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）,第7页,其次，系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。

例如，下图所示的单位反馈系统，如原系统G（s）是为产生不稳定现象的，那么加入反馈后就形成为闭环系统。

当输入Xi（s）撤消后，此闭环系统就以初始偏差E（s）作为进一步运动的信号，产生输出Xo（s）。

而反馈联系不断将输出Xo（s）反馈回来。

从输入Xi（s）中不断减去或加上Xo（s）。

若反馈的结果，削弱了E（s）的作用即负反馈，则使Xo（s）越来越小，系统最终趋于稳定，若反馈的结果，加强了E（s）的作用即正反馈，则使Xo（s）越来越大，此时，此闭环系统是否稳定，则视Xo（s）是收敛还是发散而定。

第8页,第三，控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系统自由振荡是收敛的还是发散的；

当然，根据第3.7节的分析，也可以说，是讨论系统初始状态为零时，系统脉响应是收敛的还是发散的。

至于对机械工程系统，往往用激振或加外力的方法施以强迫振动或运动，因而造成系统共振（或称谐振）或偏离平衡位置越来越远，这不是控制理论所要讨论的稳定性。

第9页,二、稳定的定义和条件,若系统在初始状态（不论是无输入时的初态），还是输入引起的初态，还是这两者之和，此处，n仍为系统阶数的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称该系统为稳定的；

反之，若在初始状态影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统不稳定的。

第10页,根据上述稳定性的定义，可以用下述两种方法，分别求得定常线性系统的稳定性条件。

方法

（1）,设定常线性系统的微分方程为,若记,第11页,式中为系统的传递函数。

N（s）是与初始条件xo（k）（0-）（其中k=0,1,2,n-1）有关的s多项式，而xo（k）（0-）是输出xo（t）及其各阶导数xo（k）（t）在输入作用前t=0时刻的值，即系统在输入作用前的初始状态。

研究此初始状态影响下系统的时间响应时，可在式中取Xi（s）=0，得到在初始状态影响下系统的这一时间响应（即零输入响应）。

第12页,若si为系统特征方程D（s）=0的根（或称系统的特征根，亦即系统的传递函数的极点，i=1,2,n；

si可以为复数），且当si各不相同时，有,式中,第13页,由上可知，若系统所有特征根si的实部均为负值，即Resi0，则零输入响应最终将衰减到零，即这样的系统就是稳定的。

反之，若特征根中有一个或多个根具有正实部，则零输入响应随时间的推移而发散，即这样的系统就是不稳定的。

上述的结论对于任何初始状态只要不使系统超出其线性工作范围都是成立的而且当系统的特征根具有相同值时，也是成立的。

第14页,由上可见，式右端各基系数，对系统稳定性没有影响，这相当于系统传递函数的各零点对稳定性没有影响。

因为这些参数反映了系统与外界作用的关系，反映了外界输入作用于同一系统的不同处的特性，而不影响系统稳定性这个系统本身的固有特性。

第15页,若对线性系统在初始状态为零时输入单位脉冲函数d（t）（这实际上也是一些书籍中所讲的瞬间干扰），正如第三章所指出这等于使系统具有了一个初态。

再由此初态出发，可得到一个输出，即单位脉冲响应w（t）。

w（t）的形式与零输入响应的形式相同。

显然，若则系统稳定；

若，则系统不稳定。

正如第三章所指出，因为,方法

（2）,第16页,因此系统的单位脉冲响应,这一结论与第三章有关结论是一致的，可见只有当系统的全部特征根si（i=1,2,n）都具有负实部时，才有,第17页,此处建议读者根据第节与第节进一步理解如下论述：

如果所指的系统初态是包括无输入时的初态与输入所引起的初态，或只是输入所引起的初态，则系统是否稳定应由此时的过渡过程随着时间的推移是否收敛至一个稳态响应来决定，而这是与本小节开始时讲的系统的稳定性的定义是一致的；

此时过渡过程是否收敛也仅仅取决于系统的全部特征根是否都具有负实部。

从这点出发，记者还可以考虑，有无可能对系统施加合适的输入进而判明系统的稳定性。

第18页,综上所述，可以证明，不论系统的特征根是否相同，系统稳定的充要条件为：

系统的全部特征根都具有负实部；

反之，若特征根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统必不稳定。

也就是说，若系统传递函数G（s）的全部极位于s平面的左半平面，则系统不稳定；

反之，若有一个或一个以上的极点位于s平面的右半平面，则系统不稳定；

若有部分极点位于战轴上，百其余的极点均在s平面的左半平面，则系统称为临界稳定，即xo（t）或w（t）趋于等幅谐波振荡。

第19页,由于对系统参数的估算或测量可能不够准确，而且系统在实际运行过程中，参数值也可能有变动，因此原来处于虚轴上的极点实际上可能变动到s平面的右半平面，致使系统不稳定。

从工程控制的实际情况看，一般认为临界稳定实际上往往属于不稳定。

应当指出，上述不稳定区虽然包括虚轴jw，但并不包括虚轴所通过的坐标原点，因为在这一点上，相当于特征方程之根si=0，系统仍属稳定。

（si=0表明第i个环节为积分环节。

）,比较式可知，上述两种方法从不同的角度出发得到了同一结论；

定常线性系统是否稳定完全取决于系统的特征根si，而初态只是决定esit的系数而已。

第20页,1、李亚普诺夫意义下的稳定性,由上分析可知，对于定常线性系统而言，系统由一定初态引起的响应随着时间的推移只有三种情况：

衰减到零；

发散到无穷大；

趋于等幅谐波振荡。

从而军政府了系统是稳定的、不稳的、临界稳定的。

但对于非线性系统而言，这种响应随差时间的推移不仅可能有上述三种情况，而且还可能趋于某一非零的常值或作非谐波的振荡，同时还可能由初态不同，这种响应随着时间推移的结果民不同。

因此，对于右面线性系统，以上对定常线性系统所讲的稳定性定义就不够用了，同理，以后对定常线性系统所讲的稳定性判据就不能用了。

三、关于稳定性的一些提法,第21页,如图所示，若o为系统的平衡工作点，扰动使系统偏离此工作点的起始偏差（即初态）不超过域h，由扰动引起的输出（这种初态引起的零输入响应）及其终态不超过预先经定的某值，即不超出域e，则系统称为稳定的，或称为李亚普诺夫意义下稳定。

这也就是说若要求系统的输出不能超出任意给定的正数e，而又不能找到不为零的正数h，能在初态为,俄国学者李亚普诺夫在统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题后，于1882年对系统稳定性提出了严密的数学定义，这一定义可以表述如下。

h（e）,e,o,第22页,的情况下满足输出为,式中k=0,1,2,，则系统称为在李亚普诺夫意义下稳定；

反之，若要求系统的输出不能超出任意给定的正数e，但却不能找到不为零的正数h来满足式，则系统称为在李亚普诺夫意义下不稳定。

第23页,2、渐近稳定性,渐近稳定性就是前面对线性系统定义的稳定性，它要求由初态引起的响应最终衰减到零，因此，一般所讲的线性系统的稳定性，也就是渐近稳定性，当然，也是李亚普诺夫意义下的稳定性；

但对非线性系统而言，这两种稳定性是不同的。

第24页,比较渐近稳定性与李亚普诺夫意义下的稳定性可知，前者比后者对系统的稳定性的要求高，系统若是渐近稳定的则一定是李亚普诺夫意义下稳定的，反之则不尽然。

在此应指出，在讨论李亚普诺夫意义下稳定性问题时，一般都将系统在工作过程中原平衡工作点的状态取为零态。

这样做的结果是可使扰动所引起此状态的改变或偏离作为初态，于是就可以简化对问题的讨论与研究。

第25页,3、“小偏差”稳定性,“小偏差”稳定性又称“小偏差”或“局部稳定性”。

由于实际系统往往存在非线性，因此，系统的动力学往往是建立在“小偏差”线性化的基础之上的。

在偏差较大时，线性化带来的误差太大。

因此，用线性化方程来研究系统的稳定性时，就只限于讨论初始偏差（初态）不超出某一微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。

初始偏大时，就不能用来讨论系统的稳定性。

由于实际系统在发生等幅振荡时的幅值一般并不大，亦即系统在振荡时偏离平衡位置的偏差一般不大，因此这种“小偏差”稳定性仍有一定的实际意义。

第26页,如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为“在大范围内渐近稳定”。

在工程控制中，一般是希望系统在大范围内渐近稳定，如果系统不是这样，则需确定系统渐近稳定的最大范围，并使扰动产生的初始偏差不超出此范围。

以下讨论的问题都是定常线性系统稳定性的问题。

这种稳定性当然是大范围内的渐近稳定性（关于非线性系统的稳定性将在第七章阐述）。

第27页,第28页,定常线性系统稳定的充要条件是其全部特征根均具有负实部。

系统稳定、不稳定时根的分布图：

第29页,5.2Routh（劳斯）稳定判据,定常线性系统稳定的充要条件是其全部特征根均具有负实部。

判别系统的稳定性，也就是要解出系统特征方程的根，看这些根是否均具有负实部。

但在实际工作系统中，特征方程式的阶次往往较高，当阶次高于4时，根的求解就较困难。

为避开对特征方程的直接求解，就只好讨论特征根的分布，看其是否全部具有负实部，以此来判别系统的稳定性，由此形成了一系列稳定性判据。

其中最重要的一个判据就是1884年由Routh提出的Routh判据。

系统稳定是一个控制系统能否在实际中投入使用的首要条件。

第30页,5.2Routh（劳斯）稳定判据,定常线性系统稳定的充要条件是其全部特征根均具有负实部。

第31页,一、系统稳定的必要条件,设系统特征方程为：

再将上式右边展开，得,不讲解证明，只讲解结论,第32页,对上面的两式加以比较可以看出根与系数有如下的关系：

第33页,从上式可知，要使全部特征根s1,s2,sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件，即系统稳定的必要条件。

（2）特征方程的各项系数ai的符号都相同，这样才能满足式中各式。

按习惯，一般取an为正值，因此，上述两个条件可归结为系统稳定的一个必要条件，即,

（1）特征方程的各项系数ai（i=0,1,2,n-1,n）都不等于零。

因为若有一系数为零，则必出现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根，才能满足式中各式，此时系统为临界稳定或不稳定。

第34页,当然，由式还可看出，仅仅有各项系数ai0，还不一定能判定s1,s2,sn均具有负实部，也许特征根中有正有负，它们组合起来仍能满足各式。

上述条件仅仅是必要条件。

第35页,二、系统稳定的充要条件,1、Routh表,第36页,一直进行到其余的值全部等于零为止。

第四行各元由下式计算：

第37页,第38页,2.Routh稳定判据（证略）（an0）劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则其特征方程式的根都在s平面的左半平面，相应的系统稳定。

反之，如果第一列系数的符号有变化（出现小于或等于零的数），系统不稳定，而且第一列各系数符号的改变次数，等于特征方程的根在s平面的右半平面上的根的数目。

注意：

劳斯表的每一行右边要计算到零为止；

总行数应为n+1;

如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于a0；

第39页,例1系统的特征方程为：

因其系数符号不同，因此，不满足稳定的必要条件，系统不稳定。

本来无需再用Routh表来检验，但应用Routh表还可以确知其具有正实部特征根的个数。

列Routh表如下：

第40页,符号变化一次,符号变化一次,系统不稳定，系统有两个具有正实部的特征根。

若直接求解特征方程，可得其四个特征根为-1，2，3和-5，其中有两个为正，故与用Routh判据所得结论是一致的。

可见，应用Routh判据可在不求解特征根的情况下，判明系统的稳定性。

-5.00003.00002.0000-1.0000,第41页,对于阶次较低的系统（如二阶和三阶系统），Routh稳定判据可以化为如下的简单形式。

（2）三阶系统（n=3）稳定的充要条件为：

（1）二阶系统（n=2）稳定的充要条件为：

第42页,上式中，由a1a2-a0a30可看出，在a3,a2和a0均为正的情况下，若a1为负，则不能满足上式，因此必须a10。

其实，这就是a3,a2,a1,a0均应大于零。

但是，从a3,a2,a1,a0均大于零却不能导出a1a2-a0a30。

上式中，充要条件之一a1a2-a0a30可改写为a1a2a0a3，它表示中间二项系数之积应大于前后两项系数之积。

因此，对于三阶系统，只要样验其特征方程的系数，若不满足上述条件，就可立即判断为不稳定；

若满足上述条件，且各项系数均为正，则为稳定。

第43页,例2设有系统的方框图如图所示。

已知z=0.2及wn=86.6s-1，试确定K取何值时，系统方能稳定。

解先求出其开环传递函数与闭环传递函数。

第44页,闭环传递函数的特征方程为：

将已知参数z=0.2及wn=86.6s-1的数值代入上式，得,第45页,列Routh表,由Routh表可知，系统稳定必须满足如下条件：

第46页,例3设某系统的特征方程,解根据特征方程的各项系数，列出Routh表,试确定待定参数l及m，以便使系统稳定。

第47页,结论：

l0和m1时系统稳定。

第48页,例系统特征方程为s42s33s24s5=0，试用劳斯判据判别系统是否稳定；

若不稳定，确定正实部根的数目。

因第一列出现负数，系统是不稳定的。

且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。

如题意只要求判别稳定性，则计算至出现符号改变即可结束。

否则应计算到n+1行。

解根据特征方程系数计算劳斯表,练习,0.2878+1.4161i0.2878-1.4161i-1.2878+0.8579i-1.2878-0.8579i,第49页,因第一列出现负数，系统是不稳定的。

例某系统特征方程为s43s33s22s2=0，试用劳斯判据判断系统的稳定性。

解根据特征方程系数计算劳斯表,-1.5661+0.4588i-1.5661-0.4588i0.0661+0.8641i0.0661-0.8641i,第50页,特殊情况一：

如果在Routh表的某一行中，第一列为零，而其余各元不为零或部分不为零，则在计算下一行第一个元时，该元必将趋于无穷大。

于是，Routh表的计算将无法进行。

为了克服这一困难，可以用一个很小的正数e来代替第一列等于零的元，然后计算Routh表的其余各元。

三、Routh判据的特殊情况,第51页,例设系统的特征方程为试判别系统的稳定性。

解列Routh表：

符号变化一次,符号变化一次,第一列各元符号不完全一致，所以系统不稳定。

第一列各元符号改变次数为2，因此有两个具有正实部的根。

若e上下各元符号不变，且第一列元符号均为正，则有共轭虚根，此时系统是临界稳定的，而非渐近稳定。

第52页,特殊情况二：

如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，系统的特征根中，或存在两符号相异、绝对值相同的实根；

或存在一对共轭纯虚根；

或上述两种类型的根同时存在；

或存在实部符号相异、虚部数值相同的两对共轭复数根。

在这种情况下，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程的导数的系数组成Routh表的下一行。

这样，Routh表中其余各元的计算才可能继续进行下去。

这些数值相同、符号相同的成对的特征根，可通过解由辅助多项式构成的辅助方程得到，即2p阶的辅助多项式有这样的p对特征根。

第53页,例：

设控制系统的特征方程为,试用Routh表判别系统的稳定性。

在第三行Routh表值全部为0，无法继续计算下去，用上行（第二行）构成辅助方程：

上式表明，有两对大小相等符号相反的根存在。

这两对根通过解F（s）=0可得到。

取F（s）对s的导数，得新方程,第54页,s3行中各元，可用引方程中的系数，即8和96代替，继续进行运算,此表第一列各元符号改变次数为1，因此断定该系统包含一个具有正实部的特征根，系统是不稳定的。

解辅助方程,即得出两组数值相同、符号相异的根。

这两对根是原方程的根和一部分。

s=1；

s=j5,第55页,Matlab程序绘制闭环极点：

clearall;

closeall;

p=122448-25-50;

r=roots（p）;

h=plot（real（r）,imag（r）,rX）;

set（h,linewidth,5,markersize,16）;

set（gca,fontsize,18）;

gridon,第56页,例：

某控制系统的特征方程为下式，试判断系统的稳定性。

解：

据特征方程列Routh表,在第四行Routh表值全部为0，无法继续计算下去，用上行构成辅助多项式：

P（s）对s进行求导：

用其系数代替全为0的一行，继续计算Routh表。

（注意播放次序）,第一列值全为正，说明该系统在S平面的右半平面没有极点。

令P（s）=0，则有及存在共轭虚根，系统处于临界稳定状态。

（还有两根）,-0.0000+2.0000i-0.0000-2.0000i-1.0000+1.0000i-1.0000-1.0000i0.0000+1.4142i0.0000-1.4142i,系统是不稳定的！

第57页,Matlab程序绘制闭环极点：

p=12812201616;

gridon,第58页,思考题：

某控制系统传递函数框图如图所示。

已知T1=0.1，T2=0.25试求：

（1）系统稳定时K值取范围；

（2）若要求系统的特征根均位于s=-1垂线的左侧，K值的取值范围。

参考答案：

第59页,用Matlab进行两个多项式的乘积：

第2问中，设z=s+1,也就是s=z-1,a=1,-1;

b=0.35.*conv（a,a）c=0.025.*conv（a,b）;

a=00a;

b=0b;

d=a+b+c;

%在d中没有包括参量K%,第60页,5.3Nyquist（乃奎斯特）稳定判据,时域中闭环系统稳定的充分必要条件是特征根都具有负的实部，即位于s平面的左半部，可用代数判据Routh判据判断。

1932年Nyquist将映射原理用于控制理论的研究，成功地解决了经典控制理论中系统稳定性的分析问题。

本节介绍工程实用的图解法判据Nyquist（奈奎斯特）判据，在下一节中将介绍基于Bode（伯德）图的系统稳定性分析。

第61页,Nyquist判据是利用系统开环Nyquist频率特性判断闭环系统稳定性的图解法，它是一种几何判据。

可用于判断闭环系统的绝对稳定性，也能计算系统的相对稳定性；

对于不稳定的系统，还可以根据乃氏判据寻求改善系统性能的方法。

Nyquist稳定判据的数学基础是复变函数中的幅角原理,第62页,一、辐角原理（Cauchy定理）,s=s+jw是s平面上的点，将按上式的函数关系映射到F（s）平面上的相应点F（s）=u+jv：

零点将映射到F（s）平面上的原点；

极点将映射到F（s）平面上的无限远点；

普通点将映射到F（s）平面上除原点外的有限值点。

Nyquist判据依据复变函数中的映射原理。

设有一复变函数：

第63页,LF曲线到底是什么形状我们并不关心它，关心的是：

LF包围坐标原点吗？

若LF包围原点，围了多少圈？

沿什么方向？

jw,0,s,s1,s2,s3,0,Re,Im,F（s1）,F（s2）,F（s3）,第64页,第65页,假设Ls内只包围了F（s）的一个零点zi，其他零极点均位于Ls之外，当s沿Ls顺时针方向移动一周时，向量（s+zi）的相位角变化2p弧度，而其他各向量的相位角变化为零。

即向量F（s）的相位角变化为-2p，或者说F（s）在F（s）平面上沿LF绕原点顺时针转了一周。

第66页,若s平面上的封闭曲线包围着F（s）的Z个零点，则在F（s）平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转Z圈。

同理可推知，若s平面内的封闭曲线包围着F（s）的P个极点，则F（s）在平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P圈。

若Ls包围了F（s）的Z个零点和P个极点，则F（s）平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P圈。

第67页,幅角原理：

设除了有限个奇点外，F（s）为单值连续正则函数。

如果s平面上不经过F（s）的任何奇点的封闭曲线Ls中包含了F（s）的P个极点和Z个零点，则当动点s顺时针在Ls上围绕一周时,映射到F（s）平面上的闭曲线LF将顺时针围绕坐标原点N次，且有,第68页,二、乃奎斯特（Nyquist）稳定判据,第69页,系统的特征方程为：

参考,第70页,可写为：

第71页,由上述三式可以推知：

闭环传递函数,开环传递函数,零点,零点,极点,极点,极点,零点,GK（s）,GB（s）,F（s）,第72页,定常线性系统稳定的充要条件是，其闭环系统的特征方程1+G（s）H（s）=0的全部根具有负实部，即GB（s）在s平面的右半平面没有极点，亦即F（s）在s平面的右半平面没有零点。

第73页,为研究F（s）有无零点位于s平面的右半平面，可选择一条包围整个s右半平面的封闭曲线Ls，Ls由两部分组成，其中，L1为w=-到+的整个虚轴，L2为半径R趋于无穷大的半圆弧。

因此，Ls封闭地包围了整个s平面的右半平面。

这一封闭曲线Ls即为s平面上的Nyquist轨迹。

当w由-变到+时，轨迹的方向为顺时针方向。

第74页,由于在应用幅角原理时，Ls不能通过F（s）函数的任何极点，所以当函数F（s）有若干个极点处