空间解析几何Word下载.docx
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在直角三角形mn2n中，
ZN|Zzi|,
所以点M与N间的距离为
d...|MN2|2|N2N|2...（X2xj2（y2yj2忆乙）2•
设A（1,2,0）与B（1,0,2）为空间两点，求A与B两点间的距离.
由公式（6-1）可得A与B两点间的距离为
d
在z轴上求与点A（3,5,
由于所求的点M
[1
（1）]2（02）2（20）222.
2）和B（4,1,5）等距的点M•
在z轴上，因而
MA
M点的坐标可设为（0,0,z），又由于
MB,
由公式（6-1），得
...3252（2z）2
.（4）212（5z）2•
从而解得
即所求的点为
M（0,0,2）•
课堂练习:
1.讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号.
2.在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？
3.在空间直角坐标系中，画出下列各点：
A（2,0,0）；
B（0,3,0）；
C（3,0,1）；
D（3,2,1）.
4•求点（1,2,3）关于各坐标平面对称的点的坐标.
5.求点（1,2,3）关于各坐标轴对称的点的坐标.
6.求下列各对点间的距离：
（1）A（0,1,3）与B（2,1,4）;
（2）C（1,4,2）与D（2,7,3）.
7•在坐标平面yOz上求与三点A（3,1,2）、B（4,2,2）和C（0,5,1）等距的点.
&
求点A（12,3,4）与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离.
6.2向量的概念及运算
1.理解向量、单位向量、零向量、自由向量等相关概念，会表示向量。
2.理解向量加法、向量减法的三角形法则及数与向量的乘法的意义、性质。
3•理解向量的坐标表示，能熟练进行向量的代数运算.
6.2.1向量的基本概念
在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示•这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标
量）•但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或
矢量）.
通常我们用黑体小写字母a」,c,…来表示向量，手写时写成a,b,cj||；
或用一个带箭头的线段（有向线段）AB来表示向量，A称为向量的起点，B称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向.
向量的大小称为向量的模，记作|a,A^,，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向不确定，可以是任意方向.
本书我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等的向量，记作a=b，即向量在空间中平
行移动后仍为相同的向量.如图6-8中a=b=c.
与向量a大小相等，方向相反的向量叫做的负向量（或反向量），记作a.
平行于同一直线的一组向量称为平行向量，零向量与任一向量平行.
图6-8
6.2.2向量的线性运算
1.向量的加法
我们在物理学中知道，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们要类似地定义两个向量的加法.
对向量a,b，从同一起点A作有向线段
为邻边作平行四边形ABCD，则我们把从起点A到顶点C的向量量a与b的和，记作a+b.
b,然后
称为向
以
图6-9
图6-10
aB、aD分别表示a与
这种求和方法称为平行四边形法则（如图6-9）.
由于向量可以平移，所以，若将向量b平移，使其起点与向量a的终点重合，则以a的
起点为起点，b的终点为终点的向量c就是a与b的和（图6-10），该法则称为三角形法则.
多个向量，如a、b、c、d首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终
点的向量就是它们的和a+b+c+d（图6-11）.
对于任意向量a,b,c，有以下运算法则：
（1）a+b=b+a（交换律）.
（2）（a+b）+c=a+（b+c）（结合律）.
（3）a+0=a.
（4）a+（a）=0.
2.向量的减法
定义6.2向量a与b的负向量b的和，称为向量a与b的差，即
由向量减法的定义，我们从同一起点
ab=（
ab=a+（b）.i
有向线段OA,OB分别表示a,
b，则
OABO
也就是说，若向量a与b的起点放在一起，则a,b的差向量就是以b的终点为起点,以a的终点为终点的向量（图6-12）.
b
图6-11图6-12
3.数乘向量
定义6.3实数与向量a的乘积是一个向量，记作a,a的模是a的模的倍,
即
a
a与a反向；
当0时,
，有以下运算法则：
且当0时，a与a同向；
对于任意向量a，b以及任意实数，
（1）（
）a=
（a）.
⑵（
）a
=a+a.
⑶（a
b）=
=a+b.
定理6.1
向量
a与非零向量b平行的充分必要条件是存在一个实数
，使得a=
证明略.
向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，a+b称为a,b的一
个线性组合（，R）.
6.2.3向量在坐标轴上的投影
设A为空间中一点，过点A作轴u的垂线，垂足为A'
，贝UA称为点A在轴u上的投影.
若M为空间直角坐标系中的一点，则M在x轴、y轴、z轴上的投影为A、B、C,
如图6-13所示.
设点A和B在轴u上的投影分别为A'
与B'
，则向量aBAB的长冠以恰当正负号，当'
图6-13
在轴U
AB与轴u同向时，投影取正号，
AB为空间一个向量
上的投影是指投影向量当AB与轴u反向时，投影取负号.
注
（1）向量在轴上投影是标量.
（2）设MN为空间直角坐标系中的一个向量，点M的坐标为（x1,y1,Z-!
），点N的坐
标为（X2,丫2迄2），显然，向量mN在三个坐标轴上的投影分别为X2X1,yy1,
Z2zi.
6.2.4向量的坐标表示
取空间直角坐标系Oxyz，在x轴、y轴、z轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量,依次记作i,j,k，它们称为坐标向量.
空间中任一向量a，，它都可以唯一地表示为i,j,k数乘之和.
6-141所示.
事实上，设a=MN,
由于mA与i平行=
使得
与j平行,
作:
MC与k平行，所以，存在唯一的实数x,y,z,
xi,
xi+yj+zk.
z
zk,
（6-2）
C
>
|M
/
B
_,—
.1K一
—
A
图6-14
我们把（6-2）式中i,j,k系数组成的有序数组（x,y,z）叫做向量a的直角坐标，记为
a={x,y,z}，向量的坐标确定了，向量也就确定了.
显然，（6-2）中的x,y,z是向量a分别在x轴、y轴、z轴上的投影.
因此，在空间直角坐标系中的向量有序数组.
a的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的
例1在空间直角坐标系中设点
M（3,1,5）,N（2,
3,1），求向量
直角坐标.
解由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差.所以
向量MN的坐标为｛5,4,4｝，向量
设
的坐标为｛
M（x,y,z）为空间直角坐标系Oxyz中的一点，则向量
OM的坐标与点M的坐标相同，我们把起点在原点的向量叫做
即向量
位向量被它的终点所决定.
匸4｝.
OM的坐标为｛x,y,z｝,
定位向量.每个定
例2
图6-15
解要画出定位向量，只需找到向量的终点M，而点M坐标与向量a的坐标相同,
它们都可以通过其定位向量
OM平移
即M｛1,3,2｝（如图6-15）.
对应于坐标为｛1,3,2｝的向量可以画出无数个,
得到.
6.2.5用向量的坐标进行向量的线性运算
弓I入向量的坐标以后，就可将向量的运算转化为代数运算，计算起来比较方便.首先，在有序数组（x,y,z）组成的集合中，规定：
两个有序数组（捲，y1,zj与（X2,y2,Z2），如果满足
X1X2,y1y2,Z1Z2,
则称（%,y1,乙）与（x2,y2,Z2）相等，记作（为，如，乙）（x?
y2,z?
）.
且规定加法、减法及数乘运算：
（1）（为，％,乙）（X2,y2,Z2）（X1X2,y1y?
z,z?
（2）（人，％,乙）（X2,y2,Z2）（X1X2,y1y?
乙z?
（3）k（x,y,z）（kx,ky,kz）.
下面，我们来研究如何利用向量的坐标进行向量的线性运算.
设在平面直角坐标系Oxyz中，向量a={x-i,y1,z1}及b={x2,y2,互}，则由向量坐
标定义有
因此
ab
=x1i
=x2i
y1jy2j
zk,z?
k,
ab=（x）i
yd
Nk）
（x?
i
y2j
Z2k）
（为
X2）i
（y1
y2）j
（Z1
N）k;
a=（x1i
y1j
Zk）:
=（X1）i（
%）j（
Z1）k
a的坐标分别为
{为
X2,y1
y2,z.
1Z2｝与｛
X1,y1,
Z1｝.
所以ab与
向量的和（差）向量的坐标等于它们的坐标的和（差）.数乘向量a的坐标等
也就是说，于数乘以a的坐标.
容易证明：
向量a={X）,y1,z1}与b={x2,y2,z2}平行的充要条件是其对应坐标成正比，即
X2y2Z2
若某个分母为零时，我们约定相应的分子也为零.
CD为平行四边形
M为其对角线的交点，
用
表示向量
2.求坐标向量i,j,k的坐标.
3.设在空间直角坐标系中有三点A（2,1,1）,B（4,2,3）,C（0,0,2），求向
量AB,BC,Ca.
1
4.设向量a={1,2,1},b={3,2,0}，求a+b,ba,2a+-b.
3
5.已知向量a=5i+jk与b=i+2jk平行，求与的值.
6.已知三个力F1=5i+2j7k,F2=3i+6j4k,F3=12i+j15k，求它们的合力F.
7.已知两力F1=i+2j3k,F2=2i3jk作用于同一点，问要用怎样的力才
能使它们平衡？
8求向量a=3i+j4k在三个坐标轴上投影.
6.3向量的数量积与向量积
4学时
1•理解数量积与向量积的定义及运算性质，能进行数量积与向量积的代数运算。
2.理解两向量垂直与平行的充分必要条件。
6.3.1两向量数量积的定义及性质
F的作用下，由A点沿直线移到B点,位移向量AB的夹角为，则力F所作的功为j
W|F||AB|cos.
在实际生活中，我们会经常遇到由两个向量所决定的象这样的数量乘积•由此，引入两向量的数量积的概念.
定义6.4设a,b为空间中的两个向量，则数a||bcos（a,b）
叫做向量a与b的数量积（也称内积或点积），记作ab，读作ab=a|bcosa,b其中；
a,b表示向量a与b的夹角，并且规定0a,b.
由向量数量积的定义易知：
在物理中我们知道，一质点在恒力
a点乘b”.即
（1）
2
aa=a，因此
对于两个非零向量
b，有
（6-4）
（6-5）
数量积在解决有关长度、
注
数量积的运算满足如下运算性质:
cos'
a,b.|a||b|
b,a与b垂直的充要条件是它们的数量积为零,
abab=0.
角度、垂直等度量问题上起着重要作用.
若力F与
我们
（6-3）
（6-6）
对于任意向量a,b及任意实数，有
（1）交换律：
ab=ba.
（2）分配律：
a（b+c）=ab+ac.
（3）与数乘结合律：
（a）b二（ab）a（b）.
（4）aa0当且仅当a=0时，等号成立.
下面仅证（3）
证明①当0时，式子两端都是0，自然成立.
②0时，
cos：
a,b；
cos.a,b；
所以
（a）b=a||bcos（a,b）
=abcos（a,b）=（ab）.
（a）b=（ab）.
同样可以证明
a（b）（ab）.
故性质（3）成立.注
则展开.
例
解
由性质
（2）与（3）可得推论：
两个向量的线性组合的数量积可以按多项式相乘的法
对坐标向量i,j,k,求ii,jj,kk,由坐标向量的特点及向量内积的定义得
j=
k=
已知a
a,b；
，求
（a2b）（a
b）,
由两向量的数量积定义有
b=a||bcos〈a,b）
（a
2b）（ab）=aa+
=a
b（a+b）（a
22ab
cos-
2ba
2b2
2b
22
（3）232=
11.
b2
a+a
222
（3）
abb
32=7,
6.3.2两向量数量积的直角坐标运算
在空间直角坐标系下，设向量a=｛x1,y1,z1｝，向量b二｛x2,y2,z2｝，即
a=灯yjZ1k,
b=x2iy2jz2k.
则
ab=（x1iyj乙k）（Xziy?
」Zzk）
=xM2（ii）x^Cij）+X!
Z2（ik）
+FX2（ji）y』2（jj）+y1Z2（jk）
+Z1X2（ki）z"
2（kj）+Z1Z2（kk）.
由于
ii=jj=kk=1,
ij=jk=ki=0,
ab=x1x2y1y2nz2.（6-7）
也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和.
同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即
设非零向量a=｛x1,y1,z1｝，向量b二｛X2,y2,z2｝，则
aax；
*、ab
cosa,b■
|a||b|
22
y1Z1.
X1X2+y』2+ZZ2
（6-8）
~222~2
X1+y1+zl、为+y2+Z2
X1X2y』2Z1Z20.
{2,2,0}与{0,2,2}，求a
2）=4;
822,
b^02+22+
（2）2782血；
设向量a与b的直角坐标为
ab=20+22+0（
一22+22+02
（6-9）
（6-10）
b,a,b，:
a,b.
7t
■a,b：
4在空间直角坐标系中，设三点明：
ABC是直角三角形.
由题意可知I
AB｛
证明
2,6,0}
（2）（
即ABC是直角三角形.
6.3.3两向量的向量积的定义及性质
A（5,
AC={
4,1）,B（3,2,1）
C（2,5,0）.证
3,1,1},
3）6（aBaC.
1）0
（1）0,
在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念
来描述•设一杠杆的一端0固定，力F作用于杠杆上的点A处，F与OA的夹角为，则
杠杆在F的作用下绕O点转动，这时，可用力矩M来描述•力F对O的力矩M是个向
量,
M的大小为
M的方向与
|M||
及F都垂直，且
||FIsn.OA,F「
F,M成右手系，如图
6-16所示.
A
图6-16
在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们
引入两向量的向量积的概念.
定义6.5设a,b为空间中的两个向量，若由a,b所决定的向量c,其模为
c=a|bsin〈a,bj.（6-11）
其方向与a,b均垂直且a,b,c成右手系，则向量c叫做向量a与b的向量积（也称外积或叉积）•记作ab，读作“a叉乘b”.
注
（1）两向量a与b的向量积ab是一个向量，其模ab的几何意义是以a,b为邻边的平行四边形的面积.
（2）对两个非零向量a与b,a与b平行（即平行）的充要条件是它们的向量积为零向量.
a//bab=0.（6-12）
向量积的运算满足如下性质：
对任意向量a,b及任意头数入，有
反交换律:
=
a.
⑵
分配律：
a（b+
c）
b+
ac,
（a+b）
c
c+
bc.
⑶
与数乘的结合律：
（
a）
b=
（ab）=a（b）
下面仅证
（1）.
证明①若a与b平行，则
ab=0,
（ba）=0.
结论成立；
②若a与b不平行,
由向量积疋义，
ab与ba的模相等，但方向相反，
b=（ba）
所以性质
（1）成立.
例5对坐标向量i
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