线性代数教案及讲稿Word格式文档下载.doc

线性代数教案及讲稿Word格式文档下载.doc

《线性代数教案及讲稿Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教案及讲稿Word格式文档下载.doc（80页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

2）提出问题：

（1）为什么解决二元一次方程能用这样的方法来解决？

（2）如果是n元一次方程能否用类似的方法来解决呢？

那么为了回答上面的两个问题我们必须学习行列式的概念和性质。

2．行列式的相关概念：

同样，设有含两个未知数的二元一次线性方程组：

其中是未知数的系数，是常数项。

由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表

当时，求得方程组的解为

现在我们把方程组得系数提取出来，且保持原来的相对位置不变，排成2行2列的2阶行列式：

对角线法则：

我们已经知道了2阶行列式的计算：

注：

（主对角线上的两个数的乘积-副对角线上的两个数的乘积）

其中数称为这个行列式的元素简称“元”；

第一个下标称为行标，表示该元位于行列式的第行。

第二个下标成为列标，表示该元位于行列式的第列。

那么对应的线性方程组的解为：

3．三阶行列式：

设有9个数排成3行3列的行列式:

数表所确定的三阶行列式。

1）沙路法：

2）对角线法则：

例1：

由对角线法则有：

例2：

方程左端：

练习：

1）

1.2排列及其逆序数

1．排列：

个依次排列的元素．

　例如,自然数1,2,3,4构成的不同排列有4!

=24种．

1234,1342,1423,1432,1324,1243

2134,2341,2413,2431,2314,2143

3124,3241,3412,3421,3214,3142

4123,4231,4312,4321,4213,4132

例1互异元素构成的不同排列有种．

解在个元素中选取1个种取法

在剩余个元素中选取1个种取法

…………………………

在剩余2个元素中选取1个2种取法

在剩余1个元素中选取1个1种取法

　　　　　　　　　　　　　　　　　　------------------

　　　　　　　　　　　　　　　总共种取法

2．标准排列：

个不同的自然数从小到大构成的排列．

个不同的元素按照某种约定次序构成的排列．

3．逆序数：

（1）某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时,称这两个数（元素）

之间有1个逆序．

（2）排列中逆序的总和称为排列的逆序数,记作．

算法：

固定,当时,

满足的“”的个数记作（称为的逆序数）,

那么．

例2排列6372451中,．

例3排列,求逆序数．

解记作

,…,

4．奇偶性：

排列

奇数时,称为奇排列；

偶数时,称为偶排列．

1.3阶行列式的定义

1．二阶：

2．三阶：

（1）乘积中三个数不同行、不同列：

　　行标（第1个下标）：

标准排列123

　　列标（第2个下标）：

是1,2,3的某个排列（共6种）

（2）正项：

123,231,312为偶排列

负项：

132,213,321为奇排列

于是,．

3．阶：

个数,称

为阶行列式,它表示数值

其中,求和式中共有项．

例3计算,.

解中只有一项不显含0,且列标构成排列的逆序数为

故．

中只有一项不显含0,且列标构成排列的逆序数为

故．

结论：

以主对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于主对角线上元素

　　　　的乘积．

以副对角线为分界线的上（下）三角行列式的值等于副对角线上元素

　　　　的乘积,并冠以符号．

特例：

　　　　，

课后作业：

习题一1

（1）（3）、3

重庆科技学院教案及讲稿

第大节

对换，n阶行列式的性质

掌握行列式的性质。

转置行列式；

行列式的性质以及一些推论；

注意在利用行列式的性质进行计算的时候容易出现的错误。

重点：

行列式的性质；

难点：

灵活运用行列式的性质；

利用行列式的性质进行计算的时候容易出现的错误。

首先表述行列式是算式，对于高阶行列式若利用行列式的定义进行计算，计算量很大，如果利用行列式本身的性质，把行列式化成上（下）三角形行列式就将简化计算。

然后对各个性质进行讲解。

最后举例说明利用行列式的性质计算行列式。

课后分析

及

改进

直接表述行列式的性质学生较难以接受，可以先用简单的例子引出行列式的性质，然后对其进行证明讲解。

1.4对换

相邻对换：

一般对换：

定理1排列经过1次对换,其奇偶性改变．

　证先证相邻对换：

（1）

（2）

：

对换后增加1,不变,故；

对换后不变,减少1,故．

　　　所以与的奇偶性相反．

　　　再证一般对换：

（3）

（1）

（2）经过次相邻对换

（2）（3）经过次相邻对换

（1）（3）经过次相邻对换,所以与的奇偶性相反．

推论奇排列标准排列,对换次数为奇数．

偶排列标准排列,对换次数为偶数．

定理2

（2）

证由定义知

（1）

先证

（2）中的项都是

（1）中的项：

交换乘积次序可得

（3）

①偶数

偶数次对换

所以偶数

②奇数

奇数次对换

所以奇数

因此,由（3）可得

同理可证

（1）中的项都是

（2）中的项．

1.5行列式的性质

性质1设,,则．

证令,则

（根据Th2）

性质2设,,则．

证

推论1对调两列得．

证因为对调两列得,相当于对调两行得

所以

推论2中某两行（列）元素对应相等．

证因为对调此两行（列）后,的形式不变

例如,对于任意的,都有．

性质3,

证

（1）左端

推论1中某行（列）元素全为0．

推论2中某两行（列）元素成比例．

性质4若对某个,有,则

[注]性质4对于列的情形也成立．

性质5

[注]性质5对于列的情形也成立．

例1计算.

解

例2计算．

例3计算．

解

习题一4

（2）（4），5

（1）（4）

线性代数与概率统计授课人：

行列式按行（列）展开、Cramer法则

1、掌握代数余子式的定义和性质；

2、掌握n阶行列式按行或列展开定理，会利用行列式的性质和展开定理计算行列式；

3、了解克莱姆（Cramer）法则；

4、会利用Cramer法则求解线性方程组。

余子式及代数余子式；

按行或列展开定理；

利用Cramer法则求解线性方程组。

1）代数余子式；

2）利用Cramer法则求解线性方程组时首先要求系数行列式不等于0。

n阶行列式按行或列展开，范德蒙行列式。

对于一般的行列式低阶的要比高阶的容易计算，如何用低阶的来表示高阶的，首先引出余子式及代数余子式的概念；

然后由引理引出按行或列展开定理；

最后介绍代数余子式的重要性质。

给出Cramer法则，然后讲解例题利用Cramer法则求解线性方程组。

需要强调的是系数行列式非零，这就要求线性方程组的个数与变量个数相等。

对于齐次线性方程组来说，若系数行列式非零，则有唯一解，也就是只有零解。

一般的，对于引理比较容易掌握，但对于定理的运用要有点困难。

§

1.6行列式按行（列）展开

余子式：

在阶行列式中，将元素所在的行与列上的元素划去，其余

　　　　　元素按照原来的相对位置构成的阶行列式，称为元素的

余子式，记作．

代数余子式：

元素的代数余子式．

定理3

证证明第一式,分以下3步．

第1步：

+

第2步：

第3步：

例1计算．

例4证明.

………………

例5证明

定理4设,则．

证只证第一式.时,有

[注]结合定理3与定理4可得

例6,求．

解法1因为

与的第1列元素的代数余子式相同

所以将按第1列展开可得．

解法2因为的第3列元素与的第1列元素的代数余子式相乘求和

为0,即

所以

1.7Cramer法则

考虑线性方程组

,……

定理5若,则方程组存在唯一解.

例1解线性方程组.

解,,

,,

齐次方程组

定理6若,则齐次方程组只有零解.

推论齐次方程组有非零解.

[注]齐次方程组有非零解.（定理3.5之推论）

例2已知有非零解,求.

解,故或.

例3计算.

解采用加边法.

习题一7

（1）

（2）（6），　

线性代数授课人：

矩阵的概念及运算

1、掌握矩阵的定义及矩阵的加减、数乘及矩阵的乘法。

2、了解常见的矩阵以及矩阵转置、矩阵的行列式，共轭矩阵的概念。

矩阵的乘法；

矩阵的行列式。

重点：

矩阵的乘法，常见的矩阵以及矩阵转置，矩阵的行列式

首先简单介绍矩阵，一些常见的特殊矩阵，然后讲解矩阵的加减乘计算，其中加和减略讲，重点在乘法。

然后讲矩阵的转置，矩阵的行列式。

矩阵转置时从某一行到转置的某一列对应起来写，这样更清楚。

对于矩阵的行列式，需要强调的是只有方阵才可取行列式。

讲矩阵的加减可简单的一说，重点放在乘法和方阵的行列式上以及一些特殊的矩阵，比如对称矩阵等。

第二章矩阵及其运算

2.1矩阵

1.方程组由其系数和右端项确定

2.矩阵设个数排成行列的数表

用括号将其括起来,称为矩阵,并用大写字母表示,即

简记为.

（1）称为的行列元素（4）称为方阵

（2）称为实矩阵（5）称为行矩阵

（3）称为复矩阵（6）称为列矩阵

零矩阵：

所有元素都是0的矩阵.

单位矩阵；

对角矩阵

3.线性变换与矩阵设变量可由变量表示为

称之为由变量到变量的线性变换,它与矩阵

是一一对应关系．

2.2矩阵的基本运算

同阶矩阵：

指行数相等、列数相等的矩阵．

　矩阵相等：

设,,若

称.

1.线性运算：

　加法：

数乘：

　负矩阵：

　减法：

算律：

设为同阶矩阵,为常数,则有

（1）（5）

（2）（6）

（3）（7）

（4）（8）

例1设,

　　　满足,求．

解

2.矩阵乘法：

特殊情形　,

一般情形,

[注]的列数=的行数．

的行数=的行数；

的列数=的列数．

　　　与的先后次序不能改变．

例2,,

[注]无意义．

例3,

[注]；

,但是．

算律：

（2）

（3）

（4）,

验证

（1）设,,,则

应用：

,,

线性方程组的矩阵形式

线性变换的矩阵形式

3.方阵的幂：

为正整数

算律：

（2）

例4,求．

　解法1

可以验证：

　解法2

4.矩阵的转置：

算律：

（1）

（2）

（3）（4）

验证（4）,

故，即．

对称矩阵：

指满足，即

反对称矩阵：

5.方阵的行列式：

指的元素按照原来的相对位置构成的

行列式,记作,或者．

（1）

（2）

[注]方阵是数表,而行列式是数值．

而.

6.伴随矩阵：

中元素的代数余子式为．

，

重要性质：

7.共轭矩阵：

复矩阵的共轭矩阵记作．

　　算律：

（3）（4）

线性代数与概率统计授课人：

逆矩阵

掌握逆矩阵的定义及求法，以及逆矩阵求解公式的灵活应用。

逆矩阵的定义及求解逆矩阵公式的灵活应用。

的灵活应用：

首先给出逆矩阵的定义，然后讨论逆矩阵与行列式之间的关系从而引出定理，即公式，接着讨论逆矩阵的性质，最后举例讲解逆矩阵的求解，需要提醒的是求伴随矩阵的时候要注意写的顺序。

对于定理的叙述可先讨论然后引出，接着由定义出发，逐步引出逆矩阵的一些性质。

2.3逆矩阵

定义：

对于,若有满足,则称为可逆矩阵,

且为的逆矩阵,记作．

定理1若为可逆矩阵,则的逆矩阵唯一．

证设与都是的逆矩阵,则有

定理2为可逆矩阵；

为可逆矩阵．

证必要性．已知存在，则有

　　　充分性．已知，则有

　　　　　　　由定义知为可逆矩阵，且．

　[注]时,亦称为非奇异矩阵；

　　　时,亦称为奇异矩阵．

推论1对于,若有满足,则可逆,且．

证可逆

推论2对于,若有满足,则可逆,且．

（1）可逆可逆,且．

对于,取,有．

（2）可逆,可逆,且．

（3）与都可逆可逆,且．

对于,取,有

．

（4）可逆可逆,且．

（5）可逆．

（6）与都可逆．

证

负幂：

可逆,定义,,则有

（,为整数）

例1,

例2设满足,求．

　解

（1）阶线性方程组求解,

（2）求线性变换的逆变换,

（3）矩阵方程求解设可逆,可逆,且已知,则