学年新教材高中数学第五章三角函数511任意角学案新人教A版必修第一册Word文档下载推荐.docx
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B．终边和始边都相同的两个角一定相等
C．在90°
≤β<
180°
范围内的角β不一定是钝角
D．小于90°
的角是锐角
[思路导引] 对角的概念的理解关键是弄清角的终边与始边及旋转方向和大小．
[解析] 终边与始边重合的角还可能是360°
，720°
，…，故A错；
终边和始边都相同的两个角可能相差360°
的整数倍，如30°
与－330°
，故B错；
由于在90°
范围内的角β包含90°
角，所以不一定是钝角，C正确；
小于90°
的角可以是0°
，也可以是负角，故D错误．
[答案] C
理解与角的概念有关问题的关键
关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧：
判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
[针对训练]
1．若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了________度．
[解析] 由题意可知，时针按逆时针方向转了10×
＝5°
，分针按逆时针方向转了10×
＝60°
.
[答案] 5°
60°
题型二终边相同的角的表示
【典例2】 已知角α＝2020°
（1）把α改写成k·
＋β（k∈Z,0°
）的形式，并指出它是第几象限角；
（2）求θ，使θ与α终边相同，且－360°
≤θ<
720°
[思路导引] 解题关键是理解与角α终边相同的角的表示形式．
[解]
（1）由2020°
除以360°
，得商为5，余数为220°
∴取k＝5，β＝220°
，α＝5×
＋220°
又β＝220°
是第三象限角，∴α为第三象限角．
（2）与2020°
终边相同的角为
k·
＋2020°
（k∈Z）．
令－360°
≤k·
<
（k∈Z），
解得－6
≤k<
－3
所以k＝－6，－5，－4.
将k的值代入k·
中，得角θ的值为－140°
，220°
，580°
（1）求适合某种条件且与已知角终边相同的角的方法
先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．
（2）求终边落在直线上的角的集合的步骤
①写出在0°
～360°
范围内相应的角；
②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；
③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁．
2．如图所示，求终边落在直线y＝
x上的角的集合．
[解] 终边落在射线y＝
x（x>
0）上的角的集合是S1＝{α|α＝60°
＋k·
，k∈Z}，终边落在射线y＝
x（x≤0）上的角的集合是S2＝{α|α＝240°
，k∈Z}，于是终边落在直线y＝
x上的角的集合是S＝{α|α＝60°
，k∈Z}∪{α|α＝240°
，k∈Z}＝{α|α＝60°
＋2k·
，k∈Z}∪{α|α＝60°
＋（2k＋1）·
＋n·
，n∈Z}.
题型三象限角的判断
【典例3】 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．
（1）－75°
；
（2）855°
（3）－510°
[思路导引] 作出图形，根据象限角的定义确定．
[解] 作出各角，其对应的终边如图所示．
（1）由图①可知－75°
是第四象限角．
（2）由图②可知855°
是第二象限角．
（3）由图③可知－510°
是第三象限角．
象限角的判断方法
（1）根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角；
（2）根据终边相同的角的概念把角转化到0°
范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．
3．已知α是第二象限的角，则180°
－α是第________象限的角．
[解析] 由α是第二象限的角可得90°
α<
（k∈Z），则180°
－（180°
）<
－α<
－（90°
）（k∈Z），即－k·
90°
－k·
（k∈Z），所以180°
－α是第一象限的角．
[答案] 一
题型四角
，nα（n∈N*）所在象限的确定
【典例4】 若α是第二象限角，则
是第几象限的角？
[思路导引] 已知角α是第几象限角，判断
所在象限，主要方法是解不等式并对k进行分类讨论，考查角的终边位置．
[解] ∵α是第二象限角，
∴90°
∴45°
解法一：
①当k＝2n（n∈Z）时，
45°
（n∈Z），即
是第一象限角；
②当k＝2n＋1（n∈Z）时，225°
270°
故
是第一或第三象限角．
解法二：
∵45°
表示终边为一、三象限角平分线的角，90°
（k∈Z）表示终边为y轴的角，
（k∈Z）表示如图中阴影部分图形．即
[变式]
（1）若本例条件不变，求角2α的终边的位置．
（2）若本例中的α改为第一象限角，则2α，
分别是第几象限角？
[解]
（1）∵α是第二象限角，
∴k·
＋90°
＋180°
2α<
＋360°
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
（2）因为α是第一象限角，
所以k·
，k∈Z.
所以2k·
所以2α是第一或第二象限角，或是终边落在y轴的正半轴上的角．
同理，k·
当k为偶数时，
为第一象限角，
当k为奇数时，
为第三象限角．
分角、倍角所在象限的判定思路
（1）已知角α终边所在的象限，确定
终边所在的象限用分类讨论法，要对k的取值分以下几种情况进行讨论：
k被n整除；
k被n除余1；
k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．
（2）已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况．
4．已知α是第一象限角，则角
的终边可能落在________．（填写所有正确的序号）
①第一象限 ②第二象限 ③第三象限 ④第四象限
[解析] ∵α是第一象限角，
，k∈Z，
∴
·
＋30°
当k＝3m，m∈Z时，m·
m·
，
∴角
的终边落在第一象限．
当k＝3m＋1，m∈Z时，m·
＋120°
＋150°
的终边落在第二象限．
当k＝3m＋2，m∈Z时，m·
＋240°
＋270°
的终边落在第三象限，故选①②③.
[答案] ①②③
课堂归纳小结
1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．
2．把任意角化为α＋k·
（k∈Z，且0°
≤α<
）的形
式，关键是确定k，可以用观察法（α的绝对值较小），也可以用除法．
3．已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的一个角，再写出0°
内符合条件的角的范围，最后都加上k·
，得到所求.
1．下列说法正确的是（ ）
A．三角形的内角一定是第一、二象限角
B．钝角不一定是第二象限角
C．终边与始边重合的角是零角
D．钟表的时针旋转而成的角是负角
[解析] A错，若一内角为90°
，则不属于任何象限；
B错，钝角一定是第二象限角；
C错，若角的终边作了旋转，则不是零角；
D对．
[答案] D
2．－215°
是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
[解析] 由于－215°
＝－360°
＋145°
，而145°
是第二象限角，故－215°
也是第二象限角，选B.
[答案] B
3．已知α为第三象限角，则
所在的象限是（ ）
A．第一或第二象限B．第二或第三象限
C．第一或第三象限D．第二或第四象限
[解析] 由于k·
得
＋135°
为第二象限角；
为第四象限角．
4．将－885°
化为α＋k·
（0°
，k∈Z）的形式是________．
[解析] 因为－885°
÷
＝－3…195°
，且0°
，所以k＝－3，α＝195°
，故－885°
＝195°
＋（－3）·
[答案] 195°
5．在角的集合{α|α＝k·
＋45°
，k∈Z}中，
（1）有几种终边不相同的角？
（2）若－360°
，则集合中的α共有多少个？
[解]
（1）在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°
、135°
、－135°
、－45°
终边相同的角．
（2）令－360°
，得－
k<
又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，
∴满足条件的角共有8个．
课后作业（三十七）
复习巩固
一、选择题
1．下列是第三象限角的是（ ）
A．－110°
B．－210°
C．80°
D．－13°
[解析] －110°
是第三象限角，－210°
是第二象限角，80°
是第一象限角，－13°
是第四象限角．故选A.
[答案] A
2．与600°
角终边相同的角可表示为（ ）
A．k·
（k∈Z）
B．k·
C．k·
＋60°
D．k·
＋260°
[解析] 与600°
终边相同的角α＝n·
＋600°
＝n·
＝（n＋1）·
＝k·
，n∈Z，k∈Z.
3．设A＝{小于90°
的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°
而不小于0°
的角}，那么有（ ）
A．BCAB．BAC
C．D（A∩C）D．C∩D＝B
[解析] 显然第一象限角不是都小于90°
，且小于90°
的角不都在第一象限，故A，B错；
0°
不属于任何象限，故C错；
锐角为小于90°
而大于0°
的角，∴C∩D＝B，选D.
4．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是（ ）
A．{α|α＝k·
，k∈Z}
B．{α|α＝k·
－45°
C．{α|α＝k·
＋225°
D．{α|α＝k·
[解析] 因为直线y＝－x为二、四象限角平分线，所以角终边落到第四象限可表示为k·
＝2k·
，k∈Z；
终边落到第二象限可表示为k·
－180°
＝（2k－1）·
，k∈Z，综上可得终边在直线y＝－x上的所有角的集合为{α|α＝k·
，k∈Z}．
5．给出下列四个命题：
①－75°
角是第四象限角；
②225°
角是第三象限角；
③475°
角是第二象限角；
④－315°
角是第一象限角，其中真命题有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
[解析] ①正确；
②正确；
③中475°
＝360°
＋115°
，因为115°
为第二象限角，所以475°
也为第二象限角，正确；
④中－315°
，因为45°
为第一象限角，所以－315°
也为第一象限角，正确．
二、填空题
6．50°
角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
[解析] 顺时针方向旋转3周转了－（3×
）＝－1080°
又50°
＋（－1080°
）＝－1030°
，故所得的角为－1030°
[答案] －1030°
7．已知角α＝－3000°
，则与角α终边相同的最小正角是________．
[解析] 设与角α终边相同的角为β，
则β＝－3000°
又因为β为最小正角，故取k＝9，
×
9＝240°
[答案] 240°
8．若角α与β的终边在一条直线上，则α与β的关系是______________________．
[解析] 因为α与β的终边在一条直线上，所以α与β相差180°
的整数倍．
[答案] α＝β＋k·
，k∈Z
三、解答题
9．在0°
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．
（1）－120°
（2）660°
（3）－950°
08′.
[解]
（1）∵－120°
＝240°
－360°
∴在0°
范围内，与－120°
角终边相同的角是240°
角，它是第三象限的角．
（2）∵660°
＝300°
范围内，与660°
角终边相同的角是300°
角，它是第四象限的角．
（3）∵－950°
08′＝129°
52′－3×
范围内，与－950°
08′终边相同的角是129°
52′，它是第二象限的角．
10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：
（1）终边落在射线OB上；
（2）终边落在直线OA上；
（3）终边落在阴影区域内（含边界）．
[解]
（1）终边落在射线OB上的角的集合为
S1＝{α|α＝60°
（2）终边落在直线OA上的角的集合为
S2＝{α|α＝30°
（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为
S3＝{α|30°
≤α≤60°
综合运用
11．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在（ ）
A．x轴的非负半轴B．y轴的非负半轴
C．x轴的非正半轴D．y轴的非正半轴
[解析] ∵角α，β终边相同，∴α＝k·
＋β（k∈Z），∴α－β＝k·
（k∈Z），故α－β的终边在x轴的非负半轴上．
12．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是（ ）
A．第一象限角B．第一、二象限角
C．第一、三象限角D．第一、四角限角
[解析] 由题意知k·
（k∈Z），故k·
（k∈Z），按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n（n∈Z）时，n·
（n∈Z），∴α在第一象限；
当k＝2n＋1（n∈Z）时，180°
（n∈Z），∴α在第三象限．故α在第一或第三象限．
13．已知角α的终边与角－690°
的终边关于y轴对称，则角α＝____________________.
[解析] －690°
＝－720°
，则角α的终边与30°
角的终边关于y轴对称，而与30°
角的终边关于y轴对称的角可取150°
，故α＝k·
[答案] k·
14．已知－990°
－630°
，且α与120°
角的终边相同，则α＝________.
[解析] ∵α与120°
角终边相同，故有α＝k·
又∵－990°
∴－990°
即－1110°
－750°
当k＝－3时，α＝（－3）·
＝－960°
[答案] －960°
15．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°
角的终边相同，α－β的终边与670°
角的终边相同，求角α，β的大小．
[解] 由题意可知，
α＋β＝－280°
∵α，β都是锐角，∴0°
α＋β<
取k＝1，得α＋β＝80°
.①
∵α－β＝670°
∵α，β都是锐角，∴
∴－90°
α－β<
取k＝－2，得α－β＝－50°
.②
由①②，得α＝15°
，β＝65°
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