高中数学 72直线的方程第一课时 大纲人教版必修Word文件下载.docx

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●教学方法

学导式

引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程实质的斜率公式的变形，并由此了解到求直线方程的一般思路.而对于直线方程的斜截式的获得，要使学生认识到斜截式为点斜式的特殊情形.也就是在已知直线的斜率与直线在y轴上的截距时而得到的.

●教具准备

投影片四张

第一张：

点斜式的推导过程（记作§

7.2.1A）

第二张：

点斜式的形式特点（记作§

7.2.1B）

第三张：

本节例题（记作§

7.2.1C）

第四张：

斜截式的形式特点（记作§

7.2.1D）

●教学过程

Ⅰ.课题导入

［师］上一节，我们进一步熟悉了直线斜率公式的应用，它也是我们继续学习推导直线方程的基础.

我们先来看下面的问题：

若直线l经过点P1（1，2），且斜率为1，求直线l的方程.

分析：

直线l的方程也就是直线上任意一点所应满足的方程，设此动点为P（x，y），故所求直线为经过P1P的直线，由斜率公式得：

k＝＝1（x≠1）

整理变形为：

y－2＝x－1

经验证：

（1，2）点符合上式，并且直线l上的每个点都是这个方程的解；

反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线上，所以此方程为所求直线方程.

［师］如果把上述求直线方程的过程推广到一般情形，即可得到直线方程的点斜式.

Ⅱ.讲授新课

1.直线方程的点斜式

y－y1＝k（x－x1）

其中x1，y1为直线上一点坐标，k为直线的斜率.

（给出幻灯片§

推导：

若直线l经过点P1（x1，y1），且斜率为k，求l方程.

设点P（x，y）是直线上不同于点P1的任意一点，根据经过两点的直线的斜率公式得k＝（x≠x1）

可化为：

［师］说明：

（1）这个方程是由直线上一点和斜率确定的；

（2）当直线l的倾斜角为0°

时，直线方程为y＝y1；

（3）当直线倾斜角为90°

时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程为x＝x1.

［师］接下来，我们通过例题来熟悉直线方程的点斜式.

2.例题讲练

［例1］一条直线经过点P1（－2，3），倾斜角α＝４5°

，求这条直线方程，并画出图象.

此题可直接应用直线方程的点斜式，意在使学生逐步熟悉直线方程的点斜式.

解：

这条直线经过点P1（－2，3），斜率是k＝tan４5°

＝1

代入点斜式方程，得

y－3＝x＋2即x－y＋5＝0

这就是所求直线方程.

图形如下：

［例2］一直线过点A（－1，－3），其倾斜角等于直线y＝2x的倾斜角的2倍，求直线l的方程.

此题已知所求直线上一点坐标，所以只要求得所求直线的斜率即可.根据已知条件，先求出直线y＝2x的倾斜角，再求出所求直线l的倾斜角，进而求出斜率.

设所求直线的斜率为k，直线y＝2x的倾斜角为α，则

tanα＝2，k＝tan2k

∴k＝tan2α＝

代入点斜式；

得

y－（－3）＝－[x－（－1）]

即：

４x＋3y＋13＝0.

评述：

通过此题要求学生注意正切两倍角公式的正确运用.

［例3］已知直线的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b），求直线l的方程.

将点P（0，b），k代入直线方程的点斜式得：

y－b＝k（x－0）即y＝kx＋b

（1）上述方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的，叫做直线方程的斜截式.

（2）我们称b为直线l在y轴上的截距.

（3）截距b可以大于0，也可以等于或小于0.

［师］下面，我们通过课堂练习进一步熟悉直线方程的点斜式与斜截式.

Ⅲ.课堂练习

课本P39练习

1.写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：

（1）经过点A（2，5），斜率是4；

（2）经过点B（3，－1），斜率是；

（3）经过点C（－，2），倾斜角是30°

；

（4）经过点D（0，3），倾斜角是0°

（5）经过点E（４，－2），倾斜角是120°

.

（1）由直线方程的点斜式得y－5＝４（x－2）即所求直线方程.

（2）点斜式方程为y－（－1）＝（x－3）即

y＋1＝（x－3）

（3）直线斜率k＝tan30°

＝

∴点斜式方程为：

y－2＝（x＋）

（4）k＝tan0°

＝0

∴点斜式方程为y－3＝0

（5）k＝tan120°

＝－

∴点斜式方程为y－（－2）＝－（x－４）

即y＋2＝－（x－４）

图形依次为：

（1）

（2）

（3）（4）

（5）

2.填空题

（1）已知直线的点斜式方程是y－2＝x－1，那么，直线的斜率是，倾斜角是.

（2）已知直线的点斜式方程是y＋2＝－（x＋1），那么直线的斜率是，倾斜角是.

答案：

（1）145°

（2）-150°

3.写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：

（1）斜率是，在y轴上的截距是－2.

（2）倾斜角是135°

，在y轴上的截距是3.

（1）由斜截式得y＝x－2

（2）k＝tan135°

＝－1

由斜截式得：

y＝－x＋3

Ⅳ.课时小结

通过本节学习，要求大家掌握直线方程的点斜式，了解直线方程的斜截式，并了解求解直线方程的一般思路.

Ⅴ.课后作业

（一）课本P４４习题7.2

1.根据下列条件写出直线的方程：

（1）斜率是，经过点A（8，－2）；

（2）过点B（－2，0），且与x轴垂直；

（3）斜率为－４，在y轴上截距为7；

（4）经过两点A（－1，８），B（４，－2）；

（5）在y轴上截距是2，且与x轴平行.

（1）由点斜式得：

y＋2＝（x－８）

即x－3y－８－6＝0

（2）x＝－2

（3）由斜截式得

y＝－４x＋7

即４x＋y－7＝0

（4）k＝

由点斜式得y－８＝－2（x＋1）

即2x＋y－6＝0

（5）y＝2.

2.已知直线的斜率k＝2，P1（3，5），P2（x2，7），P3（－1，y3）是这条直线上的三个点，求x2和y3.

将k＝2，P1（3，5）代入点斜式得

y－5＝2（x－3）

即2x－y－1＝0

将y＝7代入直线方程得2x2－7－1＝0

解得x2＝４

将x＝－1代入直线方程得

－2－y3－1＝0

解得y3＝－3

此题也可通过斜率相等，利用斜率公式求解.

3.一直线经过点A（2，－3），它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，求这条直线的方程.

设所求直线斜率为k，直线y＝x的倾斜角为α，则

tanα＝

∵α∈［0，π）∴α＝30°

则2α＝60°

，k＝tan60°

∴由点斜式得

y＋3＝（x－2）

（二）1.预习内容：

P４0～４1

2.预习提纲：

（1）直线方程的两点式与截距式有何形式特点?

适用范围是什么?

（2）两点式与截距式有何联系?

（3）两点式与点斜式有何联系?

●板书设计

7.2.1直线的方程

1.直线方程的3.［例1］4.练习1

点斜式［例2］练习2

y－y1＝k（x－x1）［例3］练习3

2.斜截式

y＝kx＋b

2019-2020年高中数学7.2直线的方程（第三课时）大纲人教版必修

直线方程的一般式.

1.明确直线方程一般式的形式特征.

2.会根据直线方程的一般式求斜率和截距.

3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.

1.认识事物之间的普遍联系与相互转化.

2.用联系的观点看问题.

直线方程一般式的理解与应用.

在前两节学习直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式的基础上，引导学生认识它们的实质，即都是二元一次方程.从而对直线和二元一次方程的关系进行研究.

在研究二元一次方程时，通过对x，y的系数进行分类讨论，来得出直线方程的一般式与几种特殊形相互转化的条件.为下一节利用直线方程的一般式进一步研究两条直线的位置关系打好基础.

投影片三张

直线和二元一次方程的关系（记作§

7.2.3A）

例题6（记作§

7.2.3B）

例题7（记作§

7.2.3C）

［师］前面几节课，我们学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式等形式，对直线方程的表示形式有了一定的认识.现在，我们来回顾一下它们的基本形式.

［生］点斜式的基本形式：

适用于斜率存在的直线.

斜截式的基本形式：

适用于斜率存在的直线；

两点式的基本形式：

（x1≠x2，y1≠y2）

适用于斜率存在且不为0的直线；

截距式的基本形式：

＝1（a，b≠0）

适用于横纵截距都存在且不为0的直线.

［师］大家从上述四种形式的直线方程中，能否找到它们的共同特点呢?

［生］都是关于x，y的二元一次方程.

［师］由此我们可以得出，直线与二元一次方程有着一定的关系，这也正是这节课，我们将继续研究的内容.

（给出投影片§

1.直线和二元一次方程的关系

（1）在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程.

因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，在α≠90°

和α＝90°

两种情况下，直线的方程可分别写成y＝kx＋b和x＝x1这两种形式，它们又都可变形为Ax＋By＋C＝0的形式，且A、B不同时为0.

（2）在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.

因为x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同时为0，在B≠0和B＝0的两种情况下，二元一次方程可分别化成直线的斜截式方程y＝－和表示与y轴平行或重合的直线方程x＝－.

［师］根据上述结论，我们可以得到直线方程的一般式.

2.直线方程的一般式

Ax＋By＋C＝0

其中A、B不同时为0.

［师］从直线与二次一次方程的关系的讨论中，我们得知：

直线方程的几种特殊形式与直线方程的一般式在一定条件下可以转化，下面我们通过例题来具体地研究.

3.例题讲解

［例6］已知直线经过点A（6，－４），斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程.

本题中的直线方程的点斜式可直接代入点斜式得到，主要让学生体会由点斜式向一般式的转化，把握直线方程一般式的特点.

经过点A（6，－４），并且斜率等于－的直线方程的点斜式是：

y＋４＝－（x－6）

化成一般式得：

４x＋3y－12＝0

对于直线方程的一般式，一般作如下约定：

x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项，含y项、常数项顺序排列.

求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式.

［例7］把直线l的方程x－2y＋6＝0化成斜截式，求出直线l的斜率和它在x轴与y轴上的截距，并画图.

将原方程移项，得2y＝x＋6，两边除以2，得斜截式y＝x＋3.令y＝0，可得x＝－6.

因此，直线l的斜率k＝，它在x轴上的截距为－6，在y轴上的截距是3.

由上述过程可得直线l与x轴、y轴的交点为A（－6，0）、B（0，3）.过点A、B作直线，就得直线l.

评析：

此题应启发学生掌握直线方程一般式与斜截式的互化，并能求出直线的斜率与截距.

［师］下面，我们主要通过练习来熟悉直线方程的一般式.

课本P４3练习

1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：

（1）斜率是－，经过点A（８，－2）；

（2）经过点B（４，2），平行于x轴；

（3）在x轴和y轴上的截距分别是、－3；

（4）经过两点P1（3，－2）、P2（5，－４）.

（1）由点斜式得

y－（－2）＝－（x－８）

化成一般式得

x＋2y－４＝0

（2）由斜截式得

y＝2，化成一般式得y－2＝0

（3）由截距式得

化成一般式得2x－y－3＝0

（4）由两点式得

化成一般式得x＋y－1＝0

2.已知直线Ax＋By＋C＝0

（1）当B≠0时，斜率是多少?

当B＝0时呢?

（2）系数取什么值时，方程表示通过原点的直线?

答：

（1）当B≠0时，方程可化为斜截式：

y＝－x－∴斜率k＝－.

当B＝0时，A≠0时，方程化为

x＝－与x轴垂直，所以斜率不存在.

（2）若方程表示通过原点的直线，则（0，0）符合直线方程，则C＝0.

所以C＝0时，方程表示通过原点的直线.

3.求下列直线的斜率和在y轴上的截距，并画出图形：

（1）3x＋y－5＝0；

（2）＝1；

（2）x＋2y＝0；

（４）7x－6y＋４＝0；

（5）2y－7＝0.

（1）k＝－3，在y轴上截距为5

（2）化成斜截式得

y＝x－5∴k＝，b＝－5.

（3）化成斜截式得

y＝－x∴k＝－，b＝0.

（4）化成斜截式得

y＝

（5）化成斜截式得

y＝，∴k＝0，b＝.

图形如下依次给出

（3）（4）

通过本节学习，要求大家掌握直线方程的一般式，并能把点斜式、两点式化成一般式，并能求出直线的斜率和截距，对直线与二元一次方程的关系有一定的认识.

课本P44习题7.2

5.一条直线和y轴相交于点P（0，2），它的倾斜角的正弦值是，求这条直线的方程.这样的直线有几条?

设所求直线的倾斜角为α，则sinα＝，cosα＝±

＝±

∴tanα＝±

∴由点斜式得：

y－2＝±

x

∴所求直线有两条，方程分别为：

y＝x＋2，y＝－x＋2.

9.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x轴和y轴上，求菱形各边所在的直线的方程.

设菱形的四个顶点为A、B、C、D，如右图所示.

根据菱形的对角线互相垂直且平分可知：

顶点A、B、C、D在坐标轴上，且A、C关于原点对称，B、D也关于原点对称.

所以A（－４，0），C（４，0），B（0，3），D（0，－3）由截距式得：

即3x－４y＋12＝0

这是直线AB的方程；

由截距式得

＝1即3x＋４y－12＝0

这是直线BC的方程；

即3x＋４y＋12＝0

这是直线AD的方程；

＝1即3x－４y－12＝0

这是直线CD的方程.

10.求过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.

在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x－2y＝0

若截距不为0，则设直线方程为＝1

将点P（2，3）代入得＝1

解得a＝5

∴直线方程为＝1

即x＋y＝5

11.直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A、B、C满足什么关系时，这条直线有以下性质?

（1）与两条坐标轴都相交

（2）只与x轴相交.

（3）只与y轴相交.

（4）是x轴所在直线.

（5）是y轴所在直线.

（1）当A≠0，B≠0，直线与两条坐标轴都相交.

（2）当A≠0，B=0时，直线只与x轴相交.

（3）当A＝0，B≠0时，直线只与y轴相交.

（4）当A＝0，B≠0，C＝0，直线是x轴所在直线.

（5）当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线.

7.2.3直线的方程

1.直线与二次一次方程的关系.

2.直线方程一般式：

练习1

Ax＋By＋C＝0练习2

（A、B不同时为0）练习3

3.［例6］

［例7］