层次分析法例题文档格式.doc

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可以通过两两因素的比较，建立判断矩阵，再求出其特征向量就可确定哪个因素最重要。

依此类推，如果n个物品代表n个方案，按照这种方法，就可以确定哪个方案最有价值。

◆应用层次分析法进行系统评价的主要步骤如下：

（1）将复杂问题所涉及的因素分成若干层次，建立多级递阶的层次结构模型（目标层、判断层、方案层）。

（2）标度及描述。

同一层次任意两因素进行重要性比较时，对它们的重要性之比做出判断，给予量化。

（3）对同属一层次的各要素以上一级的要素为准则进行两两比较，根据评价尺度确定其相对重要度，据此构建判断矩阵A。

（4）计算判断矩阵的特征向量，以此确定各层要素的相对重要度（权重）。

（5）最后通过综合重要度（权重）的计算，按照最大权重原则，确定最优方案。

★例题：

某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。

以A表示系统的总目标，判断层中表示功能，表示价格，表示可维护性。

，，表示备选的3种品牌的设备。

购买设备A

功能B1

价格B2

维护性B3

产品C1

产品C2

产品C3

目标层

判断层

方案层

图设备采购层次结构图

解题步骤：

1、标度及描述

人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：

同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

标度

定义（比较因素i与j）

1

因素i与j同样重要

3

因素i与j稍微重要

5

因素i与j较强重要

7

因素i与j强烈重要

9

因素i与j绝对重要

2、4、6、8

两个相邻判断因素的中间值

倒数

因素i与j比较得判断矩阵aij，则因素j与i相比的判断为aji=1/aij

注：

aij表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系：

aij=1/aji；

aii=1；

i，j=1，2，…，n

显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。

2、构建判断矩阵A

判断矩阵是层次分析法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。

根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：

●判断矩阵（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较）如表1所示；

●判断矩阵（相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；

●判断矩阵（相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示；

●判断矩阵（相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所

示。

表1判断矩阵

1/3

2

1/2

1/5

表2判断矩阵

l/3

表3判断矩阵B2-C

1/7

表4判断矩阵

l/7

1/9

3、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标

一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。

●求和法

1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）：

bij=aij/Σaij；

2）将归一化的矩阵按行求和：

ci=Σbij（i=1，2，3….n）；

3）将ci归一化：

得到特征向量W=（w1，w2，…wn）T，wi=ci/Σci，

W即为A的特征向量的近似值；

4）求特征向量W对应的最大特征值：

●求根法

1）计算判断矩阵A每行元素乘积的n次方根；

（i=1,2,…,n）

2）将归一化，得到；

W=（w1，w2，…wn）T即为A的特征向量的近似值；

3）求特征向量W对应的最大特征值：

（1）判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验

①计算矩阵的特征向量。

计算判断矩阵各行元素的乘积，并求其次方根，如，，类似地有，，。

对向量规范化，有

类似地有，。

所求得的特征向量即为：

②计算矩阵的特征根

类似地可以得到，。

按照公式计算判断矩阵最大特征根：

③一致性检验。

实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。

如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C3更重要。

如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。

这就需要进行一致性检验。

根据层次法原理，利用A的理论最大特征值λmax与n之差检验一致性。

一致性指标：

计算<

0.1，，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知，（一般认为CI<

0.1、CR<

0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）。

表5平均随机一致性指标

阶数

4

6

8

10

11

12

13

14

RI

0.58

0.89

1.12

1.26

1.36

1.41

1.46

1.49

1.52

1.54

1.56

1.58

（2）判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第

（1）步的计算过程，可以得到矩阵的特征根、特征向量与一致性检验如下：

，，

（3）判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验

类似于第

（1）步的计算过程，可以得到矩阵刀：

—C的特征根、特征向量与一致性检验如下：

（4）判断矩阵的特征根、特征向量与一致性检验

4、层次总排序

获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。

设二级共有m个要素c1,c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1,w2,…,wm；

她的下一层次三级有p1,p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：

方案C1的重要度（权重）=0.230×

0.105+0.648×

0.529+0.122×

0.149=0.426

方案C2的重要度（权重）=0.230×

0.258+0.648×

0.333+0.122×

0.066=0.283

方案C3的重要度（权重）=0.230×

0.637+0.648×

0.075+0.122×

0.785=0.291

依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。

层次总排序如表6所示。

表6层次总排序

层次

层次C

总排序权重

0.230

0.648

0.122

0.105

0.592

0.149

0.426

0.258

0.333

0.066

0.283

0.637

0.075

0.785

0.291

5、结论

由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为：

，，，且品牌1明显优于其他两种品牌的设备。

作业：

某配送中心的设计中要对某类物流装备进行决策，现初步选定三种设备配套方案，应用层次分析法对优先考虑的方案进行排序。

解：

对设备方案的判断主要可以从设备的功能、成本、维护性三方面进行评价。

当然，如何评价功能、维护性等，还会用更细一级的指标来衡量。

这里为分析的简便，省略了更详细的指标。

这样，可建立对设备方案进行比较的层次分析结构图，如图：

根据以往经验和相关调查结果显示：

相关指标两两比较的结果如下

重要度