高考总复习人教A版高中数学第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角与斜率直线的方程Word文档格式.docx

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（2）倾斜角的范围为[0，π）．

2．直线的斜率

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tanα，倾斜角是90°

的直线没有斜率．

（2）过两点的直线的斜率公式：

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝＝.

3．直线方程

名称

几何条件

方程

局限性

点斜式

过点（x0，y0），斜率为k

y－y0＝k（x－x0）

不含垂直于x轴的直线

斜截式

斜率为k，纵截距为b

y＝kx＋b

两点式

过两点（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）

＝

不包括垂直于坐标轴的直线

截距式

在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a，b≠0）

＋＝1

不包括垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0（A，B不全为0）

[做一做]

1．已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－，则直线l的方程为（　　）

A．3x＋4y－14＝0　　　　B．3x－4y＋14＝0

C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0

答案：

A

2．过点M（－2，m），N（m，4）的直线的斜率为1，则m的值为________．

1

1．辨明四个易误点

（1）求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；

每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

（2）根据斜率求倾斜角，要注意倾斜角的范围．

（3）直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式．

（4）由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0，当B＝0时，k不存在；

当B≠0时，k＝－.

2．求直线方程的一般方法

（1）直接法：

根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．

（2）待定系数法，具体步骤为：

①设所求直线方程的某种形式；

②由条件建立所求参数的方程（组）；

③解这个方程（组）求出参数；

④把参数的值代入所设直线方程．

3．已知直线l：

ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（　　）

A．1B．－1

C．－2或－1D．－2或1

D

4．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是（　　）

A．[0，π）B.∪

C.D.∪

解析：

选B.设倾斜角为θ，则有tanθ＝－sinα，其中sinα∈[－1，1]．又θ∈[0，π），∴0≤θ≤或≤θ＜π.

__直线的倾斜角与斜率__________________

（1）经过两点A（4，2y＋1），B（2，－3）的直线的倾斜角为，则y＝（　　）

A．－1　　　　　　　　B．－3

C．0D．2

（2）直线2xcosα－y－3＝0的倾斜角的变化范围是（　　）

A.B.

C.D.

[解析]　

（1）tan＝＝＝y＋2，

因此y＋2＝－1，y＝－3.

（2）直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈，所以≤cosα≤，因此k＝2cosα∈[1，]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，]．由于θ∈[0，π），所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.

[答案]　

（1）B　

（2）B

[规律方法]　

（1）求倾斜角的取值范围的一般步骤：

①求出斜率k＝tanα的取值范围．

②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．

求倾斜角时要注意斜率是否存在．

（2）斜率的求法

①定义法：

若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率．

②公式法：

若已知直线上两点A（x1，y1），B（x2，y2），一般根据斜率公式k＝（x1≠x2）求斜率．

　1.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．

当α∈时，k＝tanα∈；

当α∈时，k＝tanα∈[－，0）．

综上k∈[－，0）∪.

[－，0）∪

__求直线的方程（高频考点）________________

直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择题、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目．

高考中对直线方程的考查主要有以下三个命题角度：

（1）已知两个独立条件，求直线方程；

（2）已知直线方程，求直线的倾斜角、斜率；

（见考点一）

（3）已知直线方程及其他条件，求参数值或范围．

（1）已知直线x＋a2y－a＝0（a>

0，a是常数），当此直线在x，y轴上的截距和最小时，a的值是（　　）

A．1B．2

C.D．0

（2）过点A（－1，－3），斜率是直线y＝3x的斜率的－的直线方程为________．

[解析]　

（1）直线方程可化为＋＝1，因为a>

0，

所以截距之和t＝a＋≥2，当且仅当a＝，即a＝1时取等号．

（2）设所求直线的斜率为k，依题意

k＝－×

3＝－.

又直线经过点A（－1，－3），

因此所求直线方程为y＋3＝－（x＋1），

即3x＋4y＋15＝0.

[答案]　

（1）A　

（2）3x＋4y＋15＝0

[规律方法]　与直线方程有关问题的解题策略：

（1）在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．

（2）求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．

　2.

（1）△ABC的三个顶点为A（－3，0），B（2，1），C（－2，3），求：

①BC所在直线的方程；

②BC边上中线AD所在直线的方程；

③BC边的垂直平分线DE所在直线的方程．

（2）过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________．

解：

（1）①因为直线BC经过B（2，1）和C（－2，3）两点，

由两点式得BC所在直线的方程为＝，

即x＋2y－4＝0.

②设BC中点D的坐标为（x，y），

则x＝＝0，y＝＝2.

BC边的中线AD过A（－3，0），D（0，2）两点，

由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，

即2x－3y＋6＝0.

③BC的斜率k1＝－，

则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，

由点斜式得DE所在直线的方程为2x－y＋2＝0.

（2）解析：

由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，又因为直线过点（－3，4），

所以＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0

__直线方程的综合问题__________________

　直线l过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求l的方程．

[解]　依题意，l的斜率存在，且斜率为负，

设直线l的斜率为k，

则直线l的方程为y－4＝k（x－1）（k<

0）．

令y＝0，可得A；

令x＝0，可得B（0，4－k）．

|OA|＋|OB|＝＋（4－k）＝5－

＝5＋≥5＋4＝9.

∴当且仅当－k＝且k<

即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．

这时l的方程为2x＋y－6＝0.

　在本例条件下，若|PA|·

|PB|最小，求l的方程．

|PA|·

|PB|＝·

＝－（1＋k2）＝4≥8（k<

∴当且仅当＝－k且k<

即k＝－1时，|PA|·

|PB|取最小值．

这时l的方程为x＋y－5＝0.

[规律方法]　直线方程的应用问题常见的类型及解法：

（1）与函数相结合命题：

解决这类问题，一般是利用直线方程中x、y的关系，将问题转化成关于x的某函数，借助函数性质来解决．

（2）与方程、不等式相结合命题：

一般是利用方程、不等式等知识来解决．

方法思想——分类讨论思想在求直线方程中的应用

　（2015·

常州模拟）过点P（－2，3）且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为__________________．

[解析]　

（1）当截距不为0时，设所求直线方程为

＋＝1，即x＋y－a＝0.

∵点P（－2，3）在直线l上，

∴－2＋3－a＝0，

∴a＝1，所求直线l的方程为x＋y－1＝0.

（2）当截距为0时，设所求直线方程为y＝kx，

则有3＝－2k，即k＝－，

此时直线l的方程为y＝－x，即3x＋2y＝0.

综上，直线l的方程为x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.

[答案]　x＋y－1＝0或3x＋2y＝0

[名师点评]　

（1）求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时截距是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．

（2）本题对截距是否为0进行分类讨论，易忽略截距为0的情况．

　1.若直线过点P（－3，－）且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为（　　）

A．3x＋4y＋15＝0

B．x＝－3或y＝－

C．x＝－3

D．x＝－3或3x＋4y＋15＝0

选D.若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±

4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；

若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k（x＋3），即kx－y＋3k－＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心（0，0）到直线的距离为＝，解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.

2．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．

（1）当直线过原点时，直线方程为y＝－x；

（2）当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，

即x－y＝a.代入点（－3，5），得a＝－8.

即直线方程为x－y＋8＝0.

y＝－x或x－y＋8＝0

1．（2015·

秦皇岛模拟）直线x＋y＋1＝0的倾斜角是（　　）

A.　　　　　　　　　B.

选D.由直线的方程得直线的斜率为k＝－，设倾斜角为α，则tanα＝－，又α∈[0，π），所以α＝.

2．倾斜角为120°

，在x轴上的截距为－1的直线方程是（　　）

A.x－y＋1＝0B.x－y－＝0

C.x＋y－＝0D.x＋y＋＝0

选D.由于倾斜角为120°

，故斜率k＝－.又直线过点（－1，0），所以方程为y＝－（x＋1），即x＋y＋＝0.

3．已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1），当x＜0时，f（x）＞1，方程y＝ax＋表示的直线是（　　）

选C.∵x＜0时，ax＞1，∴0＜a＜1.

则直线y＝ax＋的斜率0＜a＜1，

在y轴上的截距＞1.故选C.

4．（2015·

湖南长沙模拟）过点（1，3）作直线l，若经过点（a，0）和（0，b），且a∈N*，b∈N*，则可作出的直线l的条数为（　　）

C．3D．4

选B.由题意得＋＝1⇒（a－1）（b－3）＝3.

又a∈N*，b∈N*，故有两个解或

5．直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是（　　）

A．[－2，2]B．（－∞，－2]∪[2，＋∞）

C．[－2，0）∪（0，2]D．（－∞，＋∞）

选C.令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝－b，

所以所求三角形面积为|－b|＝b2，且b≠0，b2≤1，所以b2≤4，所以b的取值范围是[－2，0）∪（0，2]．

6．已知直线的倾斜角是60°

，在y轴上的截距是5，则该直线的方程为________．

因为直线的倾斜角是60°

，所以直线的斜率为k＝tan60°

＝.又因为直线在y轴上的截距是5，由斜截式得直线的方程为y＝x＋5.

y＝x＋5

7．（2015·

贵州贵阳模拟）直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－3，3），则其斜率的取值范围是________．

设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k（x－1），在x轴上的截距为1－.令－3<

1－<

3，解得k<

－1或k>

.　

（－∞，－1）∪

8．已知直线l1：

ax－2y＝2a－4，l2：

2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，a＝________．

由题意知直线l1，l2恒过定点P（2，2），直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×

2×

（2－a）＋×

（a2＋2）＝a2－a＋4＝（a－）2＋，当a＝时，面积最小．

9．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程：

（1）过定点A（－3，4）；

（2）斜率为.

（1）设直线l的方程为y＝k（x＋3）＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－－3，3k＋4，

由已知，得（3k＋4）（＋3）＝±

6，

解得k1＝－或k2＝－.

故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0.

（2）设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝x＋b，它在x轴上的截距是－6b，

由已知，得|－6b·

b|＝6，∴b＝±

1.

∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.

10．设直线l的方程为x＋my－2m＋6＝0，根据下列条件分别确定m的值：

（1）直线l的斜率为1；

（2）直线l在x轴上的截距为－3.

（1）因为直线l的斜率存在，所以m≠0，

于是直线l的方程可化为y＝－x＋.

由题意得－＝1，解得m＝－1.

（2）法一：

令y＝0，得x＝2m－6.

由题意得2m－6＝－3，解得m＝.

法二：

直线l的方程可化为x＝－my＋2m－6.由题意得2m－6＝－3，解得m＝.

福建泉州模拟）若点（m，n）在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是（　　）

A．2B．2

C．4D．2

选C.法一：

因为点（m，n）在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，

欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值．

而表示4m＋3n－10＝0上的点（m，n）到原点的距离，如图．

当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点（m，n）的距离的最小值为2.

∴m2＋n2的最小值为4.

由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，

直线与两坐标轴交于A（，0），B（0，），

在Rt△OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝＝，

斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根，

∴S△OAB＝·

OA·

OB＝AB·

h，

∴h＝＝＝2，

∴m2＋n2的最小值为h2＝4.

2．已知A（3，0），B（0，4），直线AB上有一动点P（x，y），则xy的最大值是________．

依题意得AB的方程为＋＝1.当x＞0，y＞0时，1＝＋≥2＝，即xy≤3（当且仅当x＝，y＝2时取等号），故xy的最大值为3.

3

3．（2015·

江苏苏州调研）经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________．

如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB＞0，kPA＜0，故k＜0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．

又kPA＝＝－1，

kPB＝＝1，

∴－1≤k≤1.又当0≤k≤1时，0≤α≤；

当－1≤k＜0时，≤α＜π.

故倾斜角α的取值范围为α∈∪.

[－1，1]　∪

4．求曲线y＝x3－x＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围．

记曲线上点P处的切线的倾斜角是θ，

∵y′＝3x2－1≥－1，∴tanθ≥－1，

∴θ为钝角时，应有θ∈[，π）；

θ为锐角时，tanθ≥－1显然成立．

综上，θ的取值范围是[0，）∪[，π）．

5.已知直线l过点P（0，1），且与直线l1：

x－3y＋10＝0和l2：

2x＋y－8＝0分别交于点A，B（如图）．若线段AB被点P平分，求直线l的方程．

∵点B在直线l2：

2x＋y－8＝0上，

故可设点B的坐标为（a，8－2a）．

∵点P（0，1）是线段AB的中点，

得点A的坐标为（－a，2a－6）．

又∵点A在直线l1：

x－3y＋10＝0上，

故将A（－a，2a－6）代入直线l1的方程，

得－a－3（2a－6）＋10＝0，解得a＝4.

∴点B的坐标是（4，0）．

因此，过P（0，1），B（4，0）的直线l的方程为＋＝1，

即x＋4y－4＝0.