最新北师大版八年级数学上册《71为什么要证明》学案.docx
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最新北师大版八年级数学上册《71为什么要证明》学案
新北师大版八年级数学上册《7.1为什么要证明》学案
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解通过观察、猜测得到的结论不一定正确；
2、要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
【重点难点】要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
知识概览图
你能肯定吗
新课导引
观察下图中的图形．图
（1）中AB，CD的位置关系是怎样的?
图
（2）中线段a与b相等吗?
图（3）中线段d与a，b，c哪一条在同一直线上?
【问题探究】观察图形，图
（1）中AB∥CD，图
（2）中线段a＝b，图（3）中线段d与a在同一条直线上，那么你知道用什么方法来检验对上述问题回答的正确与否呢?
点拨对于上面观察得到的数学结论可以用实验验证后加以检验．
教材精华
知识点观察和实验得到的结论可靠吗
教材中首先给出了一个几何问题，经过反复画不同形状的四边形，反复度量，可能会得出“顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形”的结论，但是我们的度量准确吗?
我们所画的几个四边形有足够的代表性吗?
我们的结论肯定能成立吗?
教材中给出的第二个例子是“对于所有自然数n，n2-n+11的值都是质数吗?
”这是一个十分容易得出错误结论的问题．事实上，当n=0，1，2，…，9，10时，n2-n+11的值都是质数，而当n＝11时，n2-n+11＝112变成了合数．当我们依次对自然数进行实验时，若次数达不到11，则很可能得出错误结论．
教材中给出的第三个例子是“用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大?
能放进一颗红枣吗?
能放进一个拳头吗?
”这个问题若凭直觉去判断，偌大一个地球，围赤道的铁丝仅比赤道长1m，那还剩什么间隙了，但实际计算一下，又会让人感到意外，铁丝与地球赤道之间的间隙为（C表示赤道的周长）
≈0.16（m），这样的间隙不仅可以放进一颗红枣，而且也能放进一个拳头．
通过上面几个例子，会使我们产生这样的认识：
通过观察、验证、归纳、猜想所得出的结论未必是正确的，是值得怀疑的．这样就引出了一个问题——如何判断一个数学结论的正确与否呢?
拓展
（1）依靠经验、观察或实验能发现一些数学结论．
（2）要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观察或实验是不够的，必须进行推理，这也就是证明的必要性．（3）检验数学结论的常用方法：
①实验验证；②举出反例；③推理．（4）遇到问题要大胆猜测并尝试用所学知识证明结论．
课堂检测
基础知识应用题
1、当n为正整数时，式子n2+n+41的值都是质数吗?
综合应用题
2、观察下列各式及其验证过程．
验证：
2
3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4
的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式所反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并进行验证．
探索创新题
3、如图6-2所示，线段AM∥DN，直线l与AM，DN分别交于点B，C，直线l绕BC的中点P旋转（点C由D点向N点方向移动）．
（1）线段BC与AD，AB，CD围成的图形在初始状态下，形状是△ABD（即△ABC），请你写出变化过程中其余的各种特殊四边形的名称；
（2）任取变化过程中的两个图形，测量AB，CD的长度后，分别计算每一个图形中的AB+CD（结果精确到1cm），比较这两个和是否相等，试说明理由．
体验中考
1、如图6-5所示的是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由个基础图形组成．
2、如图6—6所示，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE＝AB，过点C作CF⊥DE，垂足为E．
（1）猜想AD与CF的大小关系；
（2）请证明猜想的结论．
学后反思
附：
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析本题主要考查举出反例的方法来判断问题．
解：
当n＝40时，式子n2+n+41＝402+40+41＝412，412不是质数．
∴当n为正整数时，式子n2+n+41的值不都是质数．
【解题策略】解此题的方法是举出反例对问题作出判断．
2.解：
（1）4
验证：
4
（2）由题设及
（1）可猜想：
对于任意自然数n（n≥2），
都有n
验证：
n
＝
【解题策略】此题运用由特殊到一般的思想对问题作出猜想，并加以推理论证．
3、
分析此题用动态的思维方式来研究图形的变化情况．CB以中点P为中心，点C由D点向N点移动，且CB是按顺时针方向旋转的．
解：
（1）其余的各种特殊四边形分别为一般梯形、等腰梯形、直角梯形和平行四边形．
（2）经测量、计算，两个图形中的AB+CD都相等．如图6-3所示，过点P作PP′∥AM，交AD于点P′，
∴PP′是梯形AB1C1D的中位线，
∴AB1+C1D＝2PP′．同理AB2+C2D＝2PP′，
∴这两个和是相等的．
体验中考
1、分析第
（1）个图中有4个基础图形，即3×1+1．
第
（2）个图中有7个基础图形，即3×2+1．
第（3）个图中有10个基础图形，即3×3+1．
第（4）个图中有13个基础图形，即3×4+1．
……
第n个图中有3·n+1＝3n+1．故填3n+1．
【解题策略】解决本题的关键是准确地找出其中的规律．
2、分析通过观察，再根据已知条件，可猜想AD＝CF．再运用理论进行推理论证猜想的结论正确．
解：
（1）AD＝CF．
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠FDC，
∵DE＝AB＝CD．
又∵CF⊥DE，∴∠CFD＝∠A＝90°，
在△AED和△FDC中，（∠A＝∠CFD，∠AED＝∠FDC，DE＝DC），
∴△AED≌△FDC，∴AD＝CF．
7.2定义与命题
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、定义和命题的含义；会判断某些语句是不是命题；
2、了解命题的构成，能区分命题中的条件和结论；
3、了解命题中的真命题、假命题、定理的含义；
【重点难点】
1、定义和命题的含义
2、命题的构成，能区分命题中的条件和结论
3、命题中的真命题、假命题、定理的含义
知识概览图
定义与命题
新课导引
我们前面学习了很多数学语句，如：
能使方程成立的未知数的值，叫做方程的解；三角形的内角和等于180°．
【问题探究】阅读上述语句你发现有什么特点?
点拨第一句是对“方程的解”的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出“方程的解”的定义；第二句是判断一件事情的句子，我们把它叫做命题．
教材精华
知识点1定义
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义．
例如：
“有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角；是“对顶角”的定义.
拓展在定义中，必须提示该事物与其他事物的本质属性的区别，定义必须严密．
知识点2命题
判断一件事情的句子，叫做命题．
例如：
张平的爸爸是劳动模范；同位角相等，两直线平行；老虎会爬树；小红每次考数学，成绩都是全班第一．这些都是命题．
知识点3命题的条件和结论
每个命题都由条件和结论两部分组成，条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项．一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式，其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．
例如：
命题“如果a＝b，b＝c，那么a＝c”中，“a＝b，b＝c”是条件，“a＝c”是结论．
又如：
命题“矩形的四个顶角都相等”中，“矩形”是条件，“四个顶角都相等”是结论.
知识点4真命题与假命题
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题．
例如：
“如果一个三角形中有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形”是真命题；“菱形的四个角都相等”是假命题；“等边三角形的三个内角都是60°”是真命题．
要说明一个命题是假命题，通常可以举一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．当说明一个命题是假命题时，常举一个反例．
例如：
“若a2=b2，则a＝b”这一命题，我们知道（-2）2＝22，但-2≠2，由此可判断“若a2＝b2，则a＝b”是假命题．
知识拓展“错误的命题不是命题”是错误的，实际上错误的命题也是命题.
知识点5公理、定理、证明
挑选一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理．除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明．经过证明的真命题称为定理．
本套教材所选用的公理如下．
1．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
2．两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
3．两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
4．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．
5．三边对应相等的两个三角形全等．
6．全等三角形的对应边相等、对应角相等．
此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理．
例如：
“如果直角三角形的直角边分别为a，b，斜边为c“那么a2+b2＝c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”是定理．
又如：
“经过平移，对应线段、对应角分别相等，对应点所连的线段平行且相等”是定理．
如何证明将在以后的几节中介绍．
课堂检测
基础知识应用题
1、判断下列句子是不是命题．
（1）人离不开空气；
（2）洪水滔滔；
（3）若a>b，b>c，则a>c；
（4）自然数不是负数；
（5）我们现在学习的图形主要是平面图形；
（6）延长线段AB；
（7）梯形中没有相互平行的线段．
2、下列命题的条件是什么?
结论是什么?
是真命题还是假命题?
（1）每一个有理数都对应数轴上的一个点；
（2）一个三角形的三个内角中，可能有两个钝角；
（3）小红的三角板中有—个钝角；
（4）任何一条线段都是由无数个点组成的．
综合应用题
3、下列语句中，哪些是命题?
哪些不是命题?
如果是命题．指出它是真命题还是假命题．
（1）小于直角的角是锐角；
（2）一个角的补角只有一个；
（3）∠l与∠2是同旁内角吗?
（4）直线AB与CD相交于点C；
（5）平面内两条相交直线不可能垂直于同一条直线．
探索创新题
4、某中学开田径运动会，其中一个项目是由5名运动员进行100米短跑比赛，赛后5名观众介绍了这场比赛结果：
甲说：
“A是第二名，B是第三名．”
乙说：
“C是第三名，D是第五名．”
丙说：
“D是第一名，C是第二名.”
丁说；“A是第二名，E是第四名．”
戊说：
“B是第一名，E是第四名．”
他们最后都声明：
“我们的话只有一半是真的．”求这5名运动员的名次究竟各是多少.
体验中考
1、判断下列两个结论：
①正三角形是轴对称图形，②正三角形是中心对称图形，正确的是（）
A.①②都正确B．①②都错误
C．①正确，②错误D．①错误，②正确
2、已知下列命题：
①若|x|＝3，则x＝3；②当a>b时，若c>0，则ac>bc；③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；④矩形的两条对角线相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
学后反思
附：
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析看一个句子是不是命题，主要看这个句子里是否隐含着条件和结论这两个部分，或者这个句子能否改写咸“如果……那么……”的形式．
解：
（1）是．
（2）不是．（3）是．（4）是．（5）是．（6）不是．（7）是．
【解题策略】根据命题的概念及结论来判断
2解：
（1）条件是“每一个有理数”，结论是“都对应数轴上的一个点”．是真命题．
（2）条件是“一个三角形的三个内角中”，结论是“可能有两个钝角”．是假命题．
（3）条件是“小红的三角板”，结论是“其中有一个钝角”．是假命题．
（4）条件是“任何一条线段”，结论是“都是由无数个点组成的”．是真命题．
3、
分析命题是判断某一件事情的句子，即命题一定要对某件事情下结论，不管这个结论是正确的还是错误的，因此疑问句或一般陈述句都不是命题，即（3）（4）都不是命题．命题中如果结论正确就是真命题，如果结论错误就是假命题，而不必管其语句的形式是肯定还是否定．在本题所给的语句中，
（2）显然是混淆了补角与邻补角的概念，所以
（2）是假命题．
解：
（1）
（2）（5）是命题；
（1）（5）是真命题；
（2）是假命题．
【解题策略】首先找出命题，再从命题中指出真命题；学会利用反例来证明一个命题是错误．
4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况（分别见表1和表2）．
表1
A
B
C
D
E
甲
2√
3×
乙
3√
5×
丙
2×
1√
丁
2√
4×
戊
1√
4×
表2
A
B
C
D
E
甲
2×
3√
乙
3×
5√
丙
2√
1×
丁
2×
4√
戊
1×
4√
解：
①若甲认为A为第二名是真的，则B为第三名是假的，这样可以依次推出：
丙认为D为第一名是真的，丁认为E为第四名是假的，戊认为B是第一名是真的，这样B，D都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去（见表1）．②若甲认为A为第二名是假的，则B为第三名是真的，这样可以依次推出：
乙认为D为第五名是真的，丙认为C为第二名是真的，丁认为E为第四名是真的，戊认为B为第一名是假的（见表2）．所以A，B，C，D，E的名次分别为1，3，2，5，4．
体验中考
1、分析本题是考查轴对称图形和中心对称图形的概念，正三角形是轴对称图形，有三条对称轴，但它不是中心对称图形而是旋转对称图形．故选C．
解题策略解决本题的关键是把握好轴对称图形和中心对称图形的概念.
2、分析原命题与逆命题均为真命题的有②③．故选B．
7.3为什么它们平行
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、熟练掌握证明的基本步骤和书写格式；
2、会根据“同位角相等，两直线平行”（公理）证明“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”（定理），并能应用这些结论.
【重点难点】
1、证明的基本步骤和书写格式
2、两直线平行的判定公理及两个判定定理
知识概览图
为什么它们平行
新课导引
同学们在物理中学到了潜望镜，如右图所示，在镜管中，AB与CD是两块与水平方向成45°角的平面镜，这样水面上的光线就可以进入到人的眼睛．
【问题探究】观察上图可知入射光线与射入到人眼的光线是平行的，你知道它们为什么平行吗?
点拨因为内错角相等，两直线平行.
教材精华
知识点1两直线平行的判定公理及两个判定定理
两直线平行的判定公理．
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：
同位角相等，两直线平行．
两直线平行的判定定理．
（1）两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：
同旁内角互补，两直线平行．
（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：
内错角相等，两直线平行．
知识点2利用已有知识证明简单的几何问题
证明步骤：
（1）根据题意画出图形；
（2）依照所画图形，将条件写为已知，结论写为求证；（3）根据已有的定义、定理进行推理论证．
知识拓展
（1）当题中给出图形、已知、求证时，直接论证即可；
（2）为了方便，在证明过程中，用“∵”’代替因为，“∴”代替所以．分别读作因为、所以．
规律方法小结1．有关平行线的判定如下表：
（推论的概念以后将学到）
2．证明两条直线平行有以下几种方法：
（1）从“角”的方面去考虑，即去找同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．
（2）证平行四边形，得对边平行.（3）三角形三条中位线分别平行于三边．（4）梯形中位线平行于两底．（5）证比例线段，得两直线平行.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图6-14所示，直线a，b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠3＝180°．其中能判定a∥b的是（）
A．①②③④B．①③④
C．①③D.②④
综合应用题
2、如图6-16所示，根据图形及上下文的含义推理并填空．
（1）∵∠A＝（已知），∴AC∥ED（）；
（2）∵∠1＝（已知），∴AC∥ED（）；
（3）∵∠A+＝180°（已知），∴AB∥FD（）；
（4）∵∠1+＝180°（已知），∴AC∥DE（）．
探索创新题
3、已知如图6-18所示，∠1＝∠2，OE⊥OA于点O，EH⊥CD于点H，∠5＝∠6．求证BE∥AO．
体验中考
1、如图6-20所示，已知∠l＝∠2，∠3＝55°，则∠4的度数是（）
A．110°B．115°
C．120°D．125°
2、如图6-2l所示，AB∥CD，直线l分别与AB，CD相交，若∠1＝130°，则∠2等于（）
A．40°B．50°
C.130°D．140°
学后反思
附：
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析本题主要考查判断两直线平行的方法及对顶角、邻补角的性质．∵∠1＝∠2，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．∵∠4+∠7＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．∵∠2＝∠3，∴∠5+∠3＝∠5+∠2＝180°，∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．故选B.
解题策略熟练掌握平行线判定方法.
2分析本题主要考查两直线平行的判定方法．
答案：
（1）∠BED同位角相等，两直线平行
（2）∠DFC内错角相等，两直线平行（3）∠AFD同旁内角互补，两直线平行（4）∠DFA同旁内角互补，两直线平行.
【解题策略】灵活运用平行线的判定方法．
3、证明：
∵OE⊥OA，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠4＝90°．
又∵EH⊥CD，∴∠4+∠6＝90°．
∴∠1＝∠6．又∵∠5＝∠6，∴∠1＝∠5．
又∵∠1＝∠2，∴∠5＝∠2．
∴BE∥AO（内错角相等，两直线平行）．
【解题策略】要证BE∥AO，则需找BE，AO被OB所截得到的内错角，即证∠2=∠5即可.
4、分析我们将5名观众介绍的结果列成表，用打“√”和打“×”来分别表示他们说真话和说假话，由于他们每人的介绍半真半假，故表中每行都应打一“√”和一“×”，从甲的介绍入手讨论，有两种情况（分别见表1和表2）．
表1
A
B
C
D
E
甲
2√
3×
乙
3√
5×
丙
2×
1√
丁
2√
4×
戊
1√
4×
表2
A
B
C
D
E
甲
2×
3√
乙
3×
5√
丙
2√
1×
丁
2×
4√
戊
1×
4√
解：
①若甲认为A为第二名是真的，则B为第三名是假的，这样可以依次推出：
丙认为D为第一名是真的，丁认为E为第四名是假的，戊认为B是第一名是真的，这样B，D都是第一名．从而产生了矛盾，这种情况应舍去（见表1）．②若甲认为A为第二名是假的，则B为第三名是真的，这样可以依次推出：
乙认为D为第五名是真的，丙认为C为第二名是真的，丁认为E为第四名是真的，戊认为B为第一名是假的（见表2）．所以A，B，C，D，E的名次分别为1，3，2，5，4．
体验中考
1、分析本题主要考查直线截平行线所成角的位置关系，由图6—20可知∠4＝∠5，∠2＝∠6，由∠1＝∠2可知∠1＝∠6，故l1∥l2，所以∠3+∠5＝180°（两直线平行，同旁内角互补），故∠4＝∠5＝180°-∠3＝180°-55°＝125°.故选D.
2、分析因为AB∥CD，∠l与∠2为同位角，所以∠2＝∠l＝130°．故选C．
7.4平行线的性质
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、了解平行线性质定理和判定定理在条件和结论上的区别，体会互逆的思维过程；
2、能熟练应用平行线的性质公理及定理
【重点难点】两直线平行的性质公理及两个性质定理
知识概览图
如果两条直线平行
新课导引
你能测量如右图所示的斜坡的倾斜程度吗?
工人师傅是这样做的：
将量角器斜放在坡面上，取中心点引直线BC，当BC平行于水平面时，这时得到的角β的度数就是坡角α的度数.
教材精华
知识点两直线平行的性质公理及两个性质定理
两直线平行的性质公理.
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等（两直线平行，同位角相等）．
两直线平行的性质定理．
（1）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等（两直线平行，内错角相等）．
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（两直线平行，同旁内角互补）
平行线的性质补充结论．
（1）垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一条直线．
（2）夹在两平行线问的平行线段相等．
（3）两条平行线间的距离处处相等.
（4）经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行．
（5）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或者互补.
课堂检测
基础知识应用题
1、如图6-31所示，已知∠3＝∠4，若要使∠l＝∠2，则需（）
A．∠l＝∠3B.∠2＝∠3
C.∠l＝∠4D．AB∥CD
综合应用题
2、已知如图6-34所示，AB∥CD，∠1＝∠3．求证AC∥BD．
探索创新题
3、已知如图6-38所示，C，P，D在同一直线上，∠BAP与∠APD互补，∠1＝∠2．求证∠E＝∠F．
体验中考
1、如图6-40所示，直线AB，CD相交于点E，DF∥AB，若∠AEC＝100°，则∠D等于（）
A．70°B．80°C．90°D．100°
学后反思
附：
课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析当AB∥CD时，∠1+∠3＝∠2+∠4（两直线平行，内错角相等）．又∠3＝∠4，所以∠1＝∠2．故选D.
【解题策略】把已知条件和要求证的结论在一起分析可知，需要∠BAD＝∠CDA，因此需条件AB∥CD
2.证明：
∵AB∥CD（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠3＝∠2（等量代换）．
∴AC∥BD（同位角相等，两直线平行）．
【解题策略】此题在证明过程中首先使用了平行线的性质定理，然后又使用了平行线的判定公理，使证明的过程有了初步的综合性.
3、分析图中线段较多，所注字母也较多，应思路清晰．题中要证∠E＝∠F，显然必须先证AE∥FP，而要证得此结论，只有一对内错角可入手；再由已知两角互补能推出AB∥CD，这时能得出内错角∠BAP＝∠APC，再加上∠1＝∠2，便可推出所要证的结论．
证明：
∵∠BA
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