高中数学北师大版教学设计必修一23函数的单调性Word文档下载推荐.docx
《高中数学北师大版教学设计必修一23函数的单调性Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学北师大版教学设计必修一23函数的单调性Word文档下载推荐.docx（13页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
44.2%
35.8%
33.7%
27.8%
25.4%
21.1%
观察这些数据，可以看出：
记忆量y是时间间隔t的函数．当自变量（时间间隔t）逐渐增大时，你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗？
描出这个函数图像的草图（这就是著名的艾宾浩斯曲线）．从左向右看，图像是上升的还是下降的？
你能用数学符号来刻画吗？
通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？
（可以借助信息技术画图像）
学生：
先思考或讨论，回答：
记忆量y随时间间隔t的增大而增大；
以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示．
图1
遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律．随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆．教师提示、点拨，并引出本节课题．
推进新课
①如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什么变化规律？
这反映了相应的函数值的哪些变化规律？
图2
②函数图像上任意点P（x，y）的坐标有什么意义？
③如何理解图像是上升的？
④对于二次函数y＝x2，列出x，y的对应值表（如下表）．完成下表并体会图像在y轴右侧上升．
x
…
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
f（x）＝x2
⑤在数学上规定：
函数y＝x2在区间（0，＋∞）上是增函数．谁能给出增函数的定义？
⑥增函数的定义中，把“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”改为“当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2）”，这样行吗？
⑦增函数的定义中，“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”反映了函数值有什么变化趋势？
⑧增函数的几何意义是什么？
⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？
⑩函数y＝f（x）在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f（x）在区间D上的图像有什么变化趋势？
讨论结果：
①函数y＝x的图像，从左向右看是上升的；
函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；
函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的．
②函数图像上任意点P的坐标（x，y）的意义：
横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小．
③按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大．图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大．也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大．
④在区间（0，＋∞）上，任取x1，x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f（x1）＜f（x2）．这样可以体会用数学符号来刻画图像上升．
⑤一般地，设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数．
⑥可以．增函数的定义：
由于当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），即都是相同的不等号“＜”，也就是说前面是“＜”，后面也是“＜”，步调一致；
“当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2）”都是相同的不等号“＞”，也就是说前面是“＞”，后面也是“＞”，步调一致．因此我们可以简称为：
步调一致增函数．
⑦函数值随着自变量的增大而增大．
⑧从左向右看，图像是上升的．
⑨一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．简称为：
步调不一致减函数．减函数的几何意义：
从左向右看，图像是下降的．函数值变化趋势：
函数值随着自变量的增大而减小．总结：
如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数（或减函数），那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫作y＝f（x）的单调递增（或减）区间．
⑩函数y＝f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小），几何意义：
从左向右看，图像是上升（下降）的．
思路1
例1说出函数f（x）＝
的单调区间，并指明在该区间上的单调性．
活动：
学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间．
解：
（－∞，0）和（0，＋∞）都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f（x）＝
是减少的．
点评：
本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性．图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题．如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性．函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性．
图像法求函数单调区间的步骤是：
第一步，画函数的图像；
第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间．
变式训练
图3是定义在区间上的函数y＝f（x）的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
图3
教师提示利用函数单调性的几何意义．学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生．图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数．
函数y＝f（x）的单调区间是．其中函数y＝f（x）在区间上是增函数.
例2画出函数f（x）＝3x＋2的图像，判断它的单调性，并加以证明．
学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤．
图4
作出f（x）＝3x＋2的图像（如图4）．由图看出函数的图像在R上是上升的，函数是R上的增函数．
下面进行证明：
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0.
所以f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）．
由单调函数的定义，可知函数f（x）＝3x＋2是R上的增函数．
本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性．
定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：
第一步，在所给的区间上任取两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；
第二步，比较f（x1）和f（x2）的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；
第三步，再归纳结论．定义法的步骤可以总结为：
一“取（去）”、二“比”、三“再（赛）”，因此简称为“去比赛”．
1．证明函数y＝
在区间上是单调递减的．
证明：
设x1、x2是区间上任意两个值，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
由2≤x1＜x2≤6，所以x2－x1＞0，（x1－1）（x2－1）＞0.
所以
＞0.
于是f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．
所以函数y＝
2．画出函数y＝－2x＋1的图像，判断它的单调性，并加以证明．
作出函数y＝－2x＋1的图像（如图5）．
由图5可以看出函数y＝－2x＋1的图像在R上是下降的，即函数是R上的减函数．
图5
设x1、x2是R上任意两个值，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝（－2x1＋1）－（－2x2＋1）＝－2（x1－x2），
因为x1＜x2，
所以x1－x2＜0，－2（x1－x2）＞0.
所以函数y＝－2x＋1在R上是减函数.
思路2
例1
（1）画出已知函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图像；
（2）证明函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间（－∞，1]上是增函数；
（3）当函数f（x）在区间（－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围．
（1）函数f（x）＝－x2＋2x＋3的图像如图6所示．
图6
（2）设x1、x2∈（－∞，1]，且x1＜x2，则有
f（x1）－f（x2）＝（－x
＋2x1＋3）－（－x
＋2x2＋3）
＝（x
－x
）＋2（x1－x2）
＝（x1－x2）（2－x1－x2）．
∵x1、x2∈（－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2.
∴2－x1－x2＞0.∴f（x1）－f（x2）＜0.∴f（x1）＜f（x2）．
∴函数f（x）＝－x2＋2x＋3在区间（－∞，1]上是增函数．
（3）函数f（x）＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间（－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m的取值范围是（－∞，1]．
本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其应用．讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图像的特点来分析；
二次函数在对称轴两侧的单调性相反；
二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内．
判断函数单调性时，通常先画出其图像，由图像观察出单调区间，最后用单调性的定义证明．
判断函数单调性的三部曲：
第一步，画出函数的图像，观察图像，描述函数值的变化趋势；
第二步，结合图像来发现函数的单调区间；
第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论．
函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一．因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性．函数的单调性与函数的值域、不等式等知识联系极为密切，是高考命题的热点题型．
已知函数f（x）是R上的增函数，设F（x）＝f（x）－f（a－x）．
（1）用函数单调性定义证明F（x）是R上的增函数；
（2）证明函数y＝F（x）的图像关于点
成中心对称图形．
（1）本题中的函数解析式不明确即为抽象函数，用定义法证明；
（2）证明函数y＝F（x）的图像上的任意点关于点
的对称点还是在函数y＝F（x）的图像上即可．
（1）设x1、x2∈R，且x1＜x2.则
F（x1）－F（x2）＝－
＝＋．
又∵函数f（x）是R上的增函数，x1＜x2，∴a－x2＜a－x1.
∴f（x1）＜f（x2），f（a－x2）＜f（a－x1）．
∴＋＜0.
∴F（x1）＜F（x2）．
∴F（x）是R上的增函数．
（2）设点M（x0，F（x0））是函数F（x）图像上任意一点，则点M（x0，F（x0））关于点
的对称点M′（a－x0，－F（x0））．
又∵F（a－x0）＝f（a－x0）－f（a－（a－x0））
＝f（a－x0）－f（x0）＝－
＝－F（x0），
∴点M′（a－x0，－F（x0））也在函数F（x）图像上，
又∵点M（x0，F（x0））是函数F（x）图像上任意一点，
∴函数y＝F（x）的图像关于点
成中心对称图形.
例2
（1）写出函数y＝x2－2x的单调区间及其图像的对称轴，观察：
在函数图像对称轴两侧的单调性有什么特点？
（2）写出函数y＝|x|的单调区间及其图像的对称轴，观察：
（3）定义在上的函数y＝f（x）的图像关于直线x＝2对称，y＝f（x）的部分图像如图7所示，请补全函数y＝f（x）的图像，并写出其单调区间，观察：
图7
（4）由以上你发现了什么结论？
试加以证明．
学生先思考，再回答，教师适时点拨和提示：
（1）画出二次函数y＝x2－2x的图像，借助于图像解决；
（2）类似于
（1）；
（3）根据轴对称的含义补全函数的图像，也是借助于图像写出单调区间；
（4）归纳函数对称轴两侧对称区间上的单调性的异同来发现结论，利用轴对称的定义证明．
（1）函数y＝x2－2x的单调递减区间是（－∞，1），单调递增区间是（1，＋∞）；
对称轴是直线x＝1；
区间（－∞，1）和区间（1，＋∞）关于直线x＝1对称，而单调性相反．
（2）函数y＝|x|的单调递减区间是（－∞，0），单调递增区间是（0，＋∞）；
对称轴是y轴即直线x＝0；
区间（－∞，0）和区间（0，＋∞）关于直线x＝0对称，而单调性相反．
（3）函数y＝f（x），x∈的图像如图8.
函数y＝f（x）的单调递增区间是，；
单调递减区间是，；
区间和区间关于直线x＝2对称，而单调性相反，区间和区间关于直线x＝2对称，而单调性相反．
图8
（4）可以发现结论：
如果函数y＝f（x）的图像关于直线x＝m对称，那么函数y＝f（x）在直线x＝m两侧对称单调区间内具有相反的单调性．证明如下：
不妨设函数y＝f（x）在对称轴直线x＝m的右侧一个区间上是增函数，区间关于直线x＝m的对称区间是．
由于函数y＝f（x）的图像关于直线x＝m对称，则f（x）＝f（2m－x）．
设2m－b≤x1＜x2≤2m－a，则b≥2m－x1＞2m－x2≥a，
f（x1）－f（x2）＝f（2m－x1）－f（2m－x2）．
又∵函数y＝f（x）在上是增函数，∴f（2m－x1）－f（2m－x2）＞0.∴f（x1）－f（x2）＞0.∴f（x1）＞f（x2）．∴函数y＝f（x）在区间上是减函数．
∴当函数y＝f（x）在对称轴直线x＝m的右侧一个区间上是增函数时，其在关于直线x＝m的对称区间上是减函数，即单调性相反．
因此有结论：
如果函数y＝f（x）的图像关于直线x＝m对称，那么函数y＝f（x）在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性．
本题通过归纳——猜想——证明得到了正确的结论，这是我们认识世界发现问题的主要方法，这种方法的难点是猜想，突破路径是寻找共同的特征．本题作为结论记住，可以提高解题速度．图像类似于人的照片，看见人的照片就能估计这个人的身高、五官等特点，同样根据函数的图像也能观察出函数的性质特征．这需要有细致的观察能力．
函数y＝f（x）满足以下条件：
①定义域是R；
②图像关于直线x＝1对称；
③在区间
①正比例函数：
y＝kx（k≠0）
当k＞0时，函数y＝kx在定义域R上是增函数；
当k＜0时，函数y＝kx在定义域R上是减函数．
②反比例函数：
y＝
（k≠0）
当k＞0时，函数y＝
的单调递减区间是（－∞，0），（0，＋∞），不存在单调递增区间；
当k＜0时，函数y＝
的单调递增区间是（－∞，0），（0，＋∞），不存在单调递减区间．
③一次函数：
y＝kx＋b（k≠0）
当k＞0时，函数y＝kx＋b在定义域R上是增函数；
当k＜0时，函数y＝kx＋b在定义域R上是减函数．
④二次函数：
y＝ax2＋bx＋c（a≠0）
当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c的单调递减区间是
，单调递增区间是
；
当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c的单调递减区间是
以上基本初等函数的单调性作为结论记住，可以提高解题速度．
2．已知函数y＝kx＋2在R上是增函数，求实数k的取值范围．
答案：
k∈（0，＋∞）．
3．二次函数f（x）＝x2－2ax＋m在（－∞，2）上是减函数，在（2，＋∞）上是增函数，求实数a的值．
a＝2.
4．已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，若f（2a2＋a＋1）＜f（3a2－4a＋1）成立，则a的取值范围是__________．
解析：
∵f（x）的定义域是（0，＋∞），∴
解得a＜
或a＞1.
∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数，∴2a2＋a＋1＞3a2－4a＋1.∴a2－5a＜0.
∴0＜a＜5.∴0＜a＜
或1＜a＜5，即a的取值范围是
∪（1,5）．
∪（1,5）
本题实质是解不等式，但是这是一个不具体的不等式，是抽象不等式．解与函数有关的抽象不等式时，常用的技巧是利用函数的单调性“剥掉外衣”，转化为整式不等式．
问题：
1．画出函数y＝
的图像，结合图像探讨下列说法是否正确．
（1）函数y＝
是减函数；
（2）函数y＝
的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．
2．对函数y＝
，取x1＝－1＜x2＝2，则f（x1）＝－1＜f（x2）＝
，满足当x1＜x2时f（x1）＜f（x2），说函数y＝
在定义域上是增函数对吗？
为什么？
3．通过上面两道题，你对函数的单调性定义有什么新的理解？
解答：
1.
（1）是错误的，从左向右看，函数y＝
的图像不是下降的．
（2）是错误的，函数y＝
的单调递减区间是（－∞，0），（0，＋∞）．在定义域（－∞，0）∪（0，＋∞）上函数y＝
的图像，从左向右看不是下降的，因此这是错误的．
2．不对．这个过程看似是定义法，实质上不是．定义中x1、x2是在某区间内任意取的两个值，不能用特殊值来代替．
3．函数单调性定义中的x1、x2必须是任意的，应用单调性定义解决问题时，要注意保持其任意性．
函数的单调性反映了函数在其定义域的子集上的性质，是函数的“局部性质”；
函数y＝f（x）在区间（a，b）和（b，c）上均是增（减）函数，那么在区间（a，b）∪（b，c）上的单调性不能确定．
本节学习了：
①函数的单调性；
②判断函数单调性的方法：
定义法和图像法．
习题2—3A组3、4、5.
“函数单调性”是一个重要的数学概念，以往的教学方法一般是由教师讲解为主，在单调性的定义教学中，往往缺少从定性的描述到定量表示的思维过程，即缺少“意义建构”．本设计致力于展示概念是如何生成的．在概念的发生、发展中，通过层层设问，调动学生的思维，突出培养了学生的思维能力，体现了教师是用教材教，而不是教教材．
本节课采用教师启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．考虑到部分学生数学基础较好、思维较为活跃的特点，对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究函数单调性埋下伏笔.
判断下列说法是否正确：
①已知f（x）＝
，因为f（－1）＜f
（2），所以函数f（x）是增函数．
②若函数f（x）满足f
（2）＜f（3），则函数f（x）在区间上为增函数．
③若函数f（x）在区间（1,2]和（2,3）上均为增函数，则函数f（x）在区间（1,3）上为增函数．
④因为函数f（x）＝
在区间（－∞，0）和（0，＋∞）上都是减函数，所以f（x）＝
在（－∞，0）∪（0，＋∞）上是减函数．
教师强调以下三点后，让学生判断．
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．
②有的函数在整个定义域内单调（如一次函数），有的函数只在定义域内的某些区间单调（如二次函数），有的函数根本没有单调区间（如常函数）．
③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在A∪B上是增（或减）函数．
这四个判断都是错误的．
思考：
如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？
证明一个命题成立时，需要有严格的逻辑推理过程，而否定一个命题只需举一个反例即可．也就是说，只要找到两个特殊的自变量不符合定义就行．
（设计者：
张建国）
升级会员 