高考数学第一轮复习《集合》文档格式.docx
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确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系有属于和不属于两种，表示符号为∈和∉.
（3）集合的表示方法有列举法、描述法和维恩（Venn）图．
（4）常见集合的符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
N
N＋或N*
Z
Q
R
C
表示
关系
文字语言
符号表示
集合
间的
基本
关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B的元素
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A
A
B或B
相等
集合A的每一个元素都是集合B的元素，集合B的每一个元素也都是集合A的元素
A⊆B且B⊆A⇔A＝B
空集
空集是任何集合的子集
∅⊆A
空集是任何非空集合的真子集
∅
B且B≠∅
并集
交集
补集
图形
表示
意义
{x|x∈A或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U且x∉A}
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A（A⊆U）的补集为∁UA
【重要结论】
1．对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2.
2．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B.
1．已知集合A＝{x|x2－x－2>
0}，则∁RA＝（ ）
（A）{x|－1<
x<
2}（B）{x|－1≤x≤2}
（C）{x|x<
－1}∪{x|x>
2}（D）{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
B 解析：
∵x2－x－2>
0，∴（x－2）（x＋1）>
0，∴x>
2或x<
－1，即A＝{x|x>
－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
故选B.
2．已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
（A）9（B）8（C）5（D）4
A 解析：
将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），（1,0），（1,1），共有9个．
故选A.
3．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，则（ ）
（A）A∩B＝{x|x＜0} （B）A∪B＝R
（C）A∪B＝{x|x＞1}（D）A∩B＝∅
集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|x＜0}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．故选A.
4．设函数y＝
的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（ ）
（A）（1,2）（B）（1,2]
（C）（－2,1）（D）[－2,1）
D 解析：
由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，故A∩B＝{x|－2≤x＜1}．
5．下面结论正确的是________．（写出所有正确结论的编号）
（1）{1,2,3}＝{3,2,1}．
（2）∅＝{0}．
（3）若A∩B＝A∩C，则B＝C.
（4）已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.
（5）若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<
4}，则∁UP＝{2}．
解析：
（1）集合中元素有无序性，正确；
（2）∅不含任何元素，不正确；
（3）若A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}满足A∩B＝A∩C，而B≠C.不正确；
（4）正确；
（5）由题知P＝{0，－1,1}，则∁UP＝{2}，正确．
答案：
（1）（4）（5）
考点一 集合的基本概念
（1）已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为（ ）
（A）4（B）3（C）2（D）1
（2）已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
（1）C 解析：
由题意知集合A表示圆，B表示一条直线．画出图形如图所示．
由图可知有2个交点，故A∩B中共有2个元素．
（2）解析：
若m＋2＝3，则m＝1，此时A＝{3,3}，舍
若2m2＋m＝3，则m＝1（舍）或m＝－
经验证m＝－
满足题意．
－
【反思归纳】
（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；
（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
【即时训练】
（1）设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为（ ）
（A）3（B）4（C）5（D）6
（2）已知a，b为两个不相等的实数，集合M＝{a2－4a，－1}，N＝{b2－4b＋1，－2}，f：
x→x表示把集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a＋b等于（ ）
（A）1（B）2（C）3（D）4
（1）因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，
所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.
当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．故选B.
（2）因为集合M中的元素x映射到集合N中仍为x，所以
即
因为a，b为两个不相等的实数，不妨设a＜b，解得a＝2－
，b＝2＋
，所以a＋b＝4.故选D.
（1）B
（2）D
考点二 集合的基本关系
（1）已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N*}，则集合A的真子集的个数为（ ）
（A）7（B）8（C）15（D）16
（2）已知集合A＝
，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x＋y＝________.
（1）A
（2）2
【反思归纳】
（1）已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．注意区间端点的取舍．
（2）判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．
【即时训练】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1},若B⊆A，则实数m的取值范围是________．
当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，
则m≤2.当B≠∅时，若B⊆A，如图．
则
解得2＜m≤4.
综上，m的取值范围为（－∞，4]．
（－∞，4]
考点三 集合的基本运算
设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（ ）
（A）{1，－3}（B）{1,0}（C）{1,3}（D）{1,5}
C 解析：
因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1,3}，选C.
【反思归纳】
（1）有关集合的运算要注意以下两点：
①要关注集合中的代表元素是什么．
②要对集合先化简再运算，并且特别注意是否含端点．
（2）有关集合的运算常有以下技巧：
①离散的数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；
②连续的数集的运算，常借助数轴求解；
③已知集合的运算结果求集合，借助数轴或Venn图求解；
④根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．
【即时训练】
（1）（2018昆明市昆十四中、官渡二中等七校模拟）设集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|x＜1，且x∈Z}，则A∩B＝（ ）
（A）{－1}（B）{0}
（C）{－1,0}（D）{0,1}
（2）设集合A＝{x|1＜x＜4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩（∁RB）＝（ ）
（A）（1,4）（B）（3,4）
（C）（1,3）（D）（1,2）∪（3,4）
（3）设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2,3}，则m＝________.
依题意得A＝{x|（x＋1）（x－2）≤0}＝{x|－1≤x≤2}，因此A∩B＝{x|－1≤x＜1，x∈Z}＝{－1,0}，选C.
（2）B 解析：
因为集合B＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，所以∁RB＝{x|x＞3或x＜－1}，所以A∩（∁RB）＝{x|3＜x＜4}．
（3）4 解析：
因为S＝{1,2,3,4}，∁SA＝{2,3}，所以A＝{1,4}，即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×
4＝4.
课时作业
基础对点练（时间：
30分钟）
1．已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（ ）
（A）3 （B）6（C）8（D）9
D
2．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则实数a的值为（ ）
（A）4（B）2（C）0（D）0或4
3．已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（ ）
（A）3（B）2（C）1（D）0
A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则（ ）
（A）A＝B（B）A∩B＝∅
（C）A
B（D）B
5．设集合A＝{1,4,2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝（ ）
（A）0（B）－2
（C）0或－2（D）0或±
2
6．设集合A＝{x|x＞－1}，B＝{x|x≥1}，则“x∈A且x∉B”成立的充要条件是（ ）
（A）－1＜x≤1（B）x≤1
（C）x＞－1（D）－1＜x＜1
7．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（ ）
（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个
因为M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，
所以M∩N＝{1,3}．
所以M∩N的子集共有22＝4（个）．故选B.
8．设集合A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|x（x－3）＜0}，则A∩B＝（ ）
（A）（－1,0）（B）（0,1）（C）（－1,3）（D）（1,3）
A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，A∩B＝（0,1）．故选B.
9．已知集合A＝{x∈R||x＋2|＜3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）＜0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.
A＝{x∈R||x＋2|＜3}＝{x∈R|－5＜x＜1}，
由A∩B＝（－1，n），可知m＜2，
则B＝{x|m＜x＜2}，
画出数轴，可得m＝－1，n＝1，
－1 1
10．已知集合A＝{1,3，
}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于________．
由A∪B＝A知B⊆A，则
m＝3或m＝
，即m＝3或m＝0或m＝1.
又当m＝1时不合题意，因此m＝0或3.
0或3
能力提升练（时间：
15分钟）
11．已知集合M＝{x|x2－2x＜0}，N＝{x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（ ）
（A）[2，＋∞）（B）（2，＋∞）
（C）（－∞，0）（D）（－∞，0]
M＝{x|x2－2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，因为M⊆N，所以a≥2.
12．设集合A＝{3，log2（a－2）}，B＝{a，a＋b}，若A∩B＝{1}，则b的值为（ ）
（A）－3（B）3（C）1（D）－1
当A∩B＝{1}时，
log2（a－2）＝1，a－2＝2，a＝4，
又∵a＋b＝1，b＝－3.故选A.
13．设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg（x2－1）}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩（∁UM）＝（ ）
（A）{x|－2≤x＜1}（B）{x|0＜x≤1}
（C）{x|－1≤x≤1}（D）{x|x＜1}
M＝{x|x＜－1或x＞1}，∁UM＝{x|－1≤x≤1}，N∩（∁UM）＝{x|0＜x≤1}，故选B.
14．已知集合A＝{x|x3－3x2＋2x＝0}，B＝{1，m}．若A∩B＝B，则实数m的值是（ ）
（A）0（B）0或2
（C）2（D）0或1或2
A＝{x|x3－3x2＋2x＝0}＝{0,1,2}，又因为A∩B＝B可得B⊆A，所以m可取值为0或2，故选B.
15．设集合A＝{x||2x－3|≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
由A中的不等式解得：
－7≤2x－3≤7，解得：
－2≤x≤5，即A＝[－2,5]；
当B＝∅时，m＋1＞2m－1，即m<
2，当B≠∅时，∵B＝[m＋1,2m－1]，A∪B＝A，
∴
，解得：
2≤m≤3，综上，m的取值范围为（－∞，3]．
（－∞，3]
16．某校高三
（1）班50个学生选择选修模块课程，他们在A，B，C三个模块中进行选择，且至少需要选择1个模块，具体模块选择的情况如下表：
模块
模块选择的学生人数
模块选择的
学生人数
28
A与B
11
B
26
A与C
12
B与C
13
则三个模块都选择的学生人数是________．
设三个模块都选择的学生人数为x，
则各部分人数如图所示，
则有（1＋x）＋（5＋x）＋（2＋x）＋（12－x）＋（13－x）＋（11－x）＋x＝50，
解得x＝6.
6
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