一元二次方程应用题经典题型汇总含答案.docx

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一元二次方程应用题经典题型汇总含答案

z一元二次方程应用题经典题型汇总

一、增长率问题

例1恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

解设这两个月的平均增长率是X.,则根据题意，得200（1—20%）（1+x）2=193.6,

即（1+x）2=1.21，解这个方程，得xi=0.1,X2=—2.1（舍去）.

答这两个月的平均增长率是10%.

说明这是一道正增长率问题,对于正的增长率问题,在弄清楚增长的次数和问题中

每一个数据的意义，即可利用公式m（1+x）2=n求解，其中mvn.对于负的增长率问题，若

经过两次相等下降后，则有公式m（1—x）2=n即可求解，其中m>n.

二、商品定价

例2益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元，则可卖出（350—10a）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元,需要进货多少件？

每件商品应定价多少？

解根据题意，得（a—21）（350—10a）=400，整理，得a2—56a+775=0,

解这个方程，得a1=25,a2=31.

因为21p+20%）=25.2，所以a2=31不合题意，舍去.

所以350—10a=350—10X25=100（件）.

答需要进货100件,每件商品应定价25元.

说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点

三、储蓄问题

例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，

这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共

530元，求第一次存款时的年利率•（假设不计利息税）

解设第一次存款时的年利率为X.

则根据题意，得[1000（1+x）-500]（1+0.9x）=530.整理，得90x2+145x—3=0.

解这个方程，得Xi~0.0204=2.04%,X21.63.由于存款利率不能为负数，所以将

X2~—1.63舍去.

答第一次存款的年利率约是2.04%.

说明这里是按教育储蓄求解的，应注意不计利息税

四、趣味问题

例4一个醉汉拿着一根竹竿进城，横着怎么也拿不进去，量竹竿长比城门宽4米，旁

边一个醉汉嘲笑他，你没看城门高吗，竖着拿就可以进去啦，结果竖着比城门高2米，二人

没办法，只好请教聪明人，聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿，二人一试，不多不少刚

好进城，你知道竹竿有多长吗？

解设渠道的深度为xm，那么渠底宽为（x+0.1）m，上口宽为（x+0.1+1.4）m.

则根据题意，得2（x+0.1+x+1.4+0.1）x=1.8，整理，得x2+0.8x—1.8=0.

解这个方程，得X1=—1.8（舍去），X2=1.

所以x+1.4+0.1=1+1.4+0.1=2.5.

答渠道的上口宽2.5m，渠深1m.

说明求解本题开始时好象无从下笔，但只要能仔细地阅读和口味，就能从中找到等量关系，列出方程求解

五、古诗问题

例5读诗词解题：

（通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄）

大江东去浪淘尽，千古风流数人物；

而立之年督东吴，早逝英年两位数；

十位恰小个位三，个位平方与寿符；

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？

解设周瑜逝世时的年龄的个位数字为X,则十位数字为x-3.

则根据题意，得x2=10（x—3）+x，即x2-11x+30=0，解这个方程，得x=5或x=6.

当x=5时，周瑜的年龄25岁，非而立之年，不合题意，舍去；

当x=6时，周瑜年龄为36岁，完全符合题意.

答周瑜去世的年龄为36岁.

六、象棋比赛

例6象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0

分.如果平局，两个选手各记1分，领司有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别是

1979,1980,1984,1985.经核实，有一位同学统计无误•试计算这次比赛共有多少个选手参加•

解设共有n个选手参加比赛，每个选手都要与（n—1）个选手比赛一局，共计n（n—1）

1

局，但两个选手的对局从每个选手的角度各自统计了一次，因此实际比赛总局数应为2n（n

—1）局由于每局共计2分，所以全部选手得分总共为n（n—1）分•显然（n—1）与n为相邻的自

然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0,2,6，故总分不可能是1979,

1984,1985，因此总分只能是1980，于是由n（n—1）=1980，得n2—n—1980=0,解得n1=45,n2=—44（舍去）.

答参加比赛的选手共有45人.

都可以仿照些方

说明类似于本题中的象棋比赛的其它体育比赛或互赠贺年片等问题,法求解•

七、情景对话

例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如图1对话中收费标准.

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元•请问该单位

这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

解设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游•因为1000>25=25000V

27000，所以员工人数一定超过25人.

则根据题意，得[1000—20（x—25）]x=27000.

整理，得x2—75X+1350=0,解这个方程，得xi=45,X2=30.

当x=45时，1000—20（x—25）=600V700，故舍去xi；

当X2=30时，1000—20（x—25）=900>700，符合题意.

答：

该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游

说明求解本题要时刻注意对话框中的数量关系，求得的解还要注意分类讨论，从中

找出符合题意的结论

八、等积变形

例8将一块长18米，宽15米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原来荒地面积的三分之二•（精确到0.1m）

（1）设计方案1（如图2）花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路

（2）设计方案2（如图3）花园中每个角的扇形都相同.

以上两种方案是否都能符合条件？

若能，请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半

径；若不能符合条件，请说明理由

X,

解都能.

（1）设小路宽为X,则18x+16x—x2=^X18X15,即x2—34X+180=0,

解这个方程，得x=2，即x~6.6.

（2）设扇形半径为r，则3.14r2=X18X15,即卩r2疋57.32，所以r~7.6.

或形变

明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变;

积也变，但重量不变，等等

九、动态几何问题

例9如图4所示，在△ABC中，/C=90?

/SPAN>,AC=6cm,BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米?

面积的一半•若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2,所以AP=xcm,PC=（6—x）cm,CQ=

2xcm.

则根据题意，得（6—x）2x=8.整理，得X2—6x+8=0,解这个方程，得xi=2,X2

=4.

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2.

（2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半•

111

则根据题意，得2（6—x）2x=2x2x6X8.整理，得x2—6x+12=0.

由于此方程没有实数根，所以不存在使厶PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻•

说明本题虽然是一道动态型应用题，但它又要运用到行程的知识，求解时必须依据

路程=速度x时间.

十、梯子问题

例10一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m.

（1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？

（2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少

米？

解依题意，梯子的顶端距墙角=8（m）.

（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

则根据勾股定理，列方程72+（6+x）2=102，整理，得x2+12x—15=0,

解这个方程，得Xi~1.14,X213.14（舍去），

所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.

（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm.

则根据勾股定理，列方程（8—x）2+（6+1）2=100.整理，得X2—16X+13=0.

解这个方程，得X1~0.86,X2~15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m.

（3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理，列方程（8—x）2+（6+x）2=102，整理，得2x2—4x=0,

解这个方程，得X1=0（舍去），X2=2.

所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m.

说明求解时应注意无论梯子沿墙如何上下滑动，梯子始终与墙上、地面构成直角三

角形.

十一、航海问题

例11如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B,在B的正东方向200海里处有一重要目标C,小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰

从A出发，经B到C匀速巡航•一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，

欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里?

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？

（精确到0.1海里）

解

（1）F位于D的正南方向，贝UDF丄BC•因为AB丄BC,D为AC的中点，所以DF=2AB=100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里.

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里，EF=AB+BC-（AB+BE）—CF=（300-2x）海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2=1002+（300-2x）2，整理，得3x2-

1200x+100000=0.

lOtK/610（K/6

解这个方程，得X1=200—孑~118.4,X2=200+3（不合题意，舍去）•

所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里.

说明求解本题时，一定要认真地分析题意，及时发现题目中的等量关系，并能从图形

中寻找直角三角形，以便正确运用勾股定理布列一元二次方程

十二、图表信息

例12如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12X12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2wn<11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张nXi的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n刈个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为（n-1）Xn—1）个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形

ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同，冼成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请

填写下表：

纸片的边长n

2

3

4

5

6

使用的纸片张数

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为Si，未被盖住的面

积为S2.

①当n=2时，求Si:

S2的值;

②是否存在使得Si=S2的n值？

若存在，请求出来；若不存在，请说明理由

（2）S1=n2+（12-n）[n2—（n-1）2]=-n2+25n-12.

1当n=2时，S1=-22+25X2-12=34,S2=12X12-34=110.

所以S1:

S2=34:

110=17:

55.

1

2若S1=S2，则有—n2+25n—12=?

X122，即n2—25n+84=0,

解这个方程，得n1=4,n2=21（舍去）.

所以当n=4时，S1=S2.所以这样的n值是存在的.

说明求解本题时要通过阅读题设条件及提供的图表，及时挖掘其中的隐含条件，对

于求解第（3）小题，可以先假定问题的存在，进而构造一元二次方程，看得到的一元二次

方程是否有实数根来加以判断.

十三、探索在在问题

例13将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别

是多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？

若能，求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由

解

（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20—x）cm.

当x=16时，20—x=4，当x=4时，20—x=16,

答这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

（2）不能.理由是：

不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20—y）cm.则

由题意得I4丿+14丿=12，整理，得y2—20y+104=0,移项并配方，得（y—10）2

=—4v0,所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2.

说明本题的第

（2）小问也可以运用求根公式中的b2—4ac来判定若b2—4ac>0,

方程有两个实数根，若b2—4acv0，方程没有实数根，本题中的b2—4ac=—16v0即无

解.

十四、平分几何图形的周长与面积问题

例14如图7,在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E?

^下底边

BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为X,试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？

若存在，求出此时

BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1:

2的两部分？

若存

在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由

Bek

解

（1）由已知条件得，梯形周长为12，高4，面积为28.

过点F作FG丄BC于G,过点A作AK丄BC于K.

12-k

则可得，FG=总,

込24

所以Sabef=BEFG=—§x2+x（7

224

（2）存在.由

（1）得—5x2+5x=14，解这个方程，得xi=7,X2=5（不合题意，舍去）,

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7.

（3）不存在•假设存在，显然有SaBEF:

S多边形AFECD=1:

2,

21628

即（BE+BF）：

（AF+AD+DC）=1:

2.则有一5x2+5x=3,

整理，得3x2—24x+70=0,此时的求根公式中的b2—4ac=576—840V0,

所以不存在这样的实数X.即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成

1:

2的两部分.

说明求解本题时应注意：

一是要能正确确定x的取值范围；二是在求得X2=5时，并

不属于7

十五、利用图形探索规律

例15在如图8中，每个正方形有边长为1的小正方形组成:

（1）观察图形，请填写下列表格：

n（奇数）

n（偶数）

Pi，白色小正方形的

正方形边长13

黑色小正方形个数

正方形边长24

黑色小正方形个数

（2）在边长为n（n>1）的正方形中，设黑色小正方形的个数为

个数为P2,问是否存在偶数.n,使P2=5Pi?

若存在，请写出n的值；若不存在，请说明

理由.

解

（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n—1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n时，黑色正方形的个数为4、&12、16、2n（偶数）•

（2）由

（1）可知n为偶数时P1=2n,所以P2=n2—2n.根据题意，得n2—2n=5x2n,即n2—12n=0,解得n1=12,n2=0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n=12，使得P2=5P1.

说明本题的第

（2）小问是属于存在性问题，求解时，可以先假设结论存在，进而从

中找到数量关系，使问题获解

综上所言，列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的延续和发展，列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型，然后通过解方程获得对实际问题的解决.列一元二次方程解应用题的关键是：

找出未知量与已知量之间的联系，从而将实际问题转化为方程模型，要善于将普通语言转化为代数式，在审题时，要特别注意关键词语，如“多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、减少”等等，此外，还要掌握一些常用的公式或特殊的等量关系，如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增长率问题中的一些特殊关系等等.