考点05 函数与方程江苏高考数学五年真题与三年模拟试题考点分类解读解析版Word格式文档下载.docx
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函数与方程的思想是数学的四大思想之一，也体现了数形结合的思想，是近几年江苏高考的热点也是江苏高考的重点，经常体现在填空题的后几天或者大题的压轴题。
通过近几年江苏高考不难发现高考对函数的方程即函数的零点以及函数的性质等是函数重点考查的内容，在复习中要重点关注。
考点总结
在高考复习中要注意以下几点：
①要熟悉一次函数、二次函数、三次函数、指数函数、对数函数等基本函数的图像，会处理含义绝对值函数的图像，等根据函数的图像的变换处理一些较为复
杂的函数的图像问题。
②解决函数零点问题要用到以下方法
（1）直接法，即求方程的根·
（2）定理法，利用函数零点存在性定理估计零点的范围。
（3）数形结合，即与函数的图像结合找出函数的零点。
学！
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③正确掌握函数与方程的思想，能正确的对函数与图像进行转化。
能借助于图像解决函数与方程的问题。
五年高考真题
1、（2014年）.已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3）时，f（x）＝x2－2x＋.若函数y＝f（x）－a在区间[－3,4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是________．
【答案】：
0<
a<
.
【解析】：
作出函数f（x）在[－3,4]上的图像，如图所示．由图可知0<
.
2、（2015年江苏试卷）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝
则方程|f（x）＋g（x）|＝1实根的个数为________．
4
将方程|f（x）＋g（x）|＝1转化为两个方程f（x）＋g（x）＝±
1来加以讨论，然后将它们进一步地转化为f（x）＝±
1－g（x），从而在同一个直角坐标系中作出它们的图像，由图像来得到它们的交点的个数．
解法1当0<
x≤1时，由|f（x）＋g（x）|＝1得|lnx|＝1，解得x＝或x＝e（舍去）；
当x>
1时，由|f（x）＋g（x）|＝1得|lnx|＝3－|x2－4|或|lnx|＝1－|x2－4|，分别在同一个直角坐标系中作出函数y＝|lnx|与y＝3－|x2－4|（如图1）或y＝|lnx|与y＝1－|x2－4|的图像（如图2）.
图1
图2
由图可知，当x>
1时，它们分别有1个、2个交点，故x>
1时，方程有3个实根．
综上，方程|f（x）＋g（x）|＝1共有4个不同的实根．
解法2f（x）＋g（x）＝由|f（x）＋g（x）|＝1得f（x）＋g（x）＝±
1.
（3）考察设
m（x）＝x2－6＋lnx，此函数在区间[2，＋∞）上为增函数，且m
（2）＝ln2－2<
－1，m（3）＝3＋ln3>
1，所以方程|f（x）＋g（x）|＝1在区间[2，＋∞）上有两个实根．
综上，方程|f（x）＋g（x）|＝1实根个数为4.
利用函数的图像，是研究方程的解的个数的最为有效的方法．一般地，可将所研究的方程转化为两个函数的图像的交点来加以研究．
3、（2015年江苏试卷）已知函数
（1）试讨论
的单调性；
（2）若
（实数c是a与无关的常数），当函数
有三个不同的零点时，a
的取值范围恰好是
，求c的值.
第
（1）小问根据函数f（x）的导函数f′（x）的零点的大小，来研究函数f′（x）在各个区间中的正负号，从而得到函数f（x）的单调区间及单调性；
第
（2）小问注意到函数f（x）有三个零点，所以它的极大值与极小值异号，由此得到关于a的不等式，再根据a的解集为（－∞，－3）∪1，∪，＋∞，利用不等式的解集与它所对应的方程的根之间的关系，由此来确定c的取值．
（2）解法1由
（1）知，函数f（x）的两个极值分别为f（0）＝b，f＝a3＋b，则函数f（x）有三个零点等价于f（0）·
f＝b<
0，从而－a3<
b<
0（a>
0）或0<
－a3（a<
0）．
又b＝c－a，所以当a>
0时，a3－a＋c>
0或当a<
0时，a3－a＋c<
0.
设g（a）＝a3－a＋c，因为函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（－∞，－3）∪1，∪，＋∞，则在（－∞，－3）上g（a）<
0，且在1，∪上g（a）>
0均恒成立，
从而g（－3）＝c－1≤0，且g＝c－1≥0，因此
c＝1.
此时，f（x）＝x3＋ax2＋1－a＝（x＋1）[x2＋（a－1）x＋1－a]，
因为函数有三个不同的零点，则x2＋（a－1）x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，
所以Δ＝（a－1）2－4（1－a）＝a2＋2a－3>
0，且（－1）2－（a－1）＋1－a≠0，
解得a∈（－∞，－3）∪1，∪，＋∞.
综上c＝1.
解法2由
（1）知，当a＝0时，函数f（x）是（－∞，＋∞）上的增函数，此时函数f（x）不可能有三个零点，不合题意；
当a≠0时，要使函数f（x）有三个零点，则需它的极大值大于0，极小值小于0，也即极大值与极小值异号．
4、（2017年江苏试卷）14.设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1）上，f（x）＝其中集合D＝，则方程f（x）－lgx＝0的解的个数是________．
8
首先f（x）∈[0,1），所以方程f（x）＝lgx的解x0∈[1,10）．
由图像可知，在[9,10）上方程无解，方程在[1,9）上的整数解只有x＝1.再按x－k∈D和x－k∉D两种情况，讨论f（x）＝lgx在（k，k＋1）上的解，其中k＝1,2，…，8.
①若x－k∈D，且x∈（k，k＋1），其中k＝1,2,3，…，8，设x－k＝，n∈N*且n≥2.则方程为＝lg，即10（n－1）2＝n2，这样的n不存在．
②若x－k∉D，且x∈（k，k＋1），其中k＝1,2，…，8，则方程为x－k＝lgx.
记g（x）＝x－lgx－k，则g′（x）＝1－＞1－＞0，所以g（x）在（k，k＋1）上递增．
因为g（k）＝－lgk，g（k＋1）＝1－lg（k＋1）＞0，
所以在（1,2）内无解，当k＝2,3，…，8时，在x∈（k，k＋1）内各恰有一解，共有7解．
与①类似，可证这些解都是无理数，从而满足x－k∉D.
综上所述，方程共有8解．
对于解答题，尽量不用“由图像可知”，可把“思路分析”中的内容并入①②，并稍作改动，例如在①中允许n＝1，则k＝1，得x＝1.试试写一下．
另外，若把题中的D改为区间[0,1）中的所有有理数组成的集合，再试做一下．
5、（2018年江苏试卷）若函数
在
内有且只有一个零点，则
上的最大值与最小值的和为________．
【答案】–3
分析：
先结合三次函数图象确定在
上有且仅有一个零点的条件，求出参数a,再根据单调性确定函数最值，即得结果.对于函数零点个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
三年模拟试题
题型一：
判断函数零点个数问题
1、（2016南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞），满足f（x＋2）＝f（x）．若当x∈[0,2）时，f（x）＝|x2－x－1|，则函数y＝f（x）－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．
.7
2、（2016南通期末）已知函数f（x）是定义在[1，＋∞）上的函数，且f（x）＝则函数y＝2xf（x）－3在区间（1,2015）上的零点个数为________．
【答案】11
解法1由题意得当1≤x<
2时，f（x）＝设x∈[2n－1,2n）（n∈N*），则∈[1,2），又f（x）＝f，
①当∈时，则x∈[2n－1,3·
2n－2]，所以f（x）＝f＝，所以2xf（x）－3＝2x·
－3＝0，整理得x2－2·
2n－2x－3·
22n－4＝0.解得x＝3·
2n－2或x＝－2n－2.由于x∈[2n－1,3·
2n－2]，所以x＝3·
2n－2；
②当∈时，则x∈（3·
2n－2,2n），所以f（x）＝f＝，所以2xf（x）－3＝2x·
－3＝0，整理得x2－4·
2n－2x＋3·
2n－2或x＝2n－2.由于x∈（3·
2n－2,2n），所以无解．
综上所述，x＝3·
2n－2.由x＝3·
2n－2∈（1,2015），得n≤11，所以函数y＝2xf（x）－3在区间（1,
2015）上零点的个数是11.学！
解法3分别作出函数y＝f（x）与y＝的图像，如图，交点在x1＝，x2＝3，x3＝6，…，xn＝3·
2n－2处取得．由x＝3·
2n－2∈（1,2015），得n≤11，所以函数y＝2xf（x）－3在区间（1,2015）上零点的个数是11.
题型二：
函数的图像问题
1、（2018扬州期末）已知函数f（x）＝若存在实数k使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a的取值范围是________．
这里易错写成，对于区间端点究竟是开还是闭，可通过检验的方式判定，这里若a＝，f（a）＝f＝－1，因为k<
a＝，f（k）<
0，这样函数f（x）的值域里就不含有函数值0，与题意值域为[－2，0]不符，故a≠.
2.（2018苏锡常镇调研
（二））已知函数
若存在实数
，满足
，则
的最大值
是．
思路分析：
根据函数【解析】式，可以结合函数的图象得出
，
的关系，利用消元思想将问题转化为一元函数问题，进而利用导数知识解决.
解题过程：
作函数
的图象如下：
根据题意，结合图象可得
，且
所以
解后反思：
本题以分段函数为背景，考查了导数知识在解决函数综合问题中的应用，以及数形结合，化归与转化等重要数学思想.
3、2017南京学情调研）已知函数f（x）＝当x∈（－∞，m]时，f（x）的取值范围为[－16，＋∞），则实数m的取值范围是________．
[－2,8]
思路分析由于f（x）的【解析】式是已知的，因此，可以首先研究出函数f（x）在R上的单调性及相关的性质，然后根据f（x）的取值范围为[－16，＋∞），求出它的值等于－16时的x的值，借助于函数f（x）的图像来对m的取值范围进行确定．
当x≤0时，f（x）＝12x－x3，所以f′（x）＝12－3x2.令f′（x）＝0，则x＝－2（正值舍去），所以当x∈（－∞，－2）时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当x∈（－2,0]时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，故函数f（x）在x≤0时的极小值为f（－2）＝－16.当x＞0时，f（x）＝－2x单调递减，f（0）＝0，f（8）＝－16，因此，根据f（x）的图像可得m∈[－2,8]．
解后反思根据函
数的【解析】式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合
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3、（2016南京、盐城一模）.设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）＝2x＋，设g（x）＝若函数y＝g（x）－t有且只有一个零点，则实数t的取值范围是________．
[－，]
思路分析注意到函数f（x）为奇函数，所以可以求出m的值，进而将函数y＝g（x）－t的零点问题转化为函数y＝g（x）与y＝t的图像的交点的个数问题来加以解决．
解后反思应用数形结合的方法研究函数的零点是一种常用的方法，在用此法时，一般地，会将函数的零点转化为两个函数的图像的交点来加以研究，这两个函数中，一个函数为定函数，另一个函数为动函数，这样，可有效地降低解题的难度．
题型三：
根据函数零点确定参数问题
1、（2018南京、盐城一模）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）＝若函数y＝f（x）－m有四个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
.
先画出x≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<
0时的图像．令y＝0得f（x）＝m.令y＝f（x），y＝m，由图像可得要有四个不同的零点，则m∈.
本题在作图
时，易出现没有画出y＝1－的渐近线的错误，从而导致交点个数判断错误．
2、（2018镇江期末）已知k为常数，函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝kx＋2有且只有四个不同解，则实数k的取值构成的集合为________．
∪（－e，－1）
作函数y＝f（x）和y＝kx＋2的图像，考察两函数图像的公共点，两函数图像的公共点的个数等价于方程f（x）＝kx＋2解的个数．
题意，当k<
－e时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当－e<
k<
－1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k的
取值范围是∪（－e，－1）．
方程解的个数的判断，常转化为函数图像公共点个数的判断，在转化的过程中，一般将它转化为一个确定的函数与一个不确定的函数，这样，只需要研究不确定的函数的图像的变化情况就可以得到问题的解．转化时有时也会做一些“技术”上的处理，比如本题可以知方程f（x）＝kx＋2一定有一个零解，在x≠0时，可以转化为直线y＝k与曲线y＝有三个公共点来处理，这样做的好处是在画出两图像后很容易得到k的取值范围，但曲线画起来难度增加了．
3.（2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f（x）＝t∈R.若函数g（x）＝f（f（x）－1）恰有4个不同的零点，则t的取值范围为________．
.[－4，0）
本题是“复合函数零点”问题，常见思路是借助函数图像，由求外函数零点切入，进而再分析内函数零点个数．当x<
0时，有f′（x）＝－3x2＋6x＝3x（2－x），故函数f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，则函数f（x）在区间（－∞，0）上至多一个零点，进而分类讨论即可．
图1）
图2）
4.（2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f（x）＝（其中e为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
.（1，＋∞）
解法2（分离参数）当x>
0时，令f（x）＝e－x－＝0，解得x＝ln2>
0，此时函数f（x）有1个零点，因为要求函数f（x）在R上有3个不同的零点，则当x≤0时，f（x）＝x3－3mx－2有2个不同的零点，即x3－3mx－2＝0，显然x＝0不是它的根，所以3m＝x2－，令y＝x2－（x<
0），则y′＝2x＋＝，当x∈（－∞，－1）时，y′<
0，此时函数单调递减；
当x∈（－1，0）时，y′>
0，此时函数单调递增，故ymin＝3，因此，要使f（x）＝x3－3mx－2在（－∞，0）上有两个不同的零点，则需3m>
3，即m>
已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．
（3）数形结合法：
先对【解析】式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．这里采用方法是
（1）和（3）的结合．
5、（2017苏州暑假测试）已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝k（x＋1）有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是________．
思路分析方程f（x）＝k（x＋1）的实数根的个数可以理解为函数y＝f（x）与函数y＝k（x＋1）交点的个数，因此，在同一个坐标系中作出它们的图像，由图像来观察它们的交点的个数．
解后反思
（1）运用函数图像解决问题时，先要正确理解和把握函数图像本身的含义及其表示的内容，熟悉图像所能够表达的函数的性质．
（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图像的关系，结合图像研究．
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