数阵问题专项练习30题Word格式.docx

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20．将1至6六个数填入下图所示球体的圈内，使球体的各个大圆上每四个数的和都相等．

21．在右面□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻．

22．将1至8八个数分别填入圈内，使每个大圆上五个数的和分别为20、21或22，一共各有几组填法？

23．将1、4、7、10、13、16、19、22八个数分别填入圈内；

如果正方形每条边上的三个数的和都相等，那么四个角上四个数的和最小是多少？

24．将1～12填入下图的空格中，使每个圆内的四个数的和都等于25．

25．把1﹣﹣7这七个自然数分别填入下圆圈里，使每条线上的三个数的和相等．

26．将1～8八个数分别填入下图的圈内，使三个大圆上的四个数的和都相等．这个和最大可以是多少？

最小必须是多少？

27．10个连续的自然数中第三个的数是9，把这10个数填入图中的10个方格内，每格填一个数，要求图中3个2×

2的正方形中4个数之和相等，那么这个和最小值是　_________　．

28．把1～16这16个数，填入图中的16个○内，使五个正方形的四个顶点上○内数的和相等．

29．如图中有大、中、小三个正方形，组成了八个三角形．现在把1，2，3，4分别填在大正方形的四个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的四个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的四个顶点上．

（1）能不能使八个三角形顶点上数字之和都相等？

（如果能，请画草图填出；

如不能，请说明理由）

（2）能不能使八个三角形顶点上数字之和各不相同？

30．10棵树栽5行，每行栽4棵，你能设计出怎样栽吗？

（用△代表树画一画．）

参考答案：

1．

分析：

根据题意，每个小三角形三个顶点上的数之和相等，这6个质数都是一样的，但是没有6个相同的质数和是20；

把中间的单独看作一个与其它5个质数不一样的质数；

因为3×

5+5=20；

也就是20=3+3+3+3+3+5；

然后再进一步解答即可．

解答：

解：

根据题意可得：

20=3+3+3+3+3+5；

所以，可得：

这6个质数的积是：

3×

5=1215．

2．

首先设三个顶点处的三个数分别为a、b、c，在运算中都加了2次，所以1+2++3+4+5+6+7+8+9+a+b+c=45+a+b+c一定是3的倍数，进一步得出a+b+c也是3的倍数，三个数的和可以是6，9，12，15，18，由此进一步分析得出答案：

①当a+b+c=6时，每一条边上的和为（45+6）÷

3=17，答案如图①．

②当a+b+c=9时，每一条边上的和为（45+9）÷

3=18，经计算找不出结论．

③当a+b+c=12时，每一条边上的和为（45+12）÷

3=19，答案如图②．

④当a+b+c=15时，每一条边上的和为（45+15）÷

3=20，经计算找不出结论．

⑤当a+b+c=18时，每一条边上的和为（45+18）÷

3=21，答案如图③．

由以上分析可得，符合的有三种情况，答案如下：

3．

由于将1、2、3、4、5、6、7、8分别填入图中8个空格内，由于左边的运算既有除法，也有乘法，又因为8和6的约数不止一个，所以可以确定左上角和右下角的数字一个应该是8和6，然后根据图中的运算即可确定其他数字．

①从左上角为6开始，6﹣5=1，1+7=8，8=2×

4，6÷

3=2；

②从左上角为8开始，8﹣7=1，1+5=6，6=3×

2，8÷

4=2．

这样，就完成了填图．

根据分析答案如下图：

4．

根据题意，先求出每条线段三个数和及四个顶点的和，再根据题意解答．

根据题意，1～9的和是：

1+2+3+…+8+9=45，有两种配对方式，第一种是：

（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5；

（1、8），（2、7），（3、6），（4、5），9；

根据配对，假设中间的数字是5，那么四个顶点的和是：

（45﹣5）÷

2=20，每条线段三个数和也为20，20﹣5=15，只有7+8=15，9+6=15，只有两组，与题意不符；

假设中间的数字是9，那么四个顶点的和是：

（45﹣9）÷

2=18，每条线段三个数和也为18；

根据配对，尝试可以得出答案：

5．

1+2+3+4+5+6+7+8=36．

①20+20﹣36=4，也就是公共部分两个数的和应该是4，所以中间的两个数应填1和3，左右两边三个数的和相等且为20﹣4=16，左面可填2、6、8，右面可填4、5、7；

②21+21﹣36=6，也就是公共部分两个数的和应该，6，所以中间的两个数应填2和4或1和5，左右两边三个数的和相等且为21﹣6=15，中间的两个数填2和4时，左面可填1、6、8，右面可填3、5、7，中间的两个数填1和5时，左面可填3、4、8，右面可填2、6、7；

③22+22﹣36=8，也就是公共部分两个数的和应该，8，所以中间的两个数应填1和7、2和6或3和5（有三种填法），左右两边三个数的和相等且为22﹣8=14，以中间的两个数填1和7为例，左面可填2、4、8，右面可填3、5、6．

根据分析，数字填法如下图：

6．

1+2+3+…+12=78，使每条线段上四个数的和相等为78÷

3=26，两个同心圆上的数的和也相等为78÷

2=39，

1+12+5+8=26，9+4+10+3=26，2+6+7+11=26，1+7+3+8+11+9=39，2+4+5+6+10+12=39，符合题意．

由分析答案如下：

7．

假设中间○内填入的数是a，每条虚线上三个○内数的和是k，则有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+4a=5k，66+4a=5k：

当a=1时，k=（66+4）÷

5=14；

当a=2、3、4、5、时，k不是整数，无解；

当a=6时，k=（66+24）÷

5=18；

当a=7、8、9、10时，k不是整数，无解；

当a=11时，k=（66+44）÷

5=22；

即可得解．一共有3种不同的和．

把1～11这11个数分别填入如下图11个○内，使每条虚线上三个○内数的和相等，一共有3种不同的和.14、18、22，如下图所示：

8．

此图可看作由两个三角形组成，先看尖向上的三角形，把1、2和10写在顶点上．其中一条边，1+10=11，那么另外两个空的和为26﹣11=15，因为10用过了，所以只能填7和8；

另一条边10+2=12，另外两个空的和为26﹣12=14，所以只能是9和5；

再看底边，1+2=3，所以另外两个空只能是11+12=23．这样就还剩下尖向下的三角形三个顶点上的数字，先看底边，7+9=16，那么另外两个空为4和6，最后一个顶点就为3．

答案如图，

9．

把1～10填入图中，使五条边上三个○内的数的和相等．五条边上三个○内的数的总和是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+（a+b+c+d+e）=55+（a+b+c+d+e），a、b、c、d、e是在五条边交点上，重复加两遍的数字，很明显，每条边上的数字和是11+＞11，所以，重复的数字应为大数，探究一下，把1、2、3、4、5放在中间，10放在1所在边上，（6+7+8+9+10）÷

5=40÷

5=8，8也在1、10边上，相应其他边为（10、2、7），（7、3、9），（9、4、6，），（6、5、8）每条边上的和为19，如下图：

如图：

10．

根据题意，可得1～9九个数的和是：

1+2+3+…+8+9=45，根据图，最大的正方形与斜着的正方形再加上中间的圈的数的和是45，根据配对，可知5不能配对，（45﹣5）÷

2=20，每个正方形角上的四个数的和是20，再根据题意解答即可．

根据题意，1～9九个数的和是：

1+2+3+…+8+9=45，前后数配对可得，（1、9），（2、8），（3、7），（4、6），5

由分析可得，每个正方形角上的四个数的和是：

2=20；

根据配对，中间一个数字是5，经过尝试，可得如下答案：

11．

根据题意，设中间的圆圈中的数是A，那么每条线段上三个圆圈内的数相加的和都等于18，也就是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×

5，然后再进一步解答即可．

设中间的圆圈中的数是A；

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+A+A+A+A=18×

5，

66+4A=90，

4A=24，

A=6；

那么每条线段剩下的两个数的和是：

18﹣6=12；

又因为，1+11=12，2+10=12，3+9=12，4+8=12，5+7=12；

分别放到每条线段剩下的两个圆圈中；

由以上可得：

．

12．　

402﹣95﹣97=210，只有104+106=210，可以先确定这两个空，402﹣96﹣104=202，103+99=202；

402﹣96﹣106=200，102+98=200；

402﹣97﹣99=206，105+101=206；

402﹣95﹣102﹣105=100；

正好把98、99、100、101、102、103、104、105、106全部填入．

13．

根据题干，可以看出有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈处于一条直线上，要想利用“重数”的分析法，有很大的困难，通过分析不难看出有一个圆圈的位置特殊，即A圆圈，除去这个圆圈，剩下的8个圆圈正好组成3行，从它出发就能找到答案．

如下：

除去A圆圈的数字，剩下的8个圆圈恰好组成三行，

那么每条直线上所填数字之和为：

1+2+3+4+5+6+7+8+9﹣A=3K，

所以A一定是3的倍数，

也就是说A一定是3或6或9，那么K的值可能是14或13或12，

如果A=9，那么右下角圈内只能填1或2，此时右下角的数字至少为10，显然不符合题意．

如果A=6，那么每条直线上圈内数之和K=13，而在下图中可以得出B=C+6（比较法），

因此D+6+B=C+D+12=13，显然这是错误的．

所以只要当A=3时可以得出正确答案如下图：

所以K=14．

答：

K的值是14．

14．

假设中间的数是a，每条线段上四个○内数的和相等为k，则有：

1+2+3+…+10+2a=3k，55+2a=3k，

当a=1时，k=57÷

3=19，1+2+6+10=19，1+7+8+3=19，1+9+4+5=19，每个三角形三个顶点上○内数的和也相等，2+7+9=18，

4+6+8=18，5+3+10=18．符合题意．

15．

把1﹣49这49个数字放入一个7×

7的矩阵中，使每行、每列及对角线上的七个数字之和相等，即构造一个7阶幻方．对所有奇数阶幻方的构造，都可以采取“连续摆数法”（猴子跳楼），其法则如下：

把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方．

这个幻方如下：

16．

将，，，，，，九个数分别化为分母是12的分数，得到分子分别为6、4、3、2、8、9、1、5、7，而用这连续9个数组成的幻方是熟知的，如下图：

再将图中的每个数除以12就是所求．

答案如下图：

17．

每行每列的棋子总数是偶数，那么每行和每列的棋子数可能是2个或者4，一共有4行，那么每行的数量分别是：

2、2、4、4；

一共有5列，所以一列的数量分别是：

2，2，2，2；

先确定第一列的两个棋子的位置，然后根据每行和每列的棋子数填入方格中．

○代表棋子，可以这样填：

答案不唯一．

18．

我们可以利用两种方法解答：

（1）幻和法：

先根据幻和求出中心数：

18÷

3=6；

剩余的每两个数的和是18﹣6=12；

由12=2+10=3+9=4+8=5+6；

调整每一对数的位置填入表格即可．

（2）罗伯法：

①居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框界往下写，右出框时左边放，重复便在下格填，出角重复一个样．②在第一行居中的方格内放2，依次向右上方填入3、4、5…；

③如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；

④如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；

⑤如果右上方已有数字和出了对角线，则向下移一格继续填写．3阶幻方不止这一种填法，只要将2（开始的数）放于四个边格的正中，向幻方外侧依次斜填其余数字；

若出边，将数字另放一侧；

若目标格已有数字或出角，回一步填写数字，再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字（详见下图按线放法）．

根据分析填图如下：

19．

不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入，8m=60，60不能被8整除，因此得解．

假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：

8m=（1+2+3+4）×

（1+3+2），

8m=60，

60不能被8整除，所以m不存在，假设错误．

即不能使8个三角形顶点上数字之和相等．

不能使8个三角形顶点上数字之和相等．

20．

根据图，先求出各个大圆上每四个数的和，再根据题意进一步解答即可．

由图可知，这个球体由三个大圆，把这三个大圆的每四个数加起来，正好是1至6六个数加了两次，那么每个大圆四个数的和是：

2×

（1+2+3+4+5+6）÷

3=14，将1到刘分为，（1、6）（2、5）（3、4）；

根据尝试可以得出答案．

21．　

要使□里填上1﹣8这8个数字，这8个数字使连线的两个□里的数字不相邻，中间的两个“□”里必然填入两头的数，可把最中间的填入1，中间下面的填入8，“1”的左右分别填入3、4，“8”的左右分别填入5、6，最上面的填入7，这样就完成了填空．

根据分析填空如下图：

22．

设两圈相交部分的两个数分别为a和b，每个圆上五数之和为k．根据题意，可得：

1+2+3+…+8+a+b=2k，36+a+b=2k，把k=20、21或22代入，即可求出a+b的值，即可确定a、b的值．

1+2+3++8+a+b=2k，

36+a+b=2k；

（1）如果k=20，则a+b=4，4=1+3，一组填法．

（2）如果k=21，则a+b=6，6=1+5；

6=2+4，两组填法．

（3）如果k=22，则a+b=8，8=1+7；

8=2+6；

8=3+5，三组填法．

23．

因为1+4+7+10+13+16+19+22=92，设正方形四个角上四个数分别为a、b、c、d．因为a、b、c、d被加了两次，所以可设92+a+b+c+d=4k．a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28．

根据92+a+b+c+d=4k，a+b+c+d取最小值为1+4+7+10=22，92+22=114，114不是4的倍数，

又因为每两个数之间相差3，符合以上条件的最小值为120，则四个数的和就是120﹣92=28，1+7+16+4=28．

答案如下：

24．

假设中间两圆交叉处的数是a、b、c、d，则有1+2+3+…+12+a+b+c+d=25×

4，

78+a+b+C+d=100，

a+b+c+d=22，8+7+2+5=22，9+7+8+1=25，10+7+5+3=25，4+8+2+11=25，6+2+5+12=25；

25．

假设中间的数字是a，每条直线上的三个数的和都相等是m，列出等式，凑数，即可得解．

1+2+3+4+5+6+7+2a=3m，

28+2a=3m，

m=（28+2a）÷

3，

a和m都必须是整数，把a从1～7这个代入，m是整数的即为解，

a=1，m=10；

2+7+1=3+6+1=4+5+1=10；

a=4，m=12；

4+7+1=2+4+6=3+4+5=12；

a=7，m=14；

1+6+7=2+5+7=3+4+7=14；

如下图所示：

26．

要使和最小，重复数字尽可能要小．因为：

1+2+3+…+8+a+a+b+c=3k（a、b、c为重复的数字，k为大圆上的四个数的和），也就是36+2a+b+c=3k，所以2a+b+c的和应是3的倍数，且尽可能小，只有1+1+3+4=9能被3整除且最小，36+9=3k，k=45÷

3=15；

同样，要使和最大，则考虑重复数字尽可能大，只有8+8+7+4=27能被3整除且最大，36+27=3k，k=63÷

3=21．

根据分析：

这个和最大可以是21；

最小必须是15．

填法如下图：

27．

10个连续的自然数中第三个的数是9，说明这10个数是7、8、9、10、11、12、13、14、15、16，假设中间的两个方格的数是a、b，3个2×

2的正方形中4个数之和为k，则有：

7+8+9+…+16+a+b=3k，

115+a+b=3k，

38+=k，

a+b+1必须是3的倍数，当a+b+1=7+10+1=18，或者a+b+1=8+9+1=18时，k最小=38+6=44．

28．

因为1+2+…+16=（1+16）×

（16÷

2）=136，136÷

4=34，所以每个正方形内的数的和为34，然后组出4组和为34的4个数，再从每组选出一个能组成和为34的数填入中间的正方形，又因为1+16=17、2+15=17、3+14=17、4+13=17、5+12=17、6+11=17、7+10=17、8+9=17，所以可以把它们两两相组填入图中，同时注意中间的四个数的和为34即可．

29．　

（1）不能，我们把8个三角形顶点的数字加起来，假设相等是m，则8m=大正方形的数字和+3遍中正方形的数字和+2遍小正方形的顶点数字和，各个正方形的数字和都是1+2+3+4=10，代入可得8m=60，60不能被8整除，因此得解．

（2）由于每个三角形顶点上数字之和最小可能是1+1+2=4，最大可能是4+4+3=11，故可能使八个三角形顶点上数字之和各不相同．

（1）假设三角形的顶点数字和相等是m，则有：

（2）如图所示：

30．

10棵树栽5行，每行栽4棵，必然有几棵树会处在多行列中，再从10和5的角度出发，寻求突破．组成五星的线有5条，在5个角上各栽一棵树，交叉点各栽一棵树，就完成了设计．