第5章资产组合计算Word格式文档下载.docx
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9;
12];
[RetSeries,RetIntervals]=tick2ret（TickSeries,TickTime）
5.1.2协方差矩阵与相关系数矩阵间的转换
MATLAB中的corr2cov函数可以把相关系数矩阵转换为协方差矩阵
Covariances=corr2cov（STDs,Correlations）
STDs%标准差矩阵
Correlations%相关系数矩阵
输出参数
Covariance%协方差矩阵
例5-3已知资产组合中有3个品种，每个品种的资产收益率、标准差和相关系数如表5.5所示。
表5.5的相关数据
Returns=[0.1,0.15,0.12];
STDs=[1,0.8,0.18];
Correlations=[1,0.8,0.4;
0.8,1,0.3;
0.4,0.3,1];
5.1.3资产组合收益率与方差
MATLAB中计算资产组合回报与方差的函数是portstats。
[PortRisk,PortReturn]=portstats（ExpReturn,ExpCovariance,PortWts）
ExpReturn%期望收益率向量
ExpCovariance%资产的协方差矩阵
PortWts%资产权重向量
PortRisk%总资产的标准差
PortReturn%%总资产的收益
例5-4某资产组合中有3种资产A、B、C．组合中各资产的预期收益率分别为0.1,0.2,0.15,权重分别为0．4,0．2,0．4，具体数据见程序
ExpReturn=[0.1,0.2,0.15];
ExpCovariance=[0.0100,-0.0061,0.0042;
-0.0061,0.0400,-0.0252;
0.0042,-0.0252,0.0225]
PortWts=[0.4,0.2,0.4;
0.2,0.4,0.2];
PortRisk=
0.0560
0.0550
PortReturn=
0.1400
0.1300
从上述结果可以看到，这两个资产组合的标准差分别为0.056、0.055，资产回报分别0.1400,0.1300
例5-5假设资产组合中有5种资产，收益分别为0.1，0.12,0.14,0.16,0.2，方差分别为0.02,0.03,0.01,0.05,0.02,资产收益率各不相关，各资产权重分别为0.1,0.2,0.3,0.2,0.2,计算该组合的收益率与方差。
returns=[0,1,0.12,0.14,0.16,0.2];
variances=[0.02,0.03,0.01,0.05,0.02];
ws=[0.1,0.2,0.3,0.2,0.2];
mean=sum（returns.*ws）
variance=sum（variance.*ws.^2）
5.1.4资产组合VaR（ValueAtRisk）
一般被称为“风险价值”或“在险价值”，指在一定的置信水平下，某一金融资产（或证券组合）在未来特定的一段时间内的最大可能损失。
假定JP摩根公司在2004年置信水平为95％的日VaR值为960万美元，具含义指该公司可以以以95％的把握保证，2004年某一特定时点上的金融资产在未来24小时内，由于市场价格变动带来的损失不会越过960万美元，或者说，只有5％的可能损失超过960万美元。
与传统风险度量手段不同，VaR完全是基于统计分析基础上的的风险度量技术，它的产生足JP摩根公司用来计算市场风险的产物。
例5-6假设投资者拥有两种资产，资产总价他为10000000元，资产权重分别为1／4与3／4，这两种资产日波动率的均值分别为0.003,0.002，标准差分别为0.02,0.01，这两种资产之间的相关系数为0.8，时间为10天，给定置信度为99％，求该资产VaR。
首先求总资产方差，公式如下
其中，
分别为资产组合权重，
为单个资产标准差，
为为这两种资产之间的相关系数。
一般地，可将式（5.1）用向量与矩阵形式表示，记
，表示各资产的权重，
表示各种资产的标准差，资产协方差矩阵记入cov，则式（5.1）可以改写为如下形式：
（5.2）
记号
表示向量转置。
如果记
，则有
有了资产组合方差，就可以计算出Var数值。
从正态分布表中可以查到对应于置信度99％（
）的
，在各种资产都是服从正态分布的假设下，资产Var值为
（5.4）
具体来讲，计算Var的步骤如下。
第1步：
输入资产权重向量w、各资产的标准差sigma、资产之间的相关系数cov，注意协方差矩阵一定是对称矩阵，需要计算时间长度
。
第2步：
权重向量点乘标准差向量。
第3步：
计算资产总的标准差
第4步：
对于给定置信度
，查正态分布表找到
第5步：
计算Varmit算Vat，
在Command窗口中执行如下命令：
w=[1/4,3/4];
ret=[0.003,0.002];
sigma=[0.02,0.01];
corrcoef=[1,0.8;
0.8,1];
delta=10;
pret=delta*dot（w,ret）
sig=w.*sigma;
tsig=sig*cov*sig'
*delta;
var=10^7*（pret-2.3263*sqrt（tsig））
10天VaR值为649300元。
实际上MATLAB中有专门计算Var值的函数，MATLAB巾的portrisk函数可以计算资产组合Var值，注意输入总资产期望收益与标准差，而不是组合中各种种资产的预期收益率与标准差。
调用方式
ValueAtRisk=portrrisk（PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue）
PortReturn%总资产的回报
RiskThreshold%概率阈值，默认值为0.05
PortValue%资产总的价值
ValueAtRisk%概率阈值下的单资产var值
例5-7已知资产年回报率为0.0029，标准差为0.0308，资产现在价值为1亿，求1%水平下资产在险价值。
PortReturn=0.0029;
PortRisk=0.0308;
RiskThreshold=0.01;
PortValue=1;
ValueAtRisk=portvrisk（PortReturn,PortRisk,RiskThreshold,PortValue）
该资产var等于0.0688，即该资产损失0.0688亿的可能性为1％。
需注意的是金融资产一般并不是正态，而是呈现出肥尾特征，其Var较正态分布大。
5.2资产组合有效前沿
由于证券市场投资存在巨大风险，一般不主张把投资集中在一种产品上。
如果一个投资者投资于深证东泰股份（000506），2001年8月10日收盘价为14．10元，到了2006年2月21日收盘价为1.54元，跌幅高达89.08％，如果再要回到原来价位需要上涨9.15倍，这样的机会是几乎不可能的，如果投资名踩中这样的陷阱恐怕很难再有翻身的机会。
运用组合理论可以有效地降低投资风险，其核心思想是在目标收益率给定的情况下，要求资产组合风险最小。
资产组合理论是由马克维茨（H．Markowitz）1952年提出均值方差理论模型
是协方差矩阵
，
表示第
种资产的收益率，
种资产在总资产中所占的份额。
5.2.1两种风险资产组台收益期望与方差
假设有两种资产A、B，其收益率分别用
表示，协方差分别为
，记资产组合组合为
，资产组合收益率、方差分别为
分别表示投资的权重，则有
该资产组合期望收益率与方差为
这样资产组合收益率均值与方差如图5.1所示。
图51资产组合收益率均值与方差
MATLAB工具箱中包含了资产均值方差有效前沿函数，这些都是基于MATLAB中的最优化理论工具箱。
马克维茨资产组合理论就是寻找一个有效组合。
所谓有效组合是指在同样风险水平下具有最高收益，这样不同收益及与最小风险构成有效前沿。
在不允许卖空情况下，求解有效组合目标函数为
这是一个约束条件为线性且含有不等式的二次规划方程，给定一个组合收益率就有个最小方差，组合收益与最小方差构成有效前沿关系，有效前沿如图5.2所示。
522均值方差有效前沿
MATLAB中计算均值方差有效前沿的函数为frontcon。
[PortRisk,PortReturn,PortWts]=frontcon（ExpReturn,ExpCovariance,
NumPorts,PortReturn,AssetBounds,Groups,GroupBounds）
ExpReturn%资产组合中每项资产预期回报，为一行向量
ExpCovariance%各种资产之间的协方差矩阵，为对称矩阵
NumPorts%（Optional）在资产组合有效前沿上的点的个数，默认值是10个点。
PortReturn%（Optional）有效前沿上每个点的回报
AssetBounds％（Optional）每种资产权重的上限、下限区间
Groups%（Optional）如果G（i,j）=1表示第i个资产属于第j个群，G（i，j）=0表示第i个资产不属于第j个群
GroupBounds%（Optional）每种种群权重约束区间，默认值规定下限为0，上限为l
PortRisk%组合的标准差
PortReturn%组合的回报
PortWts%组合中每个资产的权重
例5-8考虑一个三资产组合，分别为资产1、资产2与资产3，其预期收益率分别为0.2、0.1、0.15，资产协方差矩阵如表5.7所示，求该资产组合有效前沿。
在MATLAB中执行如下命令
0.0042,-0.0252,0.0225];
NumPorts=4;
5.2.3带约束条件资产组合有效前沿
投资组合中的问题很少有简单的约束，大多数情况下是多种约束，例如监管当局为了控制风险，对资产组中每种资产的比例加以种种限制，这时就需要考虑多种约束条件下的最优组合问题。
MATLAB利用均值-方差理论求解资产组合问题，首先是将约束条件写成矩阵形式，例如
或者
形式。
下面用一个例了说明。
例5-9某资产组合中有5种资产构成，第i种资产的预期回报率为
为第
种资产在总资产中的权重，考虑
具有如下形式：
上述约束条件写成矩阵形式如下
A=[1,0,0,0,0,0.35;
0,1,0,0,0,0.30;
0,0,1,0,0,0.40;
0,0,0,0,1,0.50
-1,0,0,0,0,0;
0,-1,0,0,0,0;
0,0,-1,0,0,0;
0,0,0,-1,0,0;
0,0,0,0,-1,0;
-1,-1,0,0,0,-0.2;
-1,-1,-1,0,0,-0.3;
1,1,0,0,0,0.6;
1,1,1,0,0,0.7]
注意约束条件
可以分解成两个约束条件：
和
，分别对应于矩阵的第l行和第6行。
下面我们计算约束条件下资产
组合有效前沿。
[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance,NumPorts,PortReturn,ConSet）
ExpReturn%资产的期望回报率
ExpCovariance%资产的协方差
NumPorts%（Optional）资产组合中投资品种的个数
PortReturn%Optional）要求组合的回报率
ConSet%（Optional）约束条件
PortRisk%资产组合的风险
PortReturn%资产组合的回报
PortWts%组合中各种资产的权重
例5-10设有两种资产，其回报率分别为0.1,0.3,协方差矩阵为
约束条件为
，求该资产组合有效前沿。
在MATLAB中执行如下命令：
ret=[0.1,0.3];
cov=[0.02,0;
0,0.04];
constr=[1,1,1;
1,0,0.2;
-1,0,0;
0,-1,-0.3];
portopt（ret,cov,[],[],constr）
图5.3含约束条件均值方差有效前沿示意图
例5-11各资产的相关系数矩阵、预期回报率和标准差如表5.8所示
试给出有效前沿。
在MATLAB中执行如下命令
STDs=[0.2,0.25,0.18];
portopt（Returns,Covariances,20）%绘出组合的有效前沿
%然后选择权重
rand（'
state'
0）;
Weights=rand（1000,3）;
Total=sum（Weights,2）;
Weights（:
1）=Weights（:
1）./Total;
2）=Weights（:
2）./Total;
3）=Weights（:
3）./Total;
输入资产组合有效前沿，以及相关资产组合，绘出各个资产组合风险与收益，代码如下：
[PortRisk,PortReturn]=portstats（Returns,Covariances,,Weights）;
holdon
plot（PortRisk,PortReturn,'
.r'
）
title（'
均值-方差有效前沿以及各个资产组合风险与收益'
xlabel（'
风险（标准差）'
ylabel（'
期望收益率'
holdoff
这样资产组合有效前沿和各种资产组合风险与收益点如图5.4所示。
均值-方差有效前沿以及各种资产组合风险与收益
5.2.4考虑无风险资产及借贷情况下的资产配置
资产组合有效前沿上的点很多，如何选择一个有效点呢?
投资者需要根据目标函数权衡风险与回报。
MATLAB中投资者目标函数如下：
表示未来回报，
表示投资者风险厌恶系数，一般在2-4之间，
是资产标准差。
投资者决策就是使目标函数最大化，然后对资产进行配置。
MATLAB中考虑无风险资产时的资产配置函数是portalloc,其功能是根据风险-收益最优原则配置每项资产，其中包括无风险资产。
[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]
=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion）
PortRisk%有效前沿上每项资产的方差
PortReturn%有效前沿上每项资产的回报
PortWts%有效前沿上每项资产的权重
RisklessRate%无风险利率
BorrowRate%（Optional）借款利率，默认为没有借贷
RiskAversion%（Optional）投资者的风险厌恶系数，大多数投资者的风险厌恶系数在2～4之间，通常选择3
RiskyRisk％风险资产部分的标准差
RiskyReturn％风险资产部分的回报
RiskyWts％风险资产的权重
RiskyFraction％总资产中风险资产的分数
OverallRisk％总资产的标准差
Overa11Return％总资产的回报
例5.12已知一个组合中含有3种资产，每种资产的预期回报与协方差矩阵如表5.9所示。
表5.9各种资产的预期回报、协方差
资产A
资产B
资产C
预期回报
0.1
0.2
0.15
协
方
差
0.005
-0.010
0.004
0.04
-0.002
0.023
无风险利率为0.08，借贷利率为0.12，投资者的风险厌恶系数为3，要求考虑无风险资产和借贷情况下的最优资产配置。
ExpCovariance=[0.005,-0.010,0.004;
-0.010,0.040,-0.002;
0.004,-0.002,0.023];
[PortRisk，PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance）;
%由于没有输入位于有效前沿上的点的数目，MATLAB默认有效前沿上选取10个点，每个点代表一种组台，每个组合的标准差保存在PortRisk中，收益率保存在PortReturn中，组合中各资产的权重保存在PortWts中。
下面调用portalloc函数求出考虑无风险资产，以及允许借货时的资产配置，代码如下：
RisklessRate=0.08;
BorrowRate=0.12;
[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,RiskAversion）
从结果表明，最优组合的标准差为0.1283,收益率为0.1788，每项资产的权重分别为0.0265、0.6023、0.3712。
总资产中风险资产配置的权重为1.1898，总资产的回报率为0.1899，总资产的标难差为0.1527。
如果选取有效前沿上的20个点，得到结果如下：
[PortRisk,PortReturn,PortWts]=portopt（ExpReturn,ExpCovariance,20）;
[RiskyRisk,RiskyReturn,RiskyFraction,OverallRisk,OverallReturn]=portalloc（PortRisk,PortReturn,PortWts,RisklessRate,BorrowRate,3）
从结果中我们可以知道，最优组合的标准差为0.1283，组合的收益率为0.1791，每项资产的权重分别为0.0057、0.5879、0.4064，总资产中风险资产配置的权重为1．1869，总资产的回报为0．1902，总资的产标准差为0．15297，除了资产配置差别比较大，第一项资产配置进一步减小，其他差别并不大。
5.2.5线性规划求解资产组台问题
线性规划是研究目标函数和约束条件均为线性的最优化问题，线性规划的标准形式如下
是目标函数矩阵，
是约束条件矩阵，
是向量。
标准形式线性问题简称LP（LinearProgramming）问题，MATLAB中用lp函数求解线性规划问题。
MATLAB中的线性规划形式如下
是向量，
是不等式约束和等式约束的矩阵
x=limprog（f,A,b）
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
分别为标准线性规划模型中的参数；
参数
分别为变量x的上界和下界。
例5-13某资产组合中有3种资产，各资产的收益率分别为0.2、0.1,、0.15。
要求资产l与资产3的权重小于资产2的权重，且没有卖空。
求解使得上述收益率最大的投资组合
首先确定目标函数为：
资产约束条件可写为
f=[-0.2,-0.1,-0.15]'
;
A=[1,-1,1];
b=0,Aeq=[1,1,1];
beq=1;
lb=[0,0,0.1]'
ub=[1,1,1]'
x=linprog（f,A,b,Aeq,beq,lb,ub）
最后得出资产1、资产2、资产3的权重分别为0.4、0.5、0.l。
下面我们考虑二次规划求解资产组合，二次规划问题（QuadraticProgramming）的标准形式如下
为权重向量，
为对称矩阵。
约束条什分成两个部分，前一部分约束条件是不等式，后一部分约束条件是等式。
在资产组台问题中，
多为协方差矩阵；
在MATLAB中求解此类问题的函数是quadprog。
x=quadproq（H,q,A,h）
x=quadprog（H,r,q,A,b,Aeq,beq）
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