10届全国高中数学联赛试题及答案Word文档下载推荐.docx
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(20分)已知抛物线上的两个动点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值.11.
(20分)证明:
方程恰有一个实数根,且存在唯一的严格递增正整数数列,使得.解答
1.提示:
易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知的值域为.2.提示:
令,则原函数化为,即.由,,及知即.
(1)当时
(1)总成立;
对;
对.从而可知.3.9800提示:
由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,从而在轴上方区域内部整点的个数为.又轴上有98个整点,所以所求整点的个数为.4.提示:
设的公差为的公比为,则
(1),
(2)
(1)代入
(2)得,求得.从而有对一切正整数都成立,即对一切正整数都成立.从而,求得,.5.提示:
令则原函数化为,在上是递增的.当时,,,所以;
当时,,,所以.综上在上的最小值为.6.提示:
同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为,从而先投掷人的获胜概率为.7.提示:
解法一:
如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.设分别与平面、平面垂直的向量是、,则由此可设,所以,即.所以.解法二:
如图,.设与交于点则.从而平面.过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中,,即.又..8.336675提示:
首先易知的正整数解的个数为.把满足的正整数解分为三类:
(1)均相等的正整数解的个数显然为1;
(2)中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003;
(3)设两两均不相等的正整数解为.易知,所以,即.从而满足的正整数解的个数为.9.解法一:
由得.所以,所以.又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.解法二:
.设,则当时,.设,则..容易知道当时,.从而当时,,即,从而,,由知.又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.10.解法一:
设线段的中点为,则,.线段的垂直平分线的方程是.
(1)易知是
(1)的一个解,所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.由
(1)知直线的方程为,即.
(2)代入得,即.
(3)依题意,是方程
(3)的两个实根,且,所以,..定点到线段的距离..当且仅当,即,或时等号成立.所以,面积的最大值为.解法二:
同解法一,线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为.设,则的绝对值,,所以,当且仅当且,即,或时等号成立.所以,面积的最大值是.11.令,则,所以是严格递增的.又,故有唯一实数根.所以,.故数列是满足题设要求的数列.若存在两个不同的正整数数列和满足,去掉上面等式两边相同的项,有,这里,所有的与都是不同的.不妨设,则,,矛盾.故满足题设的数列是唯一的.加试
1.
(40分)如图,锐角三角形ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:
若OK⊥MN,则A,B,D,C四点共圆.
2.
(40分)设k是给定的正整数,.记,.证明:
存在正整数m,使得为一个整数.这里,表示不小于实数x的最小整数,例如:
,.
3.
(50分)给定整数,设正实数满足,记.求证:
.
4.(50分)一种密码锁的密码设置是在正n边形的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问:
该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
解答
1.用反证法.若A,B,D,C不四点共圆,设三角形ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.因为P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O),同理,所以,故⊥.由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是.①由梅内劳斯(Menelaus)定理,得,②.③由①,②,③可得,所以,故△DMN∽△DCB,于是,所以BC∥MN,故OK⊥BC,即K为BC的中点,矛盾!
从而四点共圆.注1:
“P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O)”的证明:
延长PK至点F,使得,④则P,E,F,A四点共圆,故,从而E,C,F,K四点共圆,于是,⑤⑤-④,得P的幂(关于⊙O)K的幂(关于⊙O).注2:
若点E在线段AD的延长线上,完全类似.
2.记表示正整数n所含的2的幂次.则当时,为整数.下面我们对用数学归纳法.当时,k为奇数,为偶数,此时为整数.假设命题对成立.对于,设k的二进制表示具有形式,这里,或者1,.于是,①这里.显然中所含的2的幂次为.故由归纳假设知,经过f的v次迭代得到整数,由①知,是一个整数,这就完成了归纳证明.
3.由知,对,有.注意到当时,有,于是对,有,故.
4.对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上a,如果颜色不同,则标上b,如果数字和颜色都相同,则标上c.于是对于给定的点上的设置(共有4种),按照边上的字母可以依次确定点上的设置.为了使得最终回到时的设置与初始时相同,标有a和b的边都是偶数条.所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a,b,c,使得标有a和b的边都是偶数条的方法数的4倍.设标有a的边有条,,标有b的边有条,.选取条边标记a的有种方法,在余下的边中取出条边标记b的有种方法,其余的边标记c.由乘法原理,此时共有种标记方法.对i,j求和,密码锁的所有不同的密码设置方法数为.①这里我们约定.当n为奇数时,,此时.②代入①式中,得.当n为偶数时,若,则②式仍然成立;
若,则正n边形的所有边都标记a,此时只有一种标记方法.于是,当n为偶数时,所有不同的密码设置的方法数为.综上所述,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:
当n为奇数时有种;
当n为偶数时有种.