高考立体几何试题中的图形处理技巧Word文档格式.docx

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h=S△ABC&

PD,其中h表示点A到平面PBC的距离,只要求出S△PBC和S△ABC,代入上面等式,就可求出h,本题是简单题.下面我们看怎样用补形法来解答本题:

　　直接作出点A到平面PBC的距离比较难.考虑到A点到平面PBC的距离等于A点的平行线上任一点到平面PBC的距离,但AD与BC并不平行,如果要找过A平行于BC的直线,只要作出矩形ABCE即可,即将原来图中的直角梯形ABCD补成一个矩形,并看是否能从E点作平面PBC的垂线,第

（1）问已知平面BCP⊥PDC,故作EH⊥CP,EH即为所求A到平面PBC的距离,用面积法求EH,即S△PEC=S△EPC,×

EH=×

2×

1,EH=.上述解答简单直观,计算量非常小,是一个巧妙之法.关键是要想到将原来图中的直角梯形ABCD补成矩形ABCE.

　　点评通过本题我们看到,通过补形能够直接作出点到平面的距离.补形的基本原则就是考虑将不规则图形补成规则图形,部分补整体,通过作平行线是实现上述目的的手段之一.当直接作图困难就可以尝试补形,下面再举一例:

　　例2（2010江西理数）如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2.（图3）

（1）求点A到平面MBC的距离;

（2）（略）.

　　解析求A到平面的距离,关键是作出点A到平面MBC的垂线,直接作图无从下手.因为平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,所以不妨补出图形所在的正三棱柱BCD-AFE,补形后解答本问的方法灵活多样,基本方法有以下四种:

　　方法一:

先求出M到平面ABC的距离,再利用VA-BCM=VM-ABC求A到平面MBC的距离,如图4.因为△MCD是正三角形,平面MCD⊥平面BCD,所以过M作MH⊥CD,延长线与EF交于G,则GH⊥平面BCD,GH//AB,G到平面ABCE的距离就是M到平面ABC的距离.作GP⊥AE,GP⊥面ABCE,所以GP是所求距离,GP=（或者GP是F到AE的距离的一半）.易求S△ABC=2,但△BCM的面积并不好求,其实经计算知M是CF中点,所以S△BCM=S△BCF,在△BCM中,BF=CF=4,BC=2,S△BCM=S△BCF=,由VA-BCM=VM-ABC,S△ABC&

GP=S△BCM&

h,得到h=.如果不补形的话,△BCM的面积计算较复杂.

　　方法二:

先求出C到平面ABM的距离,再根据VA-BCM=VC-ABM求出点A到平面MBC的距离.如图4,易知C到平面ABM的距离就是CH=1,所以×

S△ABM&

CH=S△BCM&

h,S△ABM=×

=3,S△BCM=S△BCF=,代入VA-BCM=VC-ABM求出h=.

　　方法三:

先求出B到面ACM的距离,再根据VA-BCM=VB-ACM求出A到平面BCM的距离,如图5.面BCM是BCF的一部分,求B到ACM的距离就是求B到ACF的距离,考虑到B所在直线BD//平面ACF,BD上任一点到平面ACF的距离就是B到面BCM的距离.而BD的中点O到平面ACF的距离易作,平面ACF⊥平面ECOT（因为AF⊥平面ECOT）,作OK⊥CT,OK⊥平面ACF,OK就是点O到平面ACF的距离,也即B到平面BCM的距离.CO&

TO=CT&

OK,×

2&

=&

OK,OK=,即B到平面ACM的距离是.下面再根据VA-BCM=VB-ACM求出A到平面BCM的距离（略）,或者根据正三棱柱的对称性,A到平面BCF的距离就是B到平面ACF的距离,为.

　　方法四:

直接作出A点到平面BCM的距离,如图6,面BCM是面BCF的一部分,求A到平面BCM的距离就是到BCF的距离,而AE//平面BCF,考虑到三棱锥是正三棱锥,故过AE的中点R向平面BCF作垂线即可.而平面RFDN⊥平面BCF（因为BC⊥平面RFDN）,所以只要过R作RS⊥FN,RS⊥平面BCF,RS就R到平面BCF的距离.FN&

RS=RF&

RN,&

RS=×

RS=,即A到平面BCM的距离是.

　　点评从上面的例子看出,补形的方法在解决距离问题时确实有它的巧妙独到之处,这也是点到平面距离的性质决定的,我们在遇到此类问题的时候,都可以尝试将部分面或不规则的面延伸,补充为一个完整的面或规则的面,将不规则的多面体补充为一个规则的多面体,这就等于将原来固定的点和面变成了活动的点或面,为求距离展开了广阔的空间,为多种解答提供了可能,使解答做起来得心应手.

　　改变图形角度,化解识图难点

　　■王珍琨

　　立体几何考察空间想象能力,我们要学会画图、识图,一些立体几何的图形本身比较复杂,直观性不强,如果尝试改变一下题设中图形的角度,就会有意想不到的效果.请看下面的例题:

　　例1（2010安徽文）如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°

BF=FC,H为BC的中点,

　　（Ⅰ）求证:

FH∥平面EDB;

　　（Ⅱ）求证:

AC⊥平面EDB;

　　（Ⅲ）求四面体B-DEF的体积.

　　解析图1是题设的图形,图2是改变角度的图形,图2的直观性非常强,对我们解答题目的三个问题都非常有利.

　　（Ⅰ）要证FH∥平面EDB,EF跟FH有关,且EF∥AB,但从图中很难看出这一点,感觉反而是跟AC平行,严重干扰解题思路,现在画成图2,则十分直观,AB=2EF,所以连接EO,OH,可知四边形EFHO是平行四边形,所以FH//EO,FH∥平面EDB.

　　（Ⅱ）证AC⊥平面EDB,因为ABCD是正方形,AC⊥BD,显然,再证明EO⊥AC即可,这一点在图1难预见,在图2比较明显.EO∥FH,FH是等腰三角形FBC的中线,FH⊥BC,所以目标是证明平面BCF⊥平面ABCD.从EF⊥FB知AB⊥FB,AB⊥BC可得AB⊥平面BCF,所以证明了平面BCF⊥平面ABC,从而FH⊥平面ABCD,即EO⊥平面ABCD,EO⊥AC,得到证AC⊥平面EDB（通过计算或证明AE=CE,所以EO⊥AC,较简）.

　　（Ⅲ）求四面体B-DEF的体积,有两个问题要解决,一个是底DEF怎么求,一个是高在哪里,对比图1、图2,从图1很难看出BF⊥平面CDEF,而从图2就能立即看到这一点.△DEF的面积怎么求,在图1中很难看出,感觉△DEF与△BCF不是一个平面,图2则明显看到梯形DCFE的一部分,只要用梯形DCFE的面积减去直角三角形DCF的面积即可（具体略）.

　　点评本题之所以想到将图形转换为这个角度,是因为对题目的已知EF∥AB等图形中的元素的关系观察起来比较困难,所以将EF画成面对自己的角度,使EF∥AB等元素的关系变得十分直观了.也可尝试转换为别的角度,只要比题设图形直观即可.

　　例2（2010浙江理数）如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB,AD上,AE=EB=AF=FD=4.沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF,使平面A′EF⊥BEF.（Ⅰ）求二面角A′-FD-C的余弦值;

（Ⅱ）点M,N分别在线段FD,BC上,若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折,使C与A重合,求线段FM的长.

　　解析

　　说明图3是题设图形,图4是按照题设图形做的解答的图形,图5是改变角度的图形,图6是解答的图形,一起画出,对比其优缺点.

　　本题的第一问,关键是画出二面角,并算出角的大小.△AEF是等腰直角三角形,所以△A′EF也是等腰直角三角形,已知平面A′EF⊥平面BEF,能推就推,自然要连接A′与EF的中点H,得到A′H⊥EF,从而A′H⊥面ABCD,作出二面角A′-FD-C的平面角就容易了,作A′G⊥AD,连GH,则A′GH是二面角的平面角.因为H是中点,HG//AE,HG=4,A′H=,sin∠A′GH=.

　　对比图4与图6,图4中多条线段和我们要求的二面角的平面角搅在一起,对于观察和计算都带来困难;

而图6则把这些搅在一起的线分开得清清楚楚了,对于推理和证明都很方便直观;

或者改成图7亦可.

　　小结从本题看出,题设图形为了考察同学们的识图能力,从而达到考察空间想象能力的目的,往往会把图形画得直观性画得比较差,要能在短时间把立体几何做好,所以在必要的时候,将图形的角度转换一下,对观察图形、迅速解题有很大好处,减少了空间想象的难度和观察思考的时间.至于转换为怎样的角度为好,需要先观察,看观察图形存在哪些困难,如直观性不强、很多元素几乎重叠等,如果把图形旋转一下,即我们看图的角度改变一下,就能化解上述困难,那就可以用本法,有时候需要做一两次尝试,但熟练这个方法之后,一般都能一次把图形改好.

　　画出平面图形,化解算图难点

　　■童新科

　　由于立体几何的直观图,改变了角度和线段的大小,所以会给计算增加难度,特别是当我们要计算的图形处于各种复杂图形之中,更是如此,有什么好的办法能帮助我们化解服这个难点呢?

我们来看下面的例子:

　　例1（2010陕西理）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的重点.

　　（Ⅰ）证明:

PC⊥平面BEF;

　　（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小.

　　解析（Ⅰ）证明:

PC⊥平面BEF.从已知能算就算,算出PB=2,PB=PC,有BF⊥BC.再在平面BEF中剩下的两条线找一条线跟PB垂直,于是产生两种证法:

　　第一种,连接PE、EC,能算出PE=EC=,可知EF⊥BC,可证PC⊥平面BEF.

　　第二种证法,考察AC⊥BE,须证BE⊥面PAC,在已知PA⊥平面ABCD即PA⊥BE的条件下,只需看BE是否与AC垂直.BE与AC在两个直角三角形中,它们是否垂直可以通过相似三角形来证明,这两个三角形的每边都能算出,是否相似一比就知道.但在直观图中,很难启发我们做出这样的判断并快速做好这个计算,于是我们把两个直角三角形的平面图分别画出来,如图3,单独对它们进行分析,注意把两个三角形分离,并画成跟原图中的方位相对应,便于观察:

　　因为把△EAB、△BAC的两直角边已知,我们把两个三角形的短边与长边分别相比:

==,所以△EAB、△BAC相似,即可知AC⊥BE.

　　如果不是把图3画出来,我们很难在原图中看出这个两三角形相似的,因为它们不仅在直观图中难于观察计算,而且它们有公共的边AB,只有把它们画出来,并分离开,这两个三角形的相似关系才便于判断.

　　（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小的方法有多种,比如向量法,通过两个平面的法向量的夹角来求.我们介绍一种方法,连接BC的中点N与E、F,则平面EFN//平面PAB,所以求平面BEF与平面BAP夹角就是求平面BEF与平面EFN夹角,EF是交线.由于△BFE、△NEF的三边都可求（需连接FO,△FOE是直角三角形,算出EF）,如图5,我们一看就知道△BFE、△NEF是两个直角三角形,BF⊥FE,NF⊥EF,故∠BFN是二面角B-EF-N的平面角,易求为45°

.

　　点评我们通过把立体几何图形直观图中的平面图形画出来的办法,减少了在复杂图形中进行想象和计算的过程,是处理这一类问题的巧妙之法.下面再举一例:

　　例2（2010全国新课标文）如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高.

（1）证明:

平面PAC⊥平面PBD;

（2）若AB=,∠APB=∠ADB=60°

求四棱锥P-ABC的体积.

　　解析第一问直接由条件得到,我们看第二问,要求四棱锥P-ABC的体积,就要解决两个问题,一是底面积,一是高.底是等腰梯形,是在立体几何中常见的图形,它把计算和证明、平行四边形与三角形综合到一个图形中,下面我们看怎样根据已知条件来求出底面积和高,为了使图形具有直观性,利于计算,我们把底面梯形的平面图形画出来,如图7.由已知能推就推、能算就算,由AB=,AC⊥BD得到AH、HB的长,再由∠ADB=60°

得到CH、HD,并得到DC.求梯形的高须做双垂线,这是求等腰梯形高的基本方法（也可过H做底边的垂线）计算不难.高PH的求法是根据∠APB=60°

求出AP,再用勾股定理可求高AH,具体过程略.

　　把底面的平面图形画出来单独计算,避免了在原图中因为无法看清图形需较慢的想象和计算.

　　小结立体几何图形中的计算问题,是立体几何的重点问题,因为立体几何图形是由一个个的平面几何图形构成的,所以我们可以将需要计算的图形分离出来,并且画成平面图形,这只需要一点点时间,却会大大减少了观察图形和思考需要的时间、避免了对图形的误判、或者因为一此线段的遮挡而无法发现各元素的关系;

我们就能象做平面几何一样,来进行立体几何中的相关计算.这种方法可以用于一些图形较复杂的题目,希望同学们有意思识加强这方面的练习、并通过训练掌握这种方法,为我们学好立体几何创造了打下基础.

　　拆分题设图形,化解用图难点

　　谭少云

　　当立体几何问题各问之间的图形互相独立,我们可以采取分步画图的方法去解答,从而避免各问的图形的互相干扰,增强图形的直观性和启发性.

　　例1（北京理）如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.（Ⅰ）求证:

AF∥平面BDE;

（Ⅱ）求证:

CF⊥平面BDE;

（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小.

　　解析图1是题设的图形,看起来比较复杂,其中第一问用到AF//EO,直接得出（图3）;

第二问证明CF⊥平面BDE,只要在平面ACEF中,证明COFE是正方形,CF⊥EO,并证CF⊥BD,所以证得CF⊥平面BDE.而第三问求二面角A-BE-D的大小,画出的图形是图3,对于观察线线、线面、面面的位置关系,对于作二面角、计算和证明二面角都带来困难,现在我们分步画图,第三问求二面角的时候,我们单独画一个图2,图中没有题设的面AEF（如果需要,可以看图1）,相比较要容易观察得多,由于已证CF⊥平面BDE,在图2中,已知CG⊥EO,即能清楚看到GN是平面BDE的垂线,过G作GH⊥BE,连NH,则∠NHG是二面角A-BE-D的平面角（在图3中平面AEF对作出二面角有干扰）,现在看∠NHG怎么求,△NHG是直角三角形,NH、GH可求.为了便于看图和计算,我们把△ECO、△EOB、△NHG、△NHG的平面图形画在下面

　　从图4中算出EG=,从图5中算出GH=,从图6中算出NH=,从图7中算出cos∠GHN=,∠GHN=30°

即所求的二面角A-BE-D是30°

　　点评图形的直观性不强是造成解答立体几何问题困难的重要原因,在图3中要完成上述二面角的计算是十分困难的,本题分步画图,把各个要计算的三角形的平面图形画出来,将与图形计算有关的难点逐个化解了,这是一个解决复杂立体几何问题的好方法.下面再看一例:

　　例2（2010浙江理）如图（图4）,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°

E为线段AB的中线,将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE,使平面A′DE⊥平面BCD,F为线段A′C的中点.（Ⅰ）求证:

BF∥平面A′DE;

（Ⅱ）设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值.

　　解析（Ⅰ）要证BF∥平面A′DE,需要在A′DE中找一条平行线,由于F是中点,“看到中点,想到中位线”,所以连接F与A′D的中点G,并连接EG,易知四边形BFGE是平行四边形,BF//EG,BF∥平面A′DE.（另一种找平行线的思路是将BF向△A′DE所在面平移,从而发现△A′DE所在面内哪条线与BF平行）.

　　（Ⅱ）求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值,先得作出FM与平面A′DE所成角,FM∩面A′DE=M,尝试从F向面A′DE作垂线,问题是不知道垂足在哪里.看已知,能推就推,能算就算,设BC=a,连CE,也能算出EC=a,DC=2a,至此发现△CED是直角三角形,CE⊥DE.再看条件平面A′DE⊥平面BCD,要使用其性质,在已知△A′DE是等边三角形的前提下,自然是作A′M⊥DE,从而A′M⊥面ABCD,A′M⊥CE,所以CE⊥平面A′DE.想到F是中点,看到中点想到中位线,尝试连接F与A′E的中点N,有NF//EC,从而NF⊥面A′DE,∠FMN为直线FM与平面A′DE所成角.易知MN=,NF=,所以cos∠FMN=为所求.

　　第（Ⅱ）问若在图已在图9中去作图并计算,会看得眼花缭乱.我们把第（Ⅰ）（Ⅱ）问的图形分开来作,如图11、图12,则两问之间互不干扰,图形的启发性强得多,这就是拆分图形、分步画图的妙处.

　　小结解答立体几何需要学会画图、识图、用图、算图,也许立体几何的魅力正在此处.由于不能正确观察图形,造成无法解答或解答缓慢,是学习立体几何中的困难的根源.如本文例题所示,求角的图形往往很复杂,这也是为什么在求角的时候,几何方法被放弃、向量方法大行其道的原因所在吧,如何通过对图形的巧妙处理,降低用图的难度,这是学习立体几何应当重视的问题.其实,如果掌握了图形的处理技巧,几何方法求解二面角也会变得容易,并且其正确性、计算量要大大高于向量法.

　　责任编校徐国坚