图所示，直线和相交于点M，⊥，点，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，，，且，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．

因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确定C所满足的抛物线方程．

以为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．

由题意，曲线段C是N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．

∴设曲线段C满足的抛物线方程为：

其中、为A、B的横坐标

令则，

∴由两点间的距离公式，得方程组：

解得或

∵△AMN为锐角三角形，∴，则，

又B在曲线段C上，

则曲线段C的方程为

1.抛物线的准线方程是

2.抛物线的焦点到其准线的距离是

3.设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上的一点，若，则点A的坐标为

4.抛物线上的点到直线距离的最小值是

5.若直线l过抛物线（a>

0）的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a= 

6.某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长.

以拱顶为原点，水平线为x轴，建立坐标系，

如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4，A、B坐标分别为（－10，－4）、（10，－4）

设抛物线方程为x2=－2py,将A点坐标代入，得100=－2p×

（－4）,解得p=12.5,

于是抛物线方程为x2=－25y.

由题意知E点坐标为（2，－4），E′点横坐标也为2，将2代入得y=－0.16,从而|EE′|=

（－0.16）－（－4）=3.84.故最长支柱长应为3.84米.

7.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴，且过点P（2,2），过F的直线交抛物线于A，B两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线l是抛物线的准线，求证：

以AB为直径的圆与直线l相切．

可设抛物线方程为．用待定系数法求得方程，对于第二问的证明只须证明，则以AB为直径的圆，必与抛物线准线相切.

（1）设抛物线的方程，将（2，2）代入得∴所求抛物线方程为

（2）证明：

作于于．M为AB中点，作于，则由抛物线的定义可知：

在直角梯形中：

，故以AB为直径的圆，必与抛物线的准线相切．

类似有：

以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．

第5课　圆锥曲线的统一定义

了解圆锥曲线的第二定义.

能用第二定义解决简单的圆锥曲线问题.

1.抛物线的焦点的坐标是,准线方程是

2..如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是2

3.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则= 

4.点M与点F的距离比它到直线:

的距离小1,则点的轨迹方程是

例1.已知双曲线的渐近线方程为，两条准线间的距离为，求双曲线标准方程．

（可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．

∵双曲线渐近线方程为，∴设双曲线方程为

①若，则，

∴准线方程为：

，∴，∴

②若，则，

或

求圆锥曲线方程时，一般先由条件设出所求方程，然后再根据条件列出基本的方程组解方程组得出结果.

例2.已知点，，在双曲线上求一点，使的值最小．

∵，，∴，∴

设点到与焦点相应准线的距离为则

∴，∴

至此，将问题转化成在双曲线上求一点，

使到定点的距离与到准线距离和最小．

即到定点的距离与准线距离和最小为直线垂直于准线时，

解之得，点．

灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．

1.若双曲线上的点到左准线的距离是到左焦点距离的，则 

2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 

3.已知双曲线的一条准线为，则该双曲线的离心率为

4　双曲线右支点上的一点P到右焦点的距离为2，则P点到左准线的距离为 

8 

第6课　圆锥曲线综合

在理解和掌握圆锥曲线的定义和简单几何性质的基础上,把握有关圆锥曲线的知识内在联系,灵活地运用解析几何的常用方法解决问题.

通过问题的解决,理解函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想.

3. 

能够抓住实际问题的本质建立圆锥曲线的数学模型,实现实际问题向数学问题的转化,并运用圆锥曲线知识解决实际问题.

1.给出下列四个结论：

①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；

②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；

③抛物线；

④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）。

其中所有正确结论的个数是4

2.设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为

3.如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是

例1.已知抛物线的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

（I）证明为定值；

（II）设的面积为S，写出的表达式，并求S的最小值。

（1）F点的坐标为（0,1）设A点的坐标为 

B点的坐标为

由可得

因此

过A点的切线方程为 

（1）

过B点的切线方程为 

（2）

解

（1）

（2）构成的方程组可得点M的坐标,从而得到=0 

即为定值

（2）=0可得三角形面积 

所以

当且仅当时取等号

本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点

涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大

1.已知双曲线的中心在原点，离心率为.若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是

2.设分别是双曲线的左、右焦点．若点在双曲线上，且，则 

3.设P是椭圆上一点，、 

是椭圆的两个焦点，则的最小值是

4.已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为

5.双曲线C与椭圆的焦点相同，离心率互为倒数，则双曲线C的渐近线的方程是

6.已知椭圆与双曲线在第一象限内的交点为，则点到椭圆右焦点的距离等于__2_

7.如图，点A是椭圆C：

的短轴位于x轴下方的端点，过A作斜率为1的直线交椭圆于B点，点P在y轴上，且BP∥x轴，＝9,若点P的坐标为（0，1），求椭圆C的方程.

8.在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限、半径为的圆与直线相切于坐标原点．椭圆与圆的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为．求圆的方程.

设圆心坐标为（m，n）（m<

0，n>

0）,则该圆的方程为（x-m）2+（y-n）2=8已知该圆与直线y=x相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则

=2

即=4 

① 

又圆与直线切于原点，将点（0，0）代入得

m2+n2=8 

联立方程①和②组成方程组解得

故圆的方程为（