函数的解析式和抽象函数定义域同步练习 菁优网.docx
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函数的解析式和抽象函数定义域同步练习菁优网
函数的解析式和抽象函数定义域同步练习
一、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）
1．（4分）f（x）=
，若f（x）=10，则x= _________ ．
2．（4分）抽象函数的定义域的求解：
（1）若函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x﹣1）的定义域为 _________ ；
（2）若函数f（x2﹣1）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x+1）的定义域为 _________ ．
二、解答题（共8小题，满分0分）
3．画出函数y=x|2﹣x|的图象．
4．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，试写出线段AP的长度y与P点的行路程x之间的函数关系式．
5．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式
观察法：
（1）
求f（x）；
换元法：
（2）f（x﹣2）=x2+3x+1求f（x）；
待定系数法：
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
复合函数的解析式：
（4）已知f（x）=x2﹣1，
，求f[g（x）]]和g[f（x）]的解析式，交代定义域．
6．若
，求f（x）．
7．函数f（x）满足条件f（x）=xf（﹣x）+10，求f（x）的解析式．
8．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x，求f（x）的表达式．
9．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），求函数g（x）的解析式．
10．已知二次函数h（x）与x轴的两交点为（﹣2，0），（3，0），且h（0）=﹣3，求h（x）．
函数的解析式和抽象函数定义域同步练习
参考答案与试题解析
一、填空题（共2小题，每小题4分，满分8分）
1．（4分）f（x）=
，若f（x）=10，则x= ﹣3 ．
考点：
分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．菁优网版权所有
专题：
分类讨论．
分析：
分x≤0和x＞0两种情况．x≤0时，f（x）=x2+1=10，x＞0时，f（x）=﹣2x=10分别解方程并分析并集即可．
解答：
解：
x≤0时，f（x）=x2+1=10，x=﹣3
x＞0时，f（x）=﹣2x=10，x=﹣5（舍去）
故答案为：
﹣3
点评：
本题考查分段函数求值问题，解决分段函数问题的关键是自变量在不同的范围内解析式不同．
2．（4分）抽象函数的定义域的求解：
（1）若函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x﹣1）的定义域为 [0，3] ；
（2）若函数f（x2﹣1）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x+1）的定义域为 [﹣2，2] ．
考点：
函数的定义域及其求法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）由题意知﹣1≤x﹣1≤2，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；
（2）由题意﹣1≤x≤2根据二次函数的性质求出x2﹣1的值域，是函数f（x）的定义域，再由﹣1≤x+1≤3求出x的范围，并用区间表示就是所求的定义域．
解答：
解：
（1）∵函数f（x）的定义域为[﹣1，2]，∴﹣1≤x﹣1≤2，解得0≤x≤3，
∴所求函数的定义域是[0，3]．
（2）由题意知，﹣1≤x≤2，则﹣1≤x2﹣1≤3，
∴函数f（x）的定义域是[﹣1，3]，
∴﹣1≤x+1≤3，解得﹣2≤x≤2，∴所求的函数定义域是[﹣2，2]．
故答案为：
[0，3]，[﹣2，2]．
点评：
本题的考点是抽象函数的定义域的求法，由两种类型：
①已知f（x）定义域为D，则f（g（x））的定义域是使
g（x）∈D有意义的x的集合，②已知f（g（x））的定义域为D，则g（x）在D上的值域，即为f（x）定义域．
二、解答题（共8小题，满分0分）
3．画出函数y=x|2﹣x|的图象．
考点：
函数的图象．菁优网版权所有
专题：
图表型．
分析：
先对原函数式中的绝对值内的式子进行分类讨论，将原函数式化成分段函数的形式，最后利用二次函数的图象即可画出函数y=x|2﹣x|的图象．
解答：
解：
函数y=x|2﹣x|=
它的图象是两段抛物线曲线组成．
函数y=x|2﹣x|的图象：
如图所示．
点评：
本题主要考查了函数的图象、考查学生的画图能力等基本知识．属于基础题．
4．动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D再回到A，试写出线段AP的长度y与P点的行路程x之间的函数关系式．
考点：
函数模型的选择与应用．菁优网版权所有
专题：
应用题；数形结合；分类讨论．
分析：
如图所示：
分当P在线段AB上，P在线段BC上，P在线段CD上，P在线段DA上四种情况，分别由勾股定理求解．
解答：
解：
根据题意：
当P在线段AB上时，即0≤x≤1时，y=x
当P在线段BC上时，即1＜x≤2时，y=
当P在线段CD上时，即2＜x≤3时，y=
当P在线段DA上时，即3＜x≤4时，y=4﹣x
∴
点评：
本题主要考查分段函数模型的建立，同时还考查了数形结合和分类讨论的思想．
5．根据下列条件分别求出函数f（x）的解析式
观察法：
（1）
求f（x）；
换元法：
（2）f（x﹣2）=x2+3x+1求f（x）；
待定系数法：
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，求f（x）；
复合函数的解析式：
（4）已知f（x）=x2﹣1，
，求f[g（x）]]和g[f（x）]的解析式，交代定义域．
考点：
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
（1）根据式子
=
﹣2将函数解析式进行变形，再把“
”换成x，注意x的范围；
（2）设t=x﹣2，则x=t+2，把x代入函数解析式化简后，把t换成x；
（3）设出函数的解析式f（x）=ax+b，代入题中的关系式整理后，使方程两边项的系数对应相等，求出a、b的值；
（4）由题意，求f[g（x）]]时把g（x）作为自变量x代入f（x）的解析式，化简并整理注意求出x的范围，
用同样的方法求g[f（x）]的解析式．
解答：
解：
（1）∵
=
﹣2，∴f（x）=x2﹣2（x≠0）；
（2）设t=x﹣2，则x=t+2，代入得：
f（t）=（t+2）2+3（t+2）+1=t2+7t+11，
∴f（x）=x2+7x+11；
（3）由题意设f（x）=ax+b，
∵3f（x+1）﹣2f（x﹣1）=2x+17，
∴3a（x+1）+3b﹣2a（x﹣1）﹣2b=2x+17，即ax+5a+b=2x+17，
则a=2且5a+b=17，解得a=2，b=7；
∴f（x）=2x+7．
（4）∵f（x）=x2﹣1，
（x≥﹣1），
∴f[g（x）]]=x+1﹣1=x（x≥﹣1），
∵x2﹣1≥﹣1，
∴g[f（x）]=
=|x|，且定义域是[﹣1，+∞）．
点评：
本题的考点是求函数的解析式的方法，考查了观察法、换元法、待定系数法，求复合函数的解析式时用了代入法，注意求出函数的定义域和每种方法适用的范围．
6．若
，求f（x）．
考点：
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
计算题；整体思想；换元法．
分析：
法一：
用换元法：
令t=
（t≥1）先求出f（t），然后求出f（x）
法二：
用配凑法：
由
，可得f（x）
解答：
解：
法一（换元法）：
令t=
，则x=（t﹣1）2且t≥1
f（t）=（t﹣1）2+2（t﹣1）=t2﹣1（t≥1）
f（x）=x2﹣1（x≥1）
法二（配凑法）：
=
f（x）=x2﹣1（x≥1）
点评：
本题是考查求函数解析式的两种常见的方法：
换元法、配凑法，换元法的关键是用新元代换已知代数式，要确定新元的范围；配凑法的关键是整体代换．
7．函数f（x）满足条件f（x）=xf（﹣x）+10，求f（x）的解析式．
考点：
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由f（x）=xf（﹣x）+10可得，f（﹣x）=﹣xf（x）+10，两式联立消去f（﹣x）可求f（x）
解答：
解：
∵f（x）=xf（﹣x）+10①
∴f（﹣x）=﹣xf（x）+10②
把②代入①消去f（﹣x）可得，f（x）=x[﹣xf（x）+10]+10
∴f（x）=
点评：
本题主要考查了利用消去法求函数的解析式，适用于用消去法的题目一般是给出一个条件，其中同时含有f（x）与f（﹣x）或同时含有f（x）与
等形式的常用消去法．
8．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）﹣f（x）=2x，求f（x）的表达式．
考点：
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
计算题；待定系数法．
分析：
先由二次函数，设出其解析式，再利用f（0）=1，求得c，再利用待定系数法应用f（x+1）﹣f（x）=2x求解．
解答：
解：
设f（x）=ax2+bx+c
由f（0）=1得c=1
∴f（x）=ax2+bx+1
∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+（2a+b）x+a+b+1
∴f（x+1）﹣f（x）=ax2+（2a+b）x+a+b+1﹣ax2﹣bx﹣1=2ax+a+b
∵f（x+1）﹣f（x）=2x
∴2ax+a+b=2x
∴2a=2且a+b=0
∴a=1，b=﹣1
∴f（x）=x2﹣x+1
点评：
本题主要考查用待定系数法求函数解析式，这类题目，一般是在定型之后，所采用的方法．
9．若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），求函数g（x）的解析式．
考点：
函数的表示方法．菁优网版权所有
专题：
计算题；整体思想．
分析：
利用g（x）与f（x）的关系，直接得出g（x+2）=2x+3，再根据整体换元思想或者观察配凑方法写出函数g（x）的解析式．
解答：
解：
g（x+2）=f（x）=2x+3=2（x+2）﹣1，从而g（x）=2x﹣1．
故函数g（x）的解析式为g（x）=2x﹣1．
点评：
本题考查复合函数解析式的求法，考查整体思想和换元法，属于基本题型．关键要理解复合函数的本质．
10．已知二次函数h（x）与x轴的两交点为（﹣2，0），（3，0），且h（0）=﹣3，求h（x）．
考点：
函数解析式的求解及常用方法．菁优网版权所有
专题：
计算题．
分析：
由题意可设二次函数的解析式h（x）=a（x﹣3）（x+2），把h（0）=﹣3代入可求a的值，从而求h（x）
解答：
解：
由题意可设二次函数的解析式h（x）=a（x﹣3）（x+2）
∵h（0）=﹣3，
∴
∴
点评：
本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式及二次函数解析式的两根式．二次函数的表达式有三种①一般式：
y=ax2+bx+c②两根式：
y=a（x﹣x1）（x﹣x2）③定点式：
y=a（x﹣h）2+k
参与本试卷答题和审题的老师有：
301137；吕静；gongjy；wdlxh；wodeqing；yhx01248（排名不分先后）
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2014年10月2日
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