3）∵OM=PM，∴∠MOP=∠MPO=30°
∵∠QOP=60°，∴∠PQO=90°，∴OP=2OQ
得到方程：
2-t=2t，解得t=（2/3）
2.如图，正比例函数图像直线l经过点A（3，5），点B在x轴的正半轴上，且∠ABO＝45°。
AH⊥OB，垂足为点H。
（1）求直线l所对应的正比例函数解析式；
（2）求线段AH和OB的长度；
（3）如果点P是线段OB上一点，设OP＝x，△APB的面积为S，写出S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
解：
1）设y=kx为正比例解析式，当x=3,y=5时，3k=5,k=5/3
2）AH即A的纵坐标，∴AH=5
∵AH⊥BH，∠ABH=45°，∴∠HAB=∠ABH=45°，∴AH=BH=5
OH即A的横坐标，∴OH=3
∵OB=OH+BH，∴OB=5+3=8
3）∵OB=8，OP=x，∴BP=8-x
∴S△ABP=1/2BP×AH=1/2（8-x）×5=20-（5/2）x
x的取值范围是0≤x＜8
3．（本题满分12分，第1题4分，第2题6分，第3题2分）
已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB上一点，AE⊥AB，且AE＝BD，DE与AC相交于点F。
（1）若点D是AB的中点（如图1），那么△CDE是等腰直角三角形三角形，并证明你的结论；
（2）若点D不是AB的中点（如图2），那么
（1）中的结论是否仍然成立，如果一定成立，请加以说明，如果不一定成立，请说明理由；
（3）若AD＝AC，那么△AEF是等腰三角形。
（不需证明）
解：
1）△CDE是等腰直角三角形
2）成立，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=∠B=45°
∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°，∴∠EAC=90°-45°=45°=∠B
在△ACE与△BCD中，
∵AE=BD，∠EAC=∠B，AC=BC，∴△ACE≌△BCD
∴CE=CD，∠ACE=∠BCD
∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，即∠DCE=90°
∴△CDE是等腰直角三角形
4．如图，直线
经过原点和点
，点B坐标为
（1）求直线l所对应的函数解析式；
（2）若P为射线OA上的一点，
①设P点横坐标为
，△OPB的面积为
，写出
关于
的函数解析式，指出自变量x的取值范围．
②当△POB是直角三角形时，求P点坐标．
解：
1）设y=kx为直线l的解析式
当x=3,y=6时，6=3k，k=2，∴y=2x是直线l的解析式
2）①P在射线OA上，设P横坐标为x，纵坐标为2x
S=1/2×OB×2x=4x，∴S=4x是解析式，x的取值范围x＞0
②在Rt△P?
OB中，P的坐标（4，8）
在Rt△P?
OB中，P的坐标（4/5，8/5）
5、如图，在等腰Rt△ABC的斜边AB上取两点M、N，使∠MCN=45°，设AM=m，MN=x，BN=n那么：
（1）以x、m、n为边长的三角形是什么三角形？
（请证明）
（2）如果该三角形中有一个内角为60°，求AM:
AB。
解：
1）以x、m、n为边长的三角形是直角三角形
作△ACM≌△BCD，∴∠ACM=∠BCD，CM=CD，∠MCN=∠NCD=45°
在△MNC与△DNC中
∵CM=CD，∠MCN=∠DCN，CN=CN，∴△MNC≌△DNC
∴MN=DN=n，AM=BD=m
∵∠A=∠CBA=∠CBD=45°，∴∠DBN=45°+45°=90°
∴△DBN（以x、m、n为边长的三角形）是个直角三角形
6．已知：
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，P是AB边上不与A点、B点重合的任意一个动点，PQ⊥BC于点Q，QR⊥AC于点R。
（1）求证：
PQ＝BQ；
（2）设BP＝x，CR＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当x为何值时，PR//BC。
解：
1）∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B=∠C=45°
∵PQ⊥BC，∴∠PQB=90°，∴∠B=∠BPQ=45°，∴BQ=PQ
2）∵BP=x，BQ=PQ，PQ⊥BQ，∴勾股定理BQ=PQ=（1/2）x
∵∠A＝90°，AB＝AC＝1，∴勾股定理CB=，∴CQ=-（1/2）x
∵QR⊥AC，∴勾股定理得y=1-0.5x，且x的取值范围03）∵PR//BC，∠A＝90°，AB＝AC，∴AP=AR
∵AR=x/2，AP=AB-BP=1-x
∴得到方程x/2=1-x，解得，x=2/3
∴当x为2/3的时候，PR//BC
7．在直角三角形ABC中，∠C＝90○，已知AC＝6cm，BC＝8cm。
（1）求AB边上中线CM的长；
（2）点P是线段CM上一动点（点P与点C、点M不重合），求出△APB的面积y（平方厘米）与CP的长x（厘米）之间的函数关系式并求出函数的定义域
（3）是否存在这样的点P，使得△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的
，如果存在请求出CP的长，如果不存在，请说明理由。
解：
1）∵∠C＝90○，AC＝6cm，BC＝8cm，∴AB=10cm，∴CM=1/2AB=5cm
2）作CD⊥AB，PE⊥AB
∵S△ABC=（1/2）AB×CD,S△ABP=（1/2）AB×PE，
∴S△ABC/S△ABP=CD/PE
∵S△ABC=1/2×6×8=24，AB=10，∴CD=48/5
∵PM=5-x，∴S△PMB/S△ABC=PD/CE=（5-x）/5，∴y/24=（5-x）/5，y=（24/5）（5-x）是解析式，其中x的定义域03）存在，根据题意，S四边形ACBP=2S△ABP，∴24-y=2y，y=8
当y=8时，8=（24/5）（5-x），解得，x=5/2
∴当x=5/2时△ABP的面积是凹四边形ACBP面积的2/3。
8、如图，在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ。
设AP=x，BE=y
（1）线段PQ的垂直平分线与BC边相交，设交点为E求y与x的函数关系式及x取值范围；
（2）在
（1）的条件是否存在x的值，使△PQE为直角三角形?
若存在，请求出x的值，若不存在请说明理由。
解：
连接PF、QF，
∵EF垂直平分PQ，∴PF=QF
∵∠A=∠D=90°，∴AP2+AF2=DF2+DQ2
即x2+（6-y）2=y2+（8-x）2,∴3y=4x-7,y=（4x-7）/3
其中x的定义域09．在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过点B作∠CBE=∠A，BE与射线CA相交于点E，与射线CD相交于点F．
（1）如图,当点E在线段CA上时,求证：
BE⊥CD；
（2）若BE=CD，那么线段AC与BC之间具有怎样的数量关系？
并证明你所得到的结论；
（3）若△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
解：
1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴AD=BD=CD，∴∠CBA=∠DCB，∠A=∠DCA
∵∠CBE=∠A，∴∠CBE+∠EBA=∠A+∠EBA，即：
∠CBA=∠BEC，∴∠DCB=∠BEC
∵∠CBE+∠BEC=90°，∴∠CBE+∠DCB=90°，∴∠BFC=90°，即CD⊥BE
2）∵BE=CD，∴BE=AD=BD=CD，∴AB=2BE
∵∠CBE=∠A，，∠BCE=∠ACB∴△BCE∽△ACB，∴BC：
CA=1：
2，∴AC=2BC
3）∵△BDF是等腰三角形，∠BFD=90°，∴∠BDF=45°
①当点E在线段CA上时，∠A=1/2∠BDF=22.5°
②当点E在线段CA延长线上时，∠BAC=（180°-∠CDA）/2=67.5°
10．已知：
如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
解：
1）∵A在两个函数图象上，∴2=3k,k=2/3，即正比例函数y=2x/3
∴2=k/3,k=6，即反比例函数y=6/x
2）当03）∵M（m,n）,∴n=6/m,N（0,n）C（3,0）,D（3,n）
4）S四边形OADM=S梯形OADB-S△OMB=[（n-2）+n]×（3/2）-（mn/2）=3n-3-3=3n-6=6
∴n=4，∴m=6/4=3/2，即M（3/2,4）
∵A（3,2），∴OC=BD=3，∴BM=DM
11．已知：
如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：
AD=DB；
（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长.
解：
1）∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠A=60°,
∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°=∠B，∴AD=DB
2）∵BF=y=AB-AF=12-AF，∵EF⊥AB,∠A=60°，∴∠AEF=30°
∴AF=1/2AE=1/2（AC-CE）=1/2（6-X），∴y=12-1/2（6-X）=9+1/2x
∴y=9+1/2x为解析式
3）∵∠DEF=90°,∴∠EDA=∠BAD=∠EAD=30°，∴∠EDC=30°∴AE=ED=2EC，
∵AE+EC=AC=6，∴EC=2
当EC=x=2时，y=9+1/2×2=10，即BF=10
12．如图，在△
中，∠
=90°，∠
=30°，
是边
上不与点A、C重合的任意一点，
⊥
，垂足为点
，
是
的中点.
（1）求证：
=
；
（2）如果
=
，设
=
，
=
，求
与
的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点
在线段
上移动时，∠
的大小是否发生变化？
如果不变，求出∠
的大小；如果发生变化，说明如何变化.
解：
1）∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∵M是BD的中点，∴CM=1/2BD=EM
2）∵CM=y，∴BM=DM=EM=y
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC，
∵BC=
，∴AB=2
，∴AC=3，∴CD=3-x
∴（3-x）2+3=4y2，y=1/2,其中x的定义域是03）∵CM=BM，∴∠MBC=∠MCB，
∵BM=EM，∴∠MBE=∠MEB，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°
∵∠ABC=∠MBC+∠MBE=60°，∵∠MBC+∠MCB=∠CMD，∠MBE+∠MEB=∠EMD
∴∠CME=∠CMD+∠EMD=2∠ABC=120°，
∵CM=EM，
∴∠MCE=∠MEC=30°。
∴∠MCE大小不变
13、如图，已知长方形纸片ABCD的边AB=2，BC=3，点M是边CD上的一个动点（不与点C重合），把这张长方形纸片折叠，使点B落在M上，折痕交边AD与点E，交边BC于点F．
（1）、写出图中全等三角形；
（2）、设CM=x，AE=y，求y与x之间的函数解析式，写出定义域；
（3）、试判断
能否可能等于90度？
如可能，请求出此时CM的长；如不能，请说明理由．
解：
1）△BEF≌△MEF，根据翻折得到。
△ABE≌△DEM，AAS
2）∵△BEF≌△MEF，∴BE=ME，∴BE2=ME2
∵∠A=∠D=90°∴AE2+AB2=DM2+DE2
∵AB=CD=2，AD=3，CM=x，AE=y
∴代入得y2+4=（2-x）2+（3-y）2，解得y=（x2-4x+9）/6
其中x的定义域03）∵∠BEM=90°∴∠AEB=180°-90°-∠DEM=∠DME∴∠ABE=∠DME
在△ABE与△DEM中，∵∠ABE=∠DME，∠A=∠D，BE=ME，∴△ABE≌△DME
∴AE=DM，AB=DE，∴2=3-y，y=1，∴当y=1时，1=2-x，x=1
∴CM=1时∠BEM为90°
14、已知：
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC的垂直平分线DE分别交BC、AC于点D、E，BE和AD相交于点F，设∠AFB＝y,∠C＝x
（1）求证：
∠CBE＝∠CAD；
（2）求y关于x的函数关系式；
（3）写出函数的定义域。
解：
1）∵∠BAC=90°，AD是BC上中线，∴AD=BD=CD，∴∠C=∠CAD
∵DE是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠C=∠CBE，∴∠CAD=∠CBE
2）∵∠AFB=∠CBE+∠ADB=∠CBE+∠C+∠CAD，∵∠AFB＝y,∠C＝∠CAD=∠CBE=x，∴y=3x
3）015、已知：
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上（点E、F与△ABC顶点不重合），AD平分∠CAB，EF⊥AD，垂足为H．
（1）求证：
AE＝AF：
（2）设CE＝x，BF＝y，求x与y之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当△DEF是直角三角形时，求出BF的长．
解：
1）在△AEH与△AFH中
∵AD平分∠CAB，EF⊥AD，∵AH=AH
∴△AEH≌△AFH
∴AE=AF
2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6∴AB=12
∵CE=x，BF=y∴AE=AC-CE=6-x，AF=AB-BF=12-y
∵AE=AF，∴6-x=12-y，y=x+6
∴y=x+6为解析式，其中0＜x＜6为x的定义域
3）在△AED与△AFD中，∵AE=AF，∵AD平分∠CAB，AD=AD
4）∴△AED≌△AFD，∴∠AED=∠AFD∴∠CED=∠DFB
5）∵EF⊥AD，∴∠EDF=90°∴∠CDE+∠BDF=90°
6）∵∠C=90°，∴∠CDE+∠CED=90°，∴∠BDF=∠CED
7）∵∠CED=∠DFB，∴∠BDF=∠DFB，∴BF=BD
8）∵∠C=90°,AC=6,∠CAD=∠BAD=1/2∠CAB=30°∴CD=2
9）
∵∠BAD=∠B=30°∴BD=AD=2CD=4
∴BF=BD=4
∴当△DEF是直角三角形时，BF的长为4
16．已知
中，AC=BC,
点D为AB边的中点，
DE、DF分别交AC、BC于E、F点．
（1）如图1，若EF∥AB．求证：
DE=DF．
（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题
（1）的结论是否成立？
说明理由．
解：
1）∵EF//AB，∴∠FEC=∠A=30°
∵∠EFC=∠B=30°，∴EC=CF，∴∠A=∠B
∵AC=BC，∴AE=BF
∵D是AB中点，∴DB=AD
在△ADE与△BDF中，∵∠A=∠B，AE=BF，AD=BD，∴△ADE≌△BDF
∴DE=DF
2）过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N
∵AB=AC，∠C=120°，∴∠A=∠B=30°，
∴∠ADM=∠BDN=60°，∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°
∵AC＝BC、AD＝BD，∴∠ACD＝∠BCD，∴DM＝DN。
∴∠EDM＝∠MDN－∠EDN＝60°－∠EDN＝∠EDF－∠EDN＝∠FDN，∴∠EDM＝∠FDN
在△DEM与△DFN中，∵∠DME＝∠DNF＝90°，DM＝DN，∠EDM＝∠FDN，∴△DEM≌△DFN，
∴DE＝DF，1）中结论仍然成立
17．如图（第27题图1）,已知
中,BC=3,AC=4,AB=5,直线MD是AB的垂直平分线，分别交AB、AC于M、D点.
（1）求线段DC的长度；
（2）如图（第27题图2），联接CM，作
的平分线交DM于N.
求证:
CM＝MN
解：
1）连接BD，设DC为x
∵DM是AB的垂直平分线,∴AM=MD=2.5
∴得到方程（4-x）^2-2.5^2+2.5^2=3^2+x^2，
解得x=7/8，即CD长7/8
2）∵CM为AB边中线，∠ACB=90°∴MC=MB
∵CN平分∠ACB，∴∠ACM=∠BCM=45°
∴∠CDM=180°-（45°-∠1+∠1+∠2），∴∠B=45°+∠1
∵BCDM是四边形，∠DMB=∠ACB=90°，∴∠MDC+∠B=180°，即135°-∠2+45°+∠1=180°
∴∠1=∠2
∴CM=MN
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