高三数学第一轮复习第01讲 集合教案.docx

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高三数学第一轮复习第01讲集合教案

2019-2020年高三数学第一轮复习第01讲集合教案

一．课标要求：

1．集合的含义与表示

（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

2．集合间的基本关系

（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；

3．集合的基本运算

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二．命题走向

有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

预测xx年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体题型估计为：

（1）题型是1个选择题或1个填空题；

（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用。

三．要点精讲

1．集合：

某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作；若b不是集合A的元素，记作；

（2）集合中的元素必须满足：

确定性、互异性与无序性；

确定性：

设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：

一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：

集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：

把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；

描述法：

把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：

列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z；

有理数集，记作Q；

实数集，记作R。

2．集合的包含关系：

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（或B包含A），记作AB（或）；

集合相等：

构成两个集合的元素完全一样。

若AB且BA，则称A等于B，记作A=B；若AB且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB；

（2）简单性质：

1）AA；2）A；3）若AB，BC，则AC；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；

3．全集与补集：

（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；

（2）若S是一个集合，AS，则，=称S中子集A的补集；

（3）简单性质：

1）（）=A；2）S=，=S。

4．交集与并集：

（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。

交集

。

（2）一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

。

注意：

求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：

（1）

（2）

（3）

（4）

；

（5）（A∩B）=（A）∪（B），（A∪B）=（A）∩（B）。

四．典例解析

题型1：

集合的概念

例1．设集合

，若，则下列关系正确的是（）

A．B．C．D．

解：

由于中只能取到所有的奇数，而中18为偶数。

则。

选项为D；

点评：

该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。

首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。

例2．设集合P={m|－1＜m≤0，Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是（）

A．PQB．QPC．P=QD．P∩Q=Q

解：

Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝，对m分类：

①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时，需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0。

综合①②知m≤0，

∴Q={m∈R|m≤0}。

答案为A。

点评：

该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。

集合中含有参数m，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。

题型2：

集合的性质

例3．（xx广东，1）已知集合A={1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是（）

A．15B．16C．3D．4

解：

根据子集的计算应有24－1=15（个）。

选项为A；

点评：

该题考察集合子集个数公式。

注意求真子集时千万不要忘记空集是任何非空集合的真子集。

同时，A不是A的真子集。

变式题：

同时满足条件：

①②若，这样的集合M有多少个，举出这些集合来。

答案：

这样的集合M有8个。

例4．已知全集，A={1,}如果，则这样的实数是否存在？

若存在，求出，若不存在，说明理由。

解：

∵；

∴，即＝0，解得

当时，，为A中元素；

当时，

当时，

∴这样的实数x存在，是或。

另法：

∵

∴，

∴＝0且

∴或。

点评：

该题考察了集合间的关系以及集合的性质。

分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。

此题的关键是理解符号是两层含义：

。

变式题：

已知集合

，,,求的值。

解：

由可知，

（1），或

（2）

解

（1）得，

解

（2）得，

又因为当时，与题意不符，

所以，。

题型3：

集合的运算

例5．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M＝｛x|x＜3，N＝｛x|log2x＞1｝，则M∩N＝（）

A．B．｛x|0＜x＜3C．｛x|1＜x＜3D．｛x|2＜x＜3

解：

由对数函数的性质，且2>1，显然由易得。

从而。

故选项为D。

点评：

该题考察了不等式和集合交运算。

例6．（06安徽理，1）设集合，

，则等于（）

A．B．C．D．

解：

，，所以，故选B。

点评：

该题考察了集合的交、补运算。

题型4：

图解法解集合问题

例7．（xx上海春，5）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且AB，则实数a

的取值范围是_____。

解：

∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}，又AB，利用数轴上覆盖关系：

如图所示，因此有a≤－2。

点评：

本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。

例8．（1996全国理，1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2n，n∈N*｝，B＝｛x｜x＝4n，n∈N｝，则（）

A．I＝A∪BB．I＝（A）∪B

C．I＝A∪（B）D．I＝（A）∪（B）

解：

方法一：

A中元素是非2的倍数的自然数，B中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.

方法二：

因A＝｛2，4，6，8…｝，B＝｛4，8，12，16，…｝，所以B＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I＝A∪B，故答案为Ｃ.

方法三：

因BA，所以（）A（）B，（）A∩（B）＝A，故I＝A∪（A）＝A∪（B）。

方法四：

根据题意，我们画出Venn图来解，易知BA，如图：

可以清楚看到I=A∪（B）是成立的。

点评：

本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。

题型5：

集合的应用

例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。

问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？

解：

赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。

设对事件A、B都赞成的学生人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。

依题意（30－x）+（33－x）+x+（+1）=50,解得x=21。

所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。

点评：

在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。

本题主要强化学生的这种能力。

解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。

本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。

画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？

解：

如图先画出Venn图，不难看出不符合条件

的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋（200÷5）

－（200÷10）－（200÷6）－（200÷15）

＋（200÷30）＝146

所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）

点评：

分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：

集合综合题

例11．（xx上海，17）设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。

解：

由|x－a|<2，得a－2

由<1，得<0，即－2

因为AB，所以，于是0≤a≤1。

点评：

这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。

主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。

在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{an}是等差数列，d为公差且不为0，a1和d均为实数，它的前n项和记作Sn,设集合A={（an,）|n∈N*},B={（x,y）|x2－y2=1,x,y∈R}。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：

（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

（2）A∩B至多有一个元素；

（3）当a1≠0时，一定有A∩B≠。

解：

（1）正确；在等差数列{an}中，Sn=,则（a1+an）,这表明点（an,）的坐标适合方程y（x+a1）,于是点（an,）均在直线y=x+a1上。

（2）正确；设（x,y）∈A∩B,则（x,y）中的坐标x,y应是方程组

的解，由方程组消去y得：

2a1x+a12=－4（*），

当a1=0时，方程（*）无解，此时A∩B=；

当a1≠0时，方程（*）只有一个解x=,此时，方程组也只有一解

故上述方程组至多有一解。

∴A∩B至多有一个元素。

（3）不正确；取a1=1，d=1，对一切的x∈N*，有an=a1+（n－1）d=n>0,>0，这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a1=1≠0如果A∩B≠，那么据

（2）的结论，A∩B中至多有一个元素（x0,y0）,而x0=＜0,y0=＜0，这样的（x0,y0）A,产生矛盾，故a1=1,d=1时A∩B=，所以a1≠0时，一定有A∩B≠是不正确的。

点评：

该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：

解答下述问题：

（Ⅰ）设集合

，,求实数m的取值范围.

分析：

关键是准确理解的具体意义，首先要从数学意义上解释的意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：

的取值范围是UM={m|m<-2}.

（解法三）设这是开口向上的抛物线，，则二次函数性质知命题又等价于

注意，在解法三中，f（x）的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

（Ⅱ）已知两个正整数集合A={a1,a2,a3,a4},

、B.

分析：

命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，

（Ⅲ）

分析：

正确理解

要使

由

当k=0时，方程有解,不合题意；

当

①

又由

由

②，

由①、②得

∵b为自然数，∴b=2，代入①、②得k=1

点评：

这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型6：

课标创新题

例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？

解：

设集合A={甲站在最左端的位置}，

B={甲站在最右端的位置}，

C={乙站在正中间的位置}，

D={丙站在正中间的位置}，

则集合A、B、C、D的关系如图所示，

∴不同的排法有种.

点评：

这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。

上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14．A是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：

①对任意，都有；②存在常数，使得对任意的，都有

（1）设，证明：

（2）设,如果存在,使得,那么这样的是唯一的;

（3）设,任取,令证明:

给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式

。

解：

对任意,

,,所以

对任意的，

，

，

所以0<

令

=，

，

所以

反证法：

设存在两个使得,。

则由

，

得，所以，矛盾，故结论成立。

，

所以

+…

。

点评：

函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。

五．思维总结

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如、、、、=、A、∪，∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

①区别∈与、与、a与{a}、φ与{φ}、{（1,2）}与{1,2}；

②AB时，A有两种情况：

A＝φ与A≠φ。

③若集合A中有n个元素，则集合A的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是－1,所有非空真子集的个数是。

④区分集合中元素的形式：

如；

；

；

；

；

；

。

⑤空集是指不含任何元素的集合。

、和的区别；0与三者间的关系。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。

⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线（面）的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。

2019-2020年高三数学第一轮复习第02讲函数概念与表示教案

一．课标要求

1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；

2．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；

3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；

4．通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义；

5．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

二．命题走向

函数是整个高中数学的重点，其中函数思想是最重要的数学思想方法，函数问题在历年的高考中都占据相当大的比例。

从近几年来看，对本部分内容的考察形势稳中求变，向着更灵活的的方向发展，对于函数的概念及表示多以下面的形式出现：

通过具体问题（几何问题、实际应用题）找出变量间的函数关系，再求出函数的定义域、值域，进而研究函数性质，寻求问题的结果。

高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主，以解答题形式出现的可能性相对较小，本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大。

预测xx年高考对本节的考察是：

1．题型是1个选择和一个填空；

2．热点是函数概念及函数的工具作用，以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成为新的热点。

三．要点精讲

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：

y=f（x），x∈A。

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域。

注意：

（1）“y=f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g（x）”；

（2）函数符号“y=f（x）”中的f（x）表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x。

2．构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：

①自然型：

指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：

分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；

②限制型：

指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；

③实际型：

解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。

（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题。

①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。

3．两个函数的相等：

函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。

因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。

4．区间

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示。

5．映射的概念

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：

AB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f：

AB”。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射。

注意：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述。

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：

一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。

6．常用的函数表示法

（1）解析法：

就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；

（2）列表法：

就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

（3）图象法：

就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

7．分段函数

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；

8．复合函数

若y=f（u），u=g（x）,x∈（a，b），u∈（m,n），那么y=f[g（x）]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g（x）的值域。

四．典例解析

题型1：

函数概念

例1．

（1）设函数

（2）（xx上海理，1）设函数f（x）＝，则满足f（x）=的x值为。

解：

（1）这是分段函数与复合函数式的变换问题，需要反复进行数值代换，

=

=

（2）当x∈（－∞，1，值域应为［，＋∞］，

当x∈（1，＋∞）时值域应为（0，＋∞），

∴y＝，y∈（0，＋∞），

∴此时x∈（1，＋∞），

∴log81x＝，x＝81＝3。

点评：

讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧（赋值、变量代换、换元等等），这都是函数学习的常用基本功。

变式题：

（xx山东文2）设

（）

A．0　B．1C．2D．3

解：

选项为C。

例2．（xx安徽文理15）

（1）函数对于任意实数满足条件，若则__________；

（2）函数对于任意实数满足条件，若则__________。

解：

（1）由得

，

所以，则

。

（2）由得

，所以，则

。

点评：

通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。

题型二：

判断两个函数是否相同

例3．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f（x）=，g（x）=；

（2）f（x）=，g（x）=

（3）f（x）=，g（x）=（）2n－1（n∈N*）；

（4）f（x）=，g（x）=；

（5）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。

解：

（1）由于f（x）==|x|，g（x）==x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数；

（2）由于函数f（x）=的定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数；

（3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，

∴f（x）==x，g（x）=（）2n－1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数；

（4）由于函数f（x）=的定义域为{x|x≥0}，而g（x）=的定义域为{x|x≤－1或x≥0}，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数；

（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数。

点评：

对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然。

（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1