广东初二数学下册知识点总结超经典docx.docx
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初二数学下知识点总结
函数及其相关概念
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一"变化过程屮有两个变量X与y,如果对于X的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的门变屋的取值的全体，叫做门变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
（1）解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表來表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法：
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一燉步骤
（1）列表：
列表给出白变量与函数的一些对应值
（2）描点：
以表中每对对应值为处标，在朋标平面内描出和应的点
（3）连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点川平滑的曲线连接起來。
正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一•般地，如果y=kx-^b（k,b是常数，k^O）,那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一
次函数y=kx+b中的b为0时，y=kx（k为常数，k^O）这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像所冇一次函数的图像都是一条直线。
3、一-次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数y=/a+b的图像是经过点（0,b）的直线；正比例函数y=kx的图像是经过原
点（0,0）的肓线。
（如下图）
4、正比例函数的性质一般地，正比例函数y=loc有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一•次函数的性质一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k〈0时，y随x的增人而减小
6、疋比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定止比例函数定义式y=kx（k^O）中的常数k。
确定一个一•次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+h
（k*0）屮的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法c
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
/
L
/
图像经过一、二、三彖限，y随x的增大而增大。
/0
X
b<0
k
图像经过一、三、四彖限，y随x的增大而增大。
0
/
/x
K<0
b>0
y
d
\
\A
图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
0
b<0
/
\
k
图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
N
A
X
\
注：
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
四边形
1.四边形的内角和与外角和定理:
（1）四边形的内角和等于360°；
（2）四边形的外角和等于360°.
2.多边形的内角和与外角和定理：
（1）n边形的内角和等于（n-2）180°；
（2）任意多边形的外角和等于360°.
3.平行四边形的性质:
因为ABCD是平行四边形=>
G）⑵⑶
（4）
⑸
两组对边分别平行;两组对边分别相等;两组对角分别相等;对角线互相平分；邻角互补.
4.平行四边形的判定：
（1）两组对边分别平行⑵两组对边分别相等
（3）两组对角分别相等⑷一组对边平行且相等
（5）对角线互相平分
ABCD是平行四边形.
5.矩形的性质:
（1）具有平行四边形的所有通性;因为ABCD是矩形》
（2）四个角都是直角；
（3）对角线相等.
AB
C
6.矩形的判定：
（1）平行四边形+—个直角'
⑵三个角都是直角四边形ABCD是矩形.
（3）对角线相等的平行四边形
）C
7.因;
=><
菱形的性质：
D
MABCD是菱形A
（1）具有平行四边形的所有通性；/\\n
（2）四个边都相等；|yc
⑶对角线垂直且平分对角./
B
8.菱形的判定：
D
（1）平行四边形+—组邻边等］
（2）W个边都相等n四边形四边形ABCD是菱形.a/p\r
（3）对角线垂直的平行四边形\I/
B
9.因;
=><
正方形的性质：
勺ABCD是正方形
（1）具有平行四边形的所有通性；
（2）四个边都相等,四个角都是直角;
（3）对角线相等垂直且平分对角.
DCDC
U凶
A〃
（1）AB
（2）（3）
10.正方形的判定：
（1）平行四边形+—组邻边等+—个直和］
⑵菱形+—个直用=四边形ABCD是正方形.
（3）矩形+—组邻边等
dc（3）VABCD是矩形
II又TAD二AB
・•・四边形ABCD是正方形
AB
H.等腰梯形的性质：
［⑴两底平行，两腰相等；AD
因为ABCD是等腰梯形=>
（2）同一底上的底角相等；
（3）对角线相筹./
BC
12.等腰梯形的判定：
（1）梯形+两腰相等'
（2）梯形+底角相等
四边形ABCD是等腰梯形
（3）梯形+对角线相等
AD
（3）VABCD是梯形且AD〃BC
VAC=BD
LAABCDP4边形是等腰梯形
B
c
14.三角形中位线定理
••
A
y\
三角形的中位线平行第三边，并TL
zAe
等于它的一半.
BC
15.梯形中位线定理：
DC
梯形的屮位线平行于两底，并且等
J\c
于两底和的一半.
Lo
1基本概念：
四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形，平行线间的距离，平行四边形，矩形，菱形，正方形，中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形,三角形中位线，梯形小位线.
2定理：
中心对称的有关定理
1.关于中心对称的两个图形是全等形.
2.关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
3.如果两个图形的对应点连线都经过某一•点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这
一点对称.
三公式：
1.S菱形二丄ab=ch.（a.b为菱形的对角线，c为菱形的边长,h为c边上的高）
2
2.S平行四边形二ah.a为平行四边形的边，h为a上的高）
3.S梯形=-（a+b）h=Lh.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）
2
四常识：
1.若n是多边形的边数，则対角线条数公式是：
巴匚亠
2
2.规则图形折叠一般“出一对全等，一对相似”.
3.如图：
平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.
4•常见图形中，仅是轴对称图形的有：
角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形……；仅是中心对称图形的有：
平行四边形……；是双对称图形的有：
线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆…….注意：
线段有两条对称轴.
探5・梯形中常见的辅助线:
平移与旋转
1.旋转的定义：
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。
2.旋转的性质：
旋转后得到的图形与原图形Z间有：
对应点到旋转中心的距离相等，旋转角相等。
中心对称
1.中心对称的定义：
如果一个图形绕某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么这两个图形叫做中心对称。
2.中心対称图形的定义：
如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做屮心对称图形。
3.中心对称的性质：
在中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经过对称中心，并H•被对称中心平分。
轴对称
1.轴对称的定义：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条肓线叫做对称轴。
2.轴对称图形的性质：
1角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2线段垂肓平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
3等膜三角形的“三线合一”。
3•轴对称的性质：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。
图形变换
图形变换的定义：
图形的平移、旋转、和轴对称统称为图形变换。
1、一元二次方程：
1概念：
只含有一个未知数，且可以化为ax2+bx^-c=O（a,b,c为常数，且OHO）的整式方程叫做一元二次方程。
ax2+bx+c=0是一元二次方程的一般形式。
具中，处〈bx、c分别叫做一元二次方程的二次项、一次项、常数项；Q、b分别叫做一元二次方程的二次项、一次项的系数。
（强调：
项和系数要包括前面的符号）
构成一元二次方程的条件：
（1）整式方程；
（2）只含有一个未知数；（3）二次项系数不能为
0；（4）未知数的最高次数为2.
2注意事项：
（1）二次项系数QH0是一般形式的重要组成部分。
（2）二次项、-•次项和常数项都是在一般形式下定义的，判断各项系数时，必须先将方程方程化为一般形式。
（3）任何一个一•元二次方程均可经过整理（去括号、移项、合并同类项）均可化为一•般形式。
2、一元二次方程的解法
⑴直接开平方法解一元二次方程：
1如兀$=m（m>0）的方程都町以用开平方的方法求出它的解，这种解法叫做直接开平方法
2利用直接开平方法所解的一元二次方程的结构特点：
经过幣理、变形后得到等号左边是一
个完全平方式，右边是一个非负数；
3理解直接开平方法的理论依据是平方根的定义。
⑵用配方解一元二次方程：
1把一个二次三项式组成完全平方式的变形过程，叫做配方，用配方法求一元二次方程的解的方法叫做配方法。
2配方法解一元二次方程是以配方为手段，以直接开平方为基础的一•种解一元二次方程的基本方法。
3用配方法解一元二次方程的步骤：
㈠二次项系数化为1：
方程两边都除以二次项系数；
㈡移项：
方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
㈢配方：
方成左右两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程左边变成一个完全平方式,
右边是一个常'数；
㈣求解：
如果右边常数是非负数，就用直接开平方法解一元二次方程。
⑶用公式法解一元二次方程：
1方程o?
+加+c=0（QH0）的求根公式：
兀二一（/?
2-4tzc>0）,利用
2a
求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
2利用求根公式解一元二次方程的步骤：
㈠把方程整理为一般形式+加+。
=0（GH0），确定a,b,c的值；
㈡计算b2-4ac的值;
㈡当，一4qc\0吋，把和h2-4ac的值代入求根公式计算，从而求出方程的解。
3求根公式专指一元二次方程的求根公式，只冇确定方程是一元二次方程时，才可以使用
4公式法是解一元二次方程处2+加+c=0（a工0）的一般解法
⑷用因式分解法解--元二次方程
1利用因式分解的方法求出一元二次方程的解，这种解方程的方法叫因式分解法
2因式分解法的理论依据：
两个因式的枳等于0,那么这两个因式中至少冇一个等于零，即△•B=0oA=0或B=0。
3用因式分解法所解的一元二次方程的结构特点：
等号一边的代数式可以做因式分解，另一边为0.
4利用因式分解法解一元二次方程的步骤：
㈠将方程的右边化为一；
㈡将方程的左边分解为两个一次因式乘积的形式；
㈢令两个因式分别为0,得到两个一元一次方程；
㈣分别解两个一元-次方程，它们的解就是原方程的解。
3、一元二次方程解法的顺序：
先特殊，后一般，先考虑是否川直接开平方法和因式分解法解，不能用这两种方法时，再用公式法和配方法。
当二次项系数为一，一次项系数为偶数时，用配方法方便。
4、根的判别式
把h2-4ac叫做一元二次根的判别式，记作一4ac,做？
+加+c==0（a工0）,
若方程冇两个不相等的实数根oA>0；
有两个相等的实数根△二0
没有实数根厶<0
有两个实数根△»（）（此时两根可能等，也可能不等）。
5、一元二次方程的应用
列方程解应用题，应透彻理解题意，寻找等量关系。
列方程时，要注意列出的方程必须满足以F三个条件：
⑴方程左右两边表示同类量；
⑵方程左右两边的同类量的单位一样；
⑶方程两边的数值和等。
※增长率问题公式
增长后的数二基数（1+增长率）”（n指增长的次数）
降低示的数二基数（1-增长率）"（n指降低的次数）
※长方体、正方体体积公式
%:
方体二长x宽x高
%方体=（边长）'
探根据题的实际意义对方程的根进行取舍。
方差与频数分布
数据的波动
一、极差
1、一组数据中的最大值减去最小值所得的差，叫做这组数据的极差；
2、极差二数据中的最大值一数据中的最小值。
二、方差
1、在一组数据x19x2,x3,...,xw中，各数据与他们的平均数元的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，常用”来表示，即：
5=-［（X,-X）2+（x2-X）2+...+（x„-X）2I；
n
2、方差的三种公式：
基木公式：
52=—［（X］—X）24-（X7—+...+（兀“—X）~］；
n
化简公式：
52=-［（x2+x92+...x?
l2）-/u2|
n
化简公式的变形公式:
s2=-（x{2+x22+...x/）-x2
n
3、设化简后的新数据组西,兀2,•••耳的方差为Ji设兀］,兀2,,兀3，・・・，兀“的方差为2（其中
Xj=xi-a,i=1,2,...n9a为常数），贝052=s2；
4、方差的作用：
用于表述-组数据波动的大小，方差越小，该数据波动越小，越稳定。
三、标准差
1、方差的算数平方根＜7叫做这纽数据的标准差，即：
四、方差与标准差的关系
1、a=；
2、b与疋的作用相同、单位不同。
五、频数分布与频数分布图
1、数据的分组整理
组限、组距和组数：
把一套数据分成若干个小组，累计各小纽的数据个数。
期屮每个分数段是一个“组区间”，分数段两端的数值是“纟fl限”，分数段的最人值与最小值的差是“组距”，分数段的个数是组数”•
2、频数、频率为频数分布表、频数分布图
1每个小组的数据的个称为这组数据的频数；
2频率：
每个小组的频数与数据总个数的比值称为这纽的频率；
3频率的计算公式：
每组的频率二这组的频数/数据的总个数
4各小组的频数之和等于数据总数；各小组的频数之和等于1.
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