一元二次方程Word文档下载推荐.docx

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2方程形式

一般式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c是常数）的形式。

这种形式叫一元二次方程的一般形式。

一次项系数b和常数项c可取任意实数，而二次项系数a必须是不等于0的实数。

要先确定二次项系数，再确定一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式。

[2] 

变形式

（a、b是实数，a≠0）;

（a、c是实数，a≠0）;

（a是实数，a≠0）.

注：

a≠0这个条件十分重要.

配方式

两根式

3求解方法

开平方法

形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成

的形式，那么可得

。

如果方程能化成

（p≥0）的形式，那么

，进而得出方程的根。

　　注意：

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。

　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

　　③方法是根据平方根的意义开平方。

配方法

步骤

将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为一般形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。

配方法的理论依据是完全平方公式a²

+b²

±

2ab=（a±

b）²

配方法的关键是：

先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

举例

例一：

用配方法解方程3x2－4x-2=0

解：

将常数项移到方程右边3x2-4x=2

将二次项系数化为1：

方程两边都加上一次项系数一半的平方：

配方：

直接开平方得：

∴

.

∴原方程的解为

求根公式法

用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式

，确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出判别式

的值，判断根的情况；

③在

的前提下，把a、b、c的值代入公式

进行计算，求出方程的根。

推导过程

一元二次方程的求根公式导出过程如下：

（为了配方，两边各加）

（化简得）。

一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。

一元二次方程中的判别式

根号下b²

－4ac

应该理解为“如果存在的话，两个自乘后为的数当中任何一个”。

在某些数域中，有些数值没有平方根。

推导过程2

a的取值范围任意，c取值范围任意，b=（a+1）√c。

从abc的取值来看可出1亿道方程以上，与因式分解相符合。

因式分解法

因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原

图解法

方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解。

图像解法

的根的几何意义是二次函数

的图像（为一条抛物线）与x轴交点的X坐标。

当

时，则该函数与x轴

相交（有两个交点）；

时，则该函数与x轴相切（有且仅有一个交点）；

时则该函数与x轴相离（没有交点）。

另外一种解法是把一元二次方程

化为：

的形式。

则方程的根，就是函数和

交点的X坐标。

通过作图，可以得到一元二次方程根的近似值。

计算机法

在使用计算机解一元二次方程时，和人手工计算类似，大部分情况下也是根据下面的公式去解

可以进行符号运算的程序，比如软件Mathematica，可以给出根的解析表达式，而大部分程序则只会给出数值解（但亦有部分显示平方根及虚数）。

5方程解

含义

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

　　能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。

一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。

（2）一元二次方程一定且最多有两个解，也有可能没有解，那就要看判别式（△=b²

—4ac）

判别式

利用一元二次方程根的判别式（

）可以判断方程的根的情况。

的根与根的判别式 

有如下关系：

①当

时，方程有两个不相等的实数根；

②当

时，方程有两个相等的实数根；

③当

时，方程无实数根，有2个不相等的虚数根。

上述结论反过来也成立。

根与系数的关系

一元二次方程的两根与方程中各系数有如下关系：

（也称韦达定理）。

由韦达定理可得，当方程的两根为x1=p，x2=q时，方程为：

a[x2-（p+q）x+pq]=0（其中

）

5历史发展

公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。

他们是这样描述的：

已知一个数与它的倒数之和等于一个已给数，求出这个数。

他们使x1+x2=b，x1x2=1，x2-bx+1=0，再做出解答。

可见，古巴比伦人已知道一元二次方程的解法，但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，例如：

ax2=b。

大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。

《九章算术》勾股章中的第二十题，是通过求相当于x2+34x+71000=0的正根而解决的。

中国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。

古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程x2+px+q=0的一个求根公式。

公元820年，阿拉伯的阿尔·

花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。

书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。

他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文radix。

其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数，如ax2=bx、ax2=cx、ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c等。

把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。

法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。