考研数学中值定理证明题技巧以及结论汇总Word文件下载.docx
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中值定理结论总结
1、介值定理
:
设函数
f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值
f(a)=A
及
f(b)=B,那么对于
A
与
B
之间的任意一个数
C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得
f(ξ)=C(a<
ξ<
b).
Ps:
c
是介于
A、B
之间的,结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论:
f(x)在闭区间[a,b]上连续,则
f(x)在[a,b]上有最大值
M,最小值
(
m,若
m≤C≤M,则必存在ξ∈[a,b],
使得
f(ξ)=C。
闭区间上的连续函数必取得介于最大
值
M
与最小值
m
之间的任何值。
此条推论运用较多)
Ps:
当题目中提到某个函数
f(x),或者是它的几阶导函数在某个闭区间上连续,那么该函数
或者其几阶导函数必可以在该闭区间上取最大值和最小值,那么就对于在最大值和最小
值之间的任何一个值,必存在一个变量使得该值等于变量处函数值。
2、零点定理
f(x)在闭区间[a,b]上连续,且
f(a)与
f(b)异号,即
f(a).f(b)<
0,
那么在开区间内
至少存在一点ξ使得
f(ξ)=0.
注意条件是闭区间连续,端点函数值异号,结论是开区间存在点使函数值为
0.
3、罗尔定理
如果函数
f(x)满足:
(1)、在闭区间[a,b]上连续;
(2)、在开区间(a,b)内可导;
(3)、在区间端点处函数值相等,即
f(a)=f(b).
那么在(a,b)内至少有一点ξ(<
aξ<
b),使得
f`(x)=0;
4、拉格朗日中值定理
b),使得
f(b)-f(a)=f`(ξ).(b-a).
5、柯西中值定理
f(x)及
g(x)满足
(3)、对任一
x(a<
x<
b),g`(x)≠0,
那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
(b)
-
(a)
g(b)
g(a)
=
`(ξ
)
g`(ξ
对于罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
⎰
6、积分中值定理
若函数
f(x)在[a,b]上连续,则至少存在一点
∈
[a,
b]
使得
b
a
(x)dx
)(b
a)
该定理课本中给的结论是在闭区间上成立。
但是在开区间上也是满足的,下面
我们来证明下其在开区间内也成立,即定理变为:
f(x)在[a,b]上连续,则至
少存在一点
(a,
b)
证明:
设
F
(x)
x
,
x
b]
因为
在闭区间上连续,则
在闭区间上连续且在开区间上可导(导函数即
为
)。
则对
由拉格朗日中值定理有:
∃ξ
(x)dx
而
所以
a)
。
在每次使用积分中值定理的时候,如果想在开区间内使用,我们便构造该函数,运
用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。
千万不可直接运用,因为
课本给的定理是闭区间。
定理运用
1、设
在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导函数,且
2
(0)
2
(2)
+
(3)
.
(1)
∃η
(0,2)
使
(η
(0)
(0,3)
``(ξ
先看第一小问题:
如果用积分中指定理似乎一下子就出来了,但有个问题就是积分中
值定理是针对闭区间的。
有的人明知这样还硬是这样做,最后只能是
0
分。
具体证明方法
在上面已经说到,如果要在开区间内用积分中指定理,必须来构造函数用拉格朗日中值定理
证明其在开区间内符合。
(1)、令
(0
(t)dt
(x),
∈[0,2]则由题意可知
(x)在[0,2]上连续,
2)
内可导.
(0,2)使F
`(η
∴
(t)dt
(0),η
(0,2)
从而,
≤
≤
,那么由介值定理就有:
∃c
[2,3],
使f
(c)
(2)、对于证明题而言,特别是真题第一问证明出来的结论,往往在第二问中都会有运用,
在做第二问的时候我们不要忘记了第一问证明出来的东西,我们要时刻注意下如何将第一问
的东西在第二问中进行运用:
第二问是要证明存在点使得函数二阶倒数为
0,这个很容易想到罗尔定理来证明零点问题,
如果有三个函数值相等,运用两次罗尔定理那不就解决问题啦,并且第一问证明出来了一个
等式,如果有
f(a)=f(b)=f(c),那么问题就解决了。
第一问中已经在(0,2)内找到一点,那么能否在(2,3)内也找一点满足结论一的形式呢,有了
这样想法,就得往下寻找了,
,看到这个很多人会觉得熟悉的,和介值定理很像,下面就来证明:
Θ
(x)在[0,3]
上连续,则在[2,3]
上也连续,由闭区间上连续函数必存在最大值和最小值,
分别设为
M,m;
则
(3)
(c),η
(0,2),
[2,3]
则有罗尔定理可知:
∃ξ1
(0,η),
`(ξ1
(η,
c),
`(ξ2
(ξ1,ξ2
⊆
(0,3),
本题记得好像是数三一道真题,考察的知识点蛮多,涉及到积分中值定理,介值定理,
最值定理,罗而定理,思路清楚就会很容易做出来。
2、设
f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f(0)=0,f
(1)=1.
证明:
(1)、∃ξ
(0,1)使得f
1
ξ
(2)、∃两个不同点η、ξ
(0,1),使得f
⋅
`(η)
1
本题第一问较简单,用零点定理证明即可。
(1)、首先构造函数:
1,
[0,1]
-1
-1
<
由零点定理知:
(0,1)使得F
0,即f
(2)、初看本问貌似无从下手,但是我们始终要注意,对于真题这么严谨的题目,他的设问
是一问紧接一问,第一问中的结论或多或少总会在第二问中起到作用。
在想想高数定理中的
就这么些定理,第一问用到的零点定理,从第二问的结论来看,也更本不涉及什么积分问题,
证明此问题也只可能从三大中值定理出发,具体是哪个定理,得看自己的情况,做题有时候
就是慢慢试,一种方法行不通,就换令一种方法,有想法才是最重要的,对于一道题,你没
想法,便无从下手。
另外在说一点,在历年证明题中,柯西中值定理考的最少。
本题结论都涉及一阶倒数,乘积之后为常数,很可能是消去了变为
1(你题目做多了,肯定
就知道事实就是这样).并且第一问中
之间夹了个
,如果我们在
上
对
运用拉格朗日中值定理似乎有些线索。
写一些简单步骤,具体详细步骤就不多写了:
将第一问中
代入即可。
`(ζ
(0,ξ
ζ
1)
(0,
),η
1),
使得:
=ξ2
+η2
1,η
(0,1),ζ
1)
(0,1)
本题是
05
年数一的一道真题,第一问是基本问题,送分的,第二问有一定区分度,对
定理熟练的会容易想到拉格朗日定理,不熟练的可能难以想到方法。
做任何题,最重要的不
是你一下子就能把题目搞出来,而是你得有想法,有想法才是最重要的,有了想法你才能一
步步的去做,如果行不通了,在改变思路,寻求新的解法,如果你没想法,你就根本无从下
手。
3、设函数
f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且
f(0)=0,f
(1)=1/3.
22
对于这道题的结论比较有意思,比较对称,另外一个就是结论的条件,为何要把
ξ、η
放在
两个范围内,不像上一题中直接来个η、ξ
(0,1)
,这个分界点
1/2
的作用是干吗的。
很
可能也是把
/2
当做某一个点就像上一题中的
,是否要用到拉格朗日中值定理呢,这是
我们的一个想法。
那具体的函数如何来构造呢,这个得从结论出发,f
=ξ+η
我们把等式变一下:
-ξ+
-η=
-ξ这个不就是
-ξ3
关
2221
3
于
的导数(而且题目中
f
(1)=1/3,貌似这样有点想法了),本题会不会也像上一题那样,运
用拉格朗日中值定理后相互消掉变为
呢,有了这些
想法我们就要开始往下走了:
先来构造一个函数:
-x3
2F
-
-2F
刚好证明出来。
本题是近几年数二的一道真题,只有一问,有比较大区分度的,得从条件结论互相出
发,如何构造出函数是关键。
做出来之后我们反过来看这个
的作用就知道了,如果只
给η、ξ
,那就更难了
得自己找这个点,既然题中给了这个点,并且把两个变量分
开在两个区间内,我们就对这两个变量在对应区间用相应定理。
说明真题出的还是很有技巧
的。
一般设计难一点的中值定理证明,往往得用拉格朗日定理来证明,两个变量,都涉及到
导数问题,这是因为拉格朗日中值定理条件要少些,只需连续,可导即可,不像罗尔定理得
有式子相等才可进一步运用。
4.设
f(x)在区间[-a,a](a>
0)上具有二阶连续导数,f(0)=0
(1)、写出
f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式
(2)、证明在[-a,a]上至少存在一点η
a
``(η
第一问课本上记住了写出来就行,考的很基础
-a
)2
(1)、
+
`(0)
1!
2!
`(0)
(2)、第二问先将第一问的式子
f(x)代入看看有什么结果出来
dx
此处不能直接拿到积分号外面,因为他不是与
无
关的数。
做到这儿,我们想办法把他弄到积分号外面似乎就能出来,有了这样想法就得寻求
办法。
题目中说道
f(x)有二阶连续导数,为何要这样说呢,我们知道连续函数有最大值,最
小值,往往会接着和介值定理一起运用。
所以有:
f(x)有二阶连续导数,所以存在最大值和最小值,设为
M,m
则对于区间[-a,a],
``(x)
mx
Mx
ma
3
m⎰
⎰⎰
MMa
-a
≤3
⎰
M
所以由介值定理有结论成立。
本题是以前的一道真题,具体哪年也记不得了,主要就是考到介值定理的运用。
题目
中说的很明白的,有二阶连续导数,往往当题目中提及到什么连续啊,特别是对于导函数连
续的,我们总得注意下他有最大值,最小值,进而与介值定理联合运用。
cos
xdx
5、设
f(x)在[0,π
]上连续,且
π
在
(0,π
内至少存在两个不同点
ξ1、ξ
2使得f
(ξ1
(ξ2
本题看似很简洁,但做起来去不容易。
结论是证明等式成立且为
0,很容易让我们想到罗尔定理,我们如果能找到三个点处函数值
相等,那么是不是就能有些思路了呢。
令:
(t)dt,
∈[0,π
],
(π
xdF(x)
(x)π
sin
拉格朗日中值定理来证明其在开区间内成立。
构造函数
G(x)
t
]
似
乎
只
需
找
出
一
点
F(c)=0
即
可
如
果
切
我
们
所
想
证
明
也
就
完
成
了
πππ
000
似乎已经找到这个点了。
但是积分中值定理中,是取闭区间,如果要用的话得先构造函数用
具体的证明步骤和上面涉及到的一样,自己去证。
证完后就得到
),使得G`(c)
0,即sin
所以F
接下来的证明就和第一题中第二小问一样了,具体就不去证明了,自己证,关键掌握方法,
思路。
02
年左右的数一一道证明题,看看题目很简洁,但具体来做,如果对定理的运
用不熟练,还是不好弄出来。
本题中涉及到积分,而且又要证明等式成立且为
0,容易想到
积分中值定理,以及罗尔定理。
但是积分中值定理是对于闭区间而言,而我们要用到开区间,
只能自己构造函数来证明其在开区间内成立,如果在实际做题的时候你不证明直接用,估计
一半的分都没了。
本题关键的就是寻找这个点
C,找出来了其他的都不是问题,既然是关键
点,那得分点也肯定最多了,你不证明这个点,直接套用课本中定理(如果用的话,得分类
讨论了),硬是说
C
点就成立,那估计一半的分都没了。
一般都会构造出
g(x)
XXX
e
或者e
或者x
n为任意常数
对于中值定理这章,就先给出上面一些经典的题目,大家好好体会下,多做些题,多思考。
下面来讲讲对于证明题中的,函数如何来构造:
基本上都是从结论出发,运用求导或是积分,
或是求微分方程,解出来也可。
本人自己总结了一些东西,与大家交流下:
构造函数基本方法
一、要证明的等式是一阶导数与原函数之间的关系:
x-xn
1、如果只是单纯导函数和原函数之间关系,想想构造带有
或者e
`(x)
可以构造
e-x
-x
可构造
λ
这个也是原函数与一阶导函数问题,构造函数
e-x
x)
先将其变形下:
λf
λx
左边是导函数与原函数关系可构造:
e
-λx
右边可以看成是
x`-λx
也成了导函数和原函数之间关系,如是可以构造:
e-λx
从而
要构造的函数就是:
x)e
2、如果还涉及到变量
X,想想构造
n
xf
g
(x)
nf
3、另外还可以解微分方程来构造函数:
`(x)
-x,
ln
+c
c
C
所以构造函数g(x)
二、二阶导数与原函数之间关系
构造带有
如何构造如下:
对于此式子,你会不会有所想法呢,在上面讲到一阶导函数
与原函数之间的构造方法,等式前面也可以看成是一阶导函数与原函数(只不过原函数是
)之间关系,从而等式左边可以构造
等式右边可以构造
总的构造
出来函数为:
(x))
另:
如果这样变形:
`(x))
x))
构造函数如下:
,可以看上面原函数与导函数之间关系如何构
造的。
从而对于此函数构造有两种方法,具体用哪一种构造得看题目给的条件了。
如果题目给了
f