高中数学人教a版选修44学案第一讲 二 极坐标系 含答案.docx

高中数学人教a版选修44学案第一讲 二 极坐标系 含答案.docx

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高中数学人教a版选修44学案第一讲二极坐标系含答案

二

极_坐_标_系

1．极坐标系的概念

（1）极坐标系的建立：

在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．

（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：

对于平面上任意一点M，用ρ表示线段OM长度，用θ表示射线Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做点M的极坐标，记作M（ρ，θ）．

（3）极坐标与直角坐标的区别与联系

直角坐标

极坐标

区别

点与直角坐标是“一对一”的关系

由于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟一．因此点与极坐标是“一对多”的关系

联系

直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数

2．极坐标和直角坐标的互化

（1）互化的前提条件：

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．

（2）互化公式

，

.

点的极坐标

[例1]　已知点Q（ρ，θ），分别按下列条件求出点P的极坐标．

（1）点P是点Q关于极点O的对称点；

（2）点P是点Q关于直线θ＝

的对称点．

[思路点拨]　确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．

[解]　

（1）由于P，Q关于极点对称，得极径|OP|＝|OQ|，极角相差（2k＋1）π（k∈Z）．所以，点P的极坐标为（ρ，（2k＋1）π＋θ）或（－ρ，2kπ＋θ）（k∈Z）．

（2）由P、Q关于直线θ＝

对称，

得它们的极径|OP|＝|OQ|，

点P的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2kπ（k∈Z），

所以点P的坐标为

（ρ，（2k＋1）π－θ）或（－ρ，2kπ－θ）（k∈Z）．

设点M的极坐标是（ρ，θ），则M点关于极点的对称点的极坐标是（－ρ，θ）或（ρ，θ＋π）；M点关于极轴的对称点的极坐标是（ρ，－θ）；M点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是（ρ，π－θ）或（－ρ，－θ）．