有理数提高题(有答案).doc
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有理数基础训练题
一、填空：
1、在数轴上表示－2的点到原点的距离等于（）。
2、若∣a∣=－a,则a（）0.
3、任何有理数的绝对值都是（）。
4、如果a+b=0,那么a、b一定是（）。
5、将0.1毫米的厚度的纸对折20次，列式表示厚度是（）。
6、已知，则（）
7、的最小值是（）。
8、在数轴上，点A、B分别表示，则线段AB的中点所表示的数是（）。
9、若互为相反数，互为倒数，P的绝对值为3，则（）。
10、若abc≠0，则的值是（）.
11、下列有规律排列的一列数：
1、、、、、…，其中从左到右第100个数是（）。
二、解答问题：
1、已知x+3=0,|y+5|+4的值是4，z对应的点到-2对应的点的距离是7，求x、y、z这三个数两两之积的和。
3、若的值恒为常数，求满足的条件及此时常数的值。
4、若为整数，且，试求的值。
5、计算：
－＋－＋－＋－＋
能力培训题
知识点一：
数轴
例1：
已知有理数在数轴上原点的右方，有理数在原点的左方，那么（）
A．B．C．D．
拓广训练：
1、如图为数轴上的两点表示的有理数，在中，负数的个数有（）
A．1B．2C．3D．4
3、把满足中的整数表示在数轴上，并用不等号连接。
2、利用数轴能直观地解释相反数；
例2：
如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那么A、B两点的距离为。
拓广训练：
1、在数轴上表示数的点到原点的距离为3，则
2、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于。
3、利用数轴比较有理数的大小；
例3：
已知且，那么有理数的大小关系是。
（用“”号连接）
拓广训练：
1、若且，比较的大小，并用“”号连接。
例4：
已知比较与4的大小
拓广训练：
1、已知，试讨论与3的大小
2、已知两数，如果比大，试判断与的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。
例5：
有理数在数轴上的位置如图所示，式子化简结果为（）
A．B．C．D．
拓广训练：
1、有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为。
2、已知，在数轴上给出关于的四种情况如图所示，则成立的是。
①②③④
3、已知有理数在数轴上的对应的位置如下图：
则化简后的结果是（）
A．B．C．D．
三、培优训练
1、已知是有理数，且，那以的值是（）
A．B．C．或D．或
1
0
A
2
B
5
C
2、如图，数轴上一动点向左移动2个单位长度到达点，再向右移动5个单位长度到达点．若点表示的数为1，则点表示的数为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数且，那么数轴的原点应是（）
A．A点B．B点C．C点D．D点
4、数所对应的点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，那么与的大小关系是（）
A．B．C．D．不确定的
5、不相等的有理数在数轴上对应点分别为A，B，C，若，那么点B（）
A．在A、C点右边B．在A、C点左边C．在A、C点之间D．以上均有可能
6、设，则下面四个结论中正确的是（）
A．没有最小值B．只一个使取最小值
C．有限个（不止一个）使取最小值D．有无穷多个使取最小值
7、在数轴上，点A，B分别表示和，则线段AB的中点所表示的数是。
8、若，则使成立的的取值范围是。
9、是有理数，则的最小值是。
10、已知为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且求的值。
11、（南京市中考题）
（1）阅读下面材料：
点A、B在数轴上分别表示实数，A、B两点这间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，；当A、B两点都不在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边；
②如图3，点A、B都在原点的左边；
③如图4，点A、B在原点的两边。
综上，数轴上A、B两点之间的距离。
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是；
②数轴上表示和-1的两点A和B之间的距离是，如果，那么为；
③当代数式取最小值时，相应的的取值范围是；
④求的最小值。
聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。
脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。
去绝对值符号法则：
2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看表示数的点到原点的距离；表示数、数的两点间的距离。
3、灵活运用绝对值的基本性质
①②③④
⑤⑥
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
例1：
已知且那么。
拓广训练：
1、已知且，那么。
2、若，且，那么的值是（）
A．3或13B．13或-13C．3或-3D．-3或-13
拓广训练：
1、已知的最小值是，的最大值为，求的值。
三、培优训练
1、如图，有理数在数轴上的位置如图所示：
则在中，负数共有（）
A．3个B．1个C．4个D．2个
2、若是有理数，则一定是（）
A．零B．非负数C．正数D．负数
3、如果，那么的取值范围是（）
A．B．C．D．
4、是有理数，如果，那么对于结论
（1）一定不是负数；
（2）可能是负数，其中（）
A．只有
（1）正确B．只有
（2）正确C．
（1）
（2）都正确D．
（1）
（2）都不正确
5、已知，则化简所得的结果为（）
A．B．C．D．
6、已知，那么的最大值等于（）
A．1B．5C．8D．9
8、满足成立的条件是（）
A．B．C．D．
9、若，则代数式的值为。
10、若，则的值等于。
11、已知是非零有理数，且，求的值。
13、阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得（称分别为与的零点值）。
在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当时，原式=;
（2）当时，原式=；
（3）当时，原式=。
综上讨论，原式=
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式
14、
（1）当取何值时，有最小值？
这个最小值是多少？
（2）当取何值时，有最大值？
这个最大值是多少？
（3）求的最小值。
（4）求的最小值。
15、某公共汽车运营线路AB段上有A、D、C、B四个汽车站，如图，现在要在AB段上修建一个加油站M，为了使加油站选址合理，要求A，B，C，D四个汽车站到加油站M的路程总和最小，试分析加油站M在何处选址最好？
16、先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
①②
如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P设在和之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P的距离之和等于到的距离.
如图②,如果直线上有3台机床（甲、乙、丙）时，不难判断，P设在中间一台机床处最合适，因为如果P放在处，甲和丙分别到P的距离之和恰好为到的距离；而如果P放在别处，例如D处，那么甲和丙分别到P的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到D近段距离，这是多出来的，因此P放在处是最佳选择。
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置。
问题
（1）：
有机床时，P应设在何处？
问题
（2）根据问题
（1）的结论，求的最小值。
有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：
首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。
数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数的计算常用的技巧与方法有：
1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。
二、知识点反馈
1、利用运算律：
加法运算律乘法运算律
例1：
计算：
解：
原式=
拓广训练：
1、计算
（1）
（2）
例2：
计算：
解：
原式=
拓广训练：
1、计算：
2、裂项相消
（1）；
（2）；（3）
（4）
例3、计算
解：
原式=
=
=
拓广训练：
1、计算：
3、以符代数
例4：
计算：
解：
分析：
令=，则
原式=
拓广训练：
1、计算：
4、分解相约
例5：
计算：
解：
原式==
=
三、培优训练
1、是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，则=。
2、计算：
（1）=；
（2）=。
3、若与互为相反数，则=。
4、计算：
=。
5、计算：
=。
6、这四个数由小到大的排列顺序是。
7、计算：
=（）
A．3140B．628C．1000D．1200
8、等于（）
A．B．C．D．
9、计算：
=（）
A．B．C．D．
10、为了求的值，可令S＝，则2S＝，因此2S-S＝，所以＝仿照以上推理计算出的值是（）
A、B、C、D、
11、都是正数，如果，，那么的大小关系是（）
A．B．C．D．不确定
12、设三个互不相等的有理数，既可表示为的形式，又可表示为的形式，求的值
13、计算
（1）
（2）
14、已知互为相反数，互为负倒数，的绝对值等于，
求的值
15、已知，求、的值
16、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．
第2层
第1层
……
第n层
图１ 图2 图3 图4
如果图1中的圆圈共有12层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
【专题精讲】
【例1】计算下列各题
⑴
⑵
【例2】计算：
【例3】计算：
⑴
⑵
反思说明：
一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。
①②
③④
【例4】（第18届迎春杯）计算：
【例5】计算：
【例6】计算：
【例7】请你从下表归纳出的公式并计算出：
的值。
【实战演练】
1、用简便方法计算：
2、
3、已知则
4、计算：
5、（“聪明杯”试题）
6、的值得整数部分为（）
A．1B．2C．3D．4
提示：
7、
8、计算：
9、计算的值.
10、计算：
的值。
参考答案
基础训练题
一、填空。
1、2；2、≤；3、非负数；4、互为相反数；5、毫米；
6、5或1；7、5；8、；9、－8；10、±3，±1；11、。
二、解答题。
1、－25或87；
3、当时，常数值为7；4、2；5、
6、不可能，因为每次翻转其中任意4个，无论如何翻转，杯口朝上的个数都是奇数个，所以不可能让杯口朝上的杯子个数为偶数零，故不可能。
能力培训题
知识点一：
数轴
例1、D拓广训练：
1、B；
3、因为，所以
例2、8或2拓广训练：
1、0或－6；2、12
例3、拓广训练：
1、题目有误。
例4、解：
当时，；当时，；当时，.
拓广训练：
略。
例5、C拓广训练：
1、－2；2、①③3、D
三、培优训练
1、C2、D3、B4、A5、C6、D
7、；8、；9、
10、5；11、①3，3，4；②，1或－3；③；④997002
聚焦绝对值
例1、―2或―8.拓广训练：
1、4或0；2、A
例2、A拓广训练：
1、通过零点值讨论得a=5,b=5;所以a+b=10.
三、培优训练
1、A;2、B；3、D;4、A;5、A;6、B；7、B；8、C
9、1；10、1或－3；11、0；12、－7；
13、⑴零点值分别为－2，4.⑵略。
（分三种情况讨论）
14、⑴、3；⑵、-2；⑶、1；⑷、2
15、加油站应建在D,C两汽站之间（包括D,C两汽车站）16、95172
有理数的运算
例1、拓广训练：
⑴－1.2；⑵例2、拓广训练：
⑴－34
例3、拓广训练：
⑴例4、拓广训练：
⑴
三、培优训练
1、－1；2、，－8；3、1；4、；5、6；
6、；7、C；8、D；9、B；
10、（原题无答案）；11、 A;
12、0；解析如下：
由题意：
13、⑴，⑵－92
14、28或－26；15、；16、67，1209
专题讲解
例1、⑴⑵
例2、0
例3、⑴⑵
例4、
例5、885解析如下：
例6、
解析如下：
例7、，
解析如下：
实战演练
1、1997.解析如下
原式=999×（998998998+1）－998×（999999999－1）
2、3、－1，
4、分析如下：
5、解析：
6、A解析如下
7、解析如下：
8、9、
解析如下
10、
解析如下：
22
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