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扇2
=1lr（用弧度表示的）
2
5、三角函数:
（1）定义①：
设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P的坐标y
是（x,y），它与原点的距离是r（OP=r=>
0），P（x,y）
yxy
则sin=，cos=，tan=（x≠0）o
rrx
定义②：
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y），y
那么v叫做α的正弦，记作sinα,即sinα=y;
u叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=x;
当α的终边不在y轴上时，
yy
叫做α的正切，记作tanα,即tanα=.
xx
（2）三角函数值在各象限的符号：
口诀：
全正，S正，T正，C正。
P（x,y）
ox
sin
（3）特殊角的三角函数值
costan口诀：
第一象限全为正；
二正三切四余弦.
的角度
0︒
30︒
45︒
60︒
90︒
120︒
135︒
150︒
180︒
的弧度
6
4
3
2
3
5
22
32
cos
-1
-2
-3
tan
33
不存在
-
210︒
225︒
240︒
270︒
300︒
315︒
330︒
360︒
7
4
11
-1
（4）三角函数线：
如下图
（5）同角三角函数基本关系式
（１）平方关系：
sin2+cos2=1 （２）商数关系：
tan=sin
6、三角函数的诱导公式：
（1）sin（2k+）=sin，cos（2k+）=cos，tan（2k+）=tan（k∈Z）．口诀：
终边相同的角的同一三角函数值相等．
（2）sin（-）=-sin，cos（-）=cos，tan（-）=-tan．
（3）sin（-）=sin，cos（-）=-cos，tan（-）=-tan．
（4）sin（+）=-sin，cos（+）=-cos，tan（+）=tan．
（5）sin（2-）=-sin，cos（2-）=cos，tan（2-）=-tan．口诀：
函数名称不变，正负看象限．
6sin⎛⎫
⎛⎫
（）ç
2-⎪=cos，cosç
2-⎪=sin，tanç
2-⎪
=cot．
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
7sin⎛⎫
2+⎪=cos，cosç
2+⎪=-sin，tanç
2+⎪=-cot．
正弦与余弦互换，正负看象限．
诱导公式记忆口诀：
“奇变偶不变，符号看象限”。
即将括号里面的角拆成
=k⋅+的形式。
7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函数
y=sinx
y=cosx
y=tanx
图
象
定义域
值
域
R
⎧⎫
⎨xx≠k+2,k∈Z⎬
⎩⎭
值域：
[-1,1]
当x=2k+（k∈Z）时，
2
y=1；
当x=2k-
max2
（k∈Z）时，ymin=-1．
当x=2k（k∈Z）时，
ymax=1；
当x=2k+
R
既无最大值也无最小值
周期性
y=sinx是周期函数；
周期为
T=2k,k∈Z且k≠0；
最小正周期为2
y=cosx是周期函数；
周期
为T=2k,k∈Z且k≠0；
最小正周期为2
y=tanx是周期函数；
周
期为T=k,k∈Z且
k≠0；
最小正周期为
奇偶
性
奇函数
偶函数
单调性
⎡⎤
在2k-,2k+
⎣22⎦
（k∈Z）上是增函数；
在
⎢2k+,2k+3
（k∈Z）上是减函数．
在[2k-,2k]（k∈Z）上是增函数；
在[2k,2k+]
⎛⎫
在ç
k-,k+⎪
⎝22⎭
（k∈Z）上是增函数．
对称性
对称中心（k,0）（k∈Z）
对称轴x=k+（k∈Z）
对称中心
⎛k+0⎫（k∈Z）
ç
⎪
⎝2⎭
⎛k⎫
0⎪（k∈Z）
⎝2⎭
无对称轴
对称轴x=k（k∈Z）
8、
（1）y=Asin（x+）+b的图象与y=sinx图像的关系：
图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍
①振幅变换：
y=sinx
图象上每个点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变
y=Asinx
②周期变换：
y=sinxy=sinx
图象整体向左（>
0）或向右（<
0）平移个单位
③相位变换：
y=sinxy=sin（x+）
④平移变换：
y=Asin（x+）
图象整体向上（b>
0）或向下（b<
0）
y=Asin（x+）+b
函数y=sinx的图象怎样变换得到函数y=Asin（x+）+B的图象：
（两种方法）
①先平移后伸缩：
y=sinx平移||个单位y=sin（x+）
（左加右减）
纵坐标不变y=sin（x+）
横坐标变为原来的||倍
横坐标不变纵坐标变为原来的A倍
y=Asin（x+）
平移|B|个单位y=Asin（x+）+B
（上加下减）
①先伸缩后平移：
y=sinx纵坐标不变y=sinx
y=sin（x+）
（2）函数y=Asin（x+）+b（A>
0,>
0）的性质：
①振幅：
A；
②周期：
T=
；
③频率：
f=
1=
④相位：
x+；
⑤初相：
．
定义域：
[-A+b,A+b]
T2
当x+=2k+（k∈Z）时，ymax=A+b；
当x+=2k-（k∈Z）时，ymin=-A+b．
22
周期性：
函数y=Asin（x+）+b（A>
0）是周期函数；
周期为T=
单调性：
x+在
2k-
⎣
2k+
22⎦
（k∈Z）上时是增函数；
⎡3⎤
2k+
2k+2
（k∈Z）上时是减函数．
2⎦
⎛k-⎫
对称性：
对称中心为ç
0⎪（k∈Z）；
对称轴为x+=k+2（k∈Z）
第二章平面向量
1、向量定义：
既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．
2、零向量：
长度为0的向量叫零向量，记作0；
零向量的方向是任意的．
3、单位向量：
长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；
与向量a平行的单位向量：
e=±
．
|a|
4、平行向量（共线向量）：
方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作a//b；
规定0与任何向量平行．
5、相等向量：
长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.
注意：
任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：
首尾相接
⑵平行四边形法则的特点：
起点相同
⑶运算性质：
①交换律：
a+b=b+a；
②结合律：
（a+b）+c=a+（b+c）；
③a+0=0+a=a．
⑷坐标运算：
设a=（x,y），=（x,y），则
11b22
a+b=（x+x,y+y）．
1212
7、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：
共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：
=（x-x,y-y）．
b1212
设A、B两点的坐标分别为（x1,y1），（x2,y2），则
AB=（x2-x1,y2-y1．）
8、向量数乘运算：
⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．
①a=a；
②当>
0时，a的方向与a的方向相同；
当<
0时，a的方向与a的方向相反；
当
=0时，=．0
a
⑵运算律：
①（a）=（）a；
②（+）a=a+a；
③（a+
）=a+．
bb
⑶坐标运算：
设a=（x,y），则a=（x,y）=（x,y）．
9、向量共线定理：
向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a．
设a=（x,y），=（x,y），其中≠，则当且仅当xy-xy=0时，向量a、
11b22b0
1221
b（b≠0）共线．
10、平面向量基本定理：
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的
任意向量a，有且只有一对实数、，使a=+
．（不共线的向量、
作为这一平
12
面内所有向量的一组基底）
1e12e2e1e2
11、分点坐标公式：
设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是（x1,y1），（x2,y2），当
⎛ç
x1+x2
y1+y2⎫⎪
P1P=PP
2时，点P的坐标是
1+,
1+．
⎝⎭
12、平面向量的数量积：
⑴定义：
a⋅b=
abcos（a≠0,b≠0,0≤≤180）．零向量与任一向量的数量积为0．
⑵性质：
设a和
都是非零向量，则①a⊥
a⋅=0．②当
同向时，a⋅=；
b
当与
b
2
2
bbab
ab反向时
，a⋅b=-a
b；
a⋅a=a=a或a=a⋅a．③a⋅b≤ab．
⑶运算律：
①a⋅
b=b⋅a；
②（a）⋅b=（a⋅b）=a⋅（b）；
③（a+b）⋅c=a⋅c+b⋅c．
设两个非零向量a=（x,y），=（x,y），则a⋅=xx+yy．
11b22b1212
若=（x,y），则2=x2+y2，或=．
aaa
设a=（x,y），=（x,y），则a⊥
⇔xx+yy=0．
b1212
设a、b都是非零向量，a=（x1,y1），b=（x2,y2），是与b的夹角，则
a⋅
cos=b=
x1x2+y1y2．
第三章三角恒等变形
1、同角三角函数基本关系式
（３）倒数关系：
tancot=1
sin2=tan2
cos2=1
1+tan2；
1+tan2
sin,cos,tan按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切
S（+）：
sin（+）=sincos+cossin
S（-）：
sin（-）=sincos-cossinC（+）：
cos（a+）=coscos-sinsinC（-）：
cos（a-）=coscos+sinsin
T（+）：
tan（+）=
tan+tan1-tantan
T
（-）
：
tan（-）=
tan-tan1+tantan
正切和公式：
tan+tan=tan（+）⋅（1-tantan）
⎛⎫
3、辅助角公式：
asinx+bcosx=
a2+bç
⎝
a2+b2
sinx+
bcosx⎪
⎭
=a2+b2（sinx⋅cos+cosx⋅sin）=⋅sin（x+）
（其中称为辅助角，的终边过点（a,b），tan=b）
4、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
S2：
C2：
sin2=2sincos
cos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1
T2
tan2=2tan
1-tan2
*二倍角公式的常用变形：
①、1-cos2=|sin|， 1+cos2=|cos|；
②、1-1cos2=|sin|， 1+1cos2=|cos|
22
442
2sin22
③sin+cos=1-2sincos=1-；
cos4-sin4=cos2；
121-cos211
*降次公式：
sincos=sin2
sin==-cos2+
222
cos2=1+cos2=1cos2+1
5、*半角的正弦、余弦和正切公式：
sin=±
1-cos
cos=±
1+cos
，
2222
tan=±
1-cos=1-cos=sin1+cossin1+cos
6、同角三角函数的常见变形：
（活用“1”）
①sin2=1-cos2；
sin=±
1-cos2；
cos2=1-sin2；
cos=±
1-sin2；
②tan+cot=
cos2+sin2=
sincos
sin2
cot-tan=cos2-sin2=
2cos2=2cot2sin2
③（sin±
cos）2=1±
2sincos=1±
sin2；
7、补充公式：
*①万能公式
1±
sin2=|sin±
cos|
2tan
sin=2；
1+tan2
1-tan2cos=2；
1+tan2
tan=2
1-tan2
*②积化和差公式
sincos=1[sin（+）+sin（-）]
cossin=1[sin（+）-sin（-）]
coscos=1[cos（+）+cos（-）]
sinsin=-1[cos（+）-cos（-）]
*③和差化积公式
sin+sin=2sin+
-
cos2；
sin-sin=2cos+
sin-
cos+cos=2cos+
-+
cos；
cos-cos=-2sin
sin
带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式
Attheend,XiaoBiangivesyouapassage.Minandoncesaid,"
peoplewholearntolearnareveryhappypeople."
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