121全等三角形.docx

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121全等三角形

12.1全等三角形

课标要求

理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角.

教

学

目

标

知识技能

1.掌握全等形、全等三角形的概念，能应用符号语言表示两个三角形全等；

2.能熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质，并解决相关简单的问题。

数学思考

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉和识图能力，并获得用数学的思想方法处理问题的能力.

解决问题

经历探索全等三角形性质的过程，在观察中寻求新知，在探索中培养学生发现问题、解决问题的能力。

情感态度

在探究和运用全等三角形知识的过程中感受到数学活动的乐趣

重点

探究全等三角形的性质

难点

掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，迅速正确指出两个全等三角形的对应元素。

学情

分析

对于全等形，学生有一定的感性认识，而上一章中对三角形的相关知识进行了系统学习，因而可有效地对全等三角形的知识进行系统的学习.

教法

演示、讲解

学法

观察、操作、合作探究

教具

三角板、两个全等的三角形纸片、

教学程序设计

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

一、

情境

引入

师出示一组生活中的图片

问题1：

观察这些图片，你能看出形状、大小完全一样的几何图形吗？

追问：

你能再举出生活中的一些类似例子吗？

师引导学生观察并回答问题后师出示课题.

通过生活中常见的图片进行引入，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣.

二、

观察

发现

探究一：

全等形、全等三角形及其有关概念

问题2：

请同学们用复写纸画出两个三角形，并用剪刀剪下其中一个三角形，观察这两个三角形有何关系？

问题3：

请同学用语言归纳出问题1和问题2中两个图形有何关系？

全等形的定义：

能够完全重合的两个图形叫做全等形．

全等三角形的定义：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．

追问1：

请同学们将问题2中的两个三角形分别标为△ABC、△DEF，观察这两个三角形有何对应关系？

点A与点D、点B与点E、点C与点F重

师引导学生操作，学生操作后小组探究，师指导，全班交流，师归纳总结全等形、全等三角形的定义.

师引导学生得出对应顶点、对应边、对应角的概念，并在图中能够找出来.

从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．通过观察两个图形的重合，让学生亲自体会到只有形状相同，大小相同的两个图形才能重合.从而得出相关概念.

讨论、合作是学习小组成员完成学习任务的手段，而交流则促进学生智慧（成果）共享.

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

合，称为对应顶点；

边AB与DE、边BC与EF、边AC与DF重合，称为对应边；

∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F重合，称为对应角.

追问2：

你能用符号表示出这两个全等三角形吗？

△ABC与△DEF是全等的，

记作：

“△ABC≌△DEF”，

读作：

“△ABC全等于△DEF”．

问题4：

请同学们拿出问题2准备的素材，按照课本P32页图12.1-2进行平移、翻折、旋转，变换前后的两个三角形还全等吗？

探究二：

全等三角形的性质

问题5：

全等三角形的对应边和对应角有何大小关系？

全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等、对应角相等.

用几何语言表述：

∵　△ABC≌△DEF，

∴　AB=DE，BC=EF，AC=DF

（全等三角形的对应边相等），

∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F

（全等三角形的对应角相等）．

师介绍全等符号及表示形式.

师演示后并提问，学生小组交流后汇报.

师引导学生演示全等形重合的过程，进而提出问题，引导学生观察并总结得出全等三角形的性质.

通过学生亲自平移、翻、旋转操作，进一步明确全等三角形的定义，并为性质的探究作好准备工作.

明确全等三角形的性质.

三、

应用

提升

例1：

课本P32页习题1、2

例2：

已知：

如图，△ABC≌△DEF.

（1）若DF=10cm，则AC的长为；

（2）若∠A=100°，则∠D的度数为；

（3）若∠A=100°，∠B=30°，求∠F的度数.

例3：

△ABE≌△ACD，AB与AC，AD与AE是对应边，∠A=40º，∠B=30º，求∠ADC的大小。

师出示例题，学生小组讨论后，师生共同完成.

巩固应用全等三角形的性质，掌握对应边、对应角的找法，会初步辨析图形，并用全等性质解决简单问题.

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

四、

巩固

练习

课本P33页习题12.1第1-4题

学生独立完成后，小组内交流，师个别指导.

对所学知识进行应用，并查找不足.

五、

体验

收获

谈谈你的收获和体会

学生回答，师归纳总结.

对所学知识进行回顾与整理.

六、

实践

延伸

课后作业:

课本P33页习题12.1第5、6题

学生课后独立完成.

检测学习效果.

附：

板书设计

课题：

§12.2.1全等三角形的判定（SSS）

课标要求

掌握基本事实：

三边分别相等的两个三角形全等.

教

学

目

标

知识技能

掌握边边边条件的内容；能初步应用边边边条件判定两个三角形全等.

数学思考

经历探索三角形全等条件的过程，体会用操作，归纳得出数量结论的过程

解决问题

会运用边边边条件证明两个三角全等

情感态度

通过探索三角形全等的条件的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.

重点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件

难点

探究三角形全等的条件

学情

分析

学生在经历线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识的学习，有了一点说理的基础，本节是研究的是两个图形之间的关系，可进一步引导学生学习推理论证的方法。

教法

演示、讲解

学法

动手操作、观察、合作探究

教具

圆规、三角形

教学程序设计

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

一、

情境

引入

复习：

已知△ABC≌△A′B′C′,找出其中相等的边与角：

思考：

满足这六个条件可以保证△ABC≌△A′B′C′吗？

追问1：

当满足一个条件时,△ABC与△A′B′C′全等吗？

追问2：

当满足两个条件时,△ABC与△A′B′C′全等吗？

追问3：

当满足三个条件时，△ABC与△A′B′C′全等吗？

满足三个条件时，又分为几种情况呢？

师出示复习，学生回答.

独立思考思考问题.

学生发现需要再分两种情况进行说明，即一条边分别相等、一个角分别相等．在探究过程中，可以通过画图加以说明，也可以利用三角尺等进行说明．

学生独立思考，教师适时点拨，最后达成共识：

满足“两个条件”分两边、一边一角或两角分别相等三种情况．学生分三组分别进行探究，通过画图、展示交流，最后得出结论：

只满足“两个条件”的两个三角形不一定全等.

学生回答问题，并相互补充，发现需要分四种情况进行研究，即三边、三角、两边一角、两角一边分别相等.

先提出“全等判定”问题，构建出三角形全等条件的探索路径，然后以问题串的方式呈现探究过程，引导学生层层深入地思考问题．

二、

观察

发现

活动：

尺规作图，探究“边边边”判定方法

先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，A′C′=AC．把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

师指导学生学生画法，学生操作、思考并小组交流.

通过作图、剪图、比较图的过程，感悟基本事实的正确性，获得三角形全等的“边边边”判定方法．在概括基本事实的过

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

画法:

（1）画线段B′C′=BC；

（2）分别以B′、C′为圆心，BA、BC为半径画弧，两弧交于点A′；

（3）连接线段A′B′，A′Ｃ′.

思考：

作图的结果反映了什么规律？

你能用文字语言和符号语言概括吗？

边边边公理：

三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”.

用符号语言表达:

师板书，规范符号表示形式.

程中，引导学生透过现象看本质，锻炼学生用数学语言概括结论的能力．

三、

应用

提高

问题：

我们曾经做过这样的实验：

将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了．你能解释其中的道理吗？

例1：

如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．求证△ABD≌△ACD．

应用：

用尺规作一个角等于已知角．

已知：

∠AOB．

求作：

∠A′O′B′=∠AOB．

学生用“边边边”判定方法进行解释.

师生共同分析解题思路，即要证明两三角形全等，就要看这两个三角形的三条边是否分别相等，题中有一个隐含条件AD是两个三角形的公共边．学生口述证明过程，教师板书．

师指导学生用尺规作图.

用所学知识解释生活现象，进一步体会判定方法的作用，感悟数学的应用价值．

运用“边边边”判定方法证明简单的几何问题，感悟判定方法的简捷性，体会证明过程的规范性．

让学生运用“SSS”条件进行尺规作图，同时体会作图的合理性，增强作图技能．

四、

巩固

练习

练习：

1.课本P37页练习第1、2题

2.如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？

怎样才能得到这个条件？

学生观察图形后，寻找全等的三角形，同时注意引导学生考虑到特殊位置时结论的正确性.

运用数学知识解决实际问题．采用小组合作探究的方式，这样既培养了学生的合作精神，又培养了学生发散思维和创新思维的能力．

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

五、

体验

收获

谈谈你的收获和体会

师引导学生回答，并补充完善.

通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心—构建三角形全等条件的探索思路，以及判定三角形全等的“边边边”方法.

六、

实践

延伸

课后作业:

课本P43页习题12.2第1、9题.

学生课后独立完成.

检测学生对本节所学知识的掌握情况.

附：

板书设计

课题：

§12.2.2全等三角形的判定（SAS）

课标要求

作一个角等于已知角，掌握基本事实：

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等

教

学

目

标

知识技能

会作一个角等于已知角，掌握边角边条件的内容，能初步应用边角边条件判定两个三角形全等.

数学思考

在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉和识图能力，通过观察、猜想、验证、推理、交流等数学活动进一步发展学生的演绎推理能力和发散思维能力．

解决问题

经历探索三角形边角边判定定理的过程，在观察中寻求新知，在探索中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法.

情感态度

通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.

重点

边角边判定定理.

难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的定理

学情

分析

学生在经历全等三角形“边边边”公理的探究后，对用其它方法来论证两个三角形全等有一定的兴趣，同时也学会了简单的尺规作图方法，因些可引导学生进一步研究三角形全等的条件——边角边公理.

教法

演示、讲解

学法

动手操作、观察、合作探究

教具

圆规、三角形

教学程序设计

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

一、

情境

引入

复习:

1．如何判定三角形全等？

2．有没有其他判定全等的方法呢？

师提问，学生回答后师板书课题.

通过这一问题情境使学生轻轻松松的进入了本节课的学习，既交代了本节课要研究和学习的主要问题，使学生对新知识有了期待，为本节课的顺利完成做好了铺垫.

二、

探究

发现

尺规作图，探究边角边的判定方法

问题1：

先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A＇=∠A，C′A′=CA（即两边和它们的夹角分别相等）．把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？

师演示，学生操作、观察，得出实验结果，师指导归纳总结边角边公理.

动手画图，让每一位学生参与教学过程，实际操作中亲自感受两边和夹角对应相等的两个三角形能够完全重合，同时还可以培养学生合作学习的精神。

通过规范符号表达形式，可以更好地帮助学生掌握这个判定方法。

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

归纳概括“SAS”判定方法:

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）．

几何语言：

练习：

下列图形中有没有全等三角形，并说明全等的理由.

学生小组讨论后，师提问.

简单应用“SAS”进行判断，提高学生的应用意识.

三、

应用

提高

例题讲解，学会运用

例2：

如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长至D，使CD=CA，连接BC并延长至E，使CE=CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？

探索“SSA”能否识别两三角形全等

问题2：

两边一角分别相等包括“两边夹角”和“两边及其中一边的对角”分别相等两种情况，前面已探索出“SAS”判定三角形全等的方法，那么由“SSA”的条件能判定两个三角形全等吗？

操作：

画△ABC和△DEF，使∠B=∠E=30°，AB=DE=5cm，AC=DF=3cm．观察所得的两个三角形是否全等？

解：

两边和其中一边的对角这三个条件无法唯一确定三角形的形状，所以不能保证两个三角形全等．因此，△ABC和△DEF不一定全等．

先引导学生分析题目，再出现过程，

学生动手操作，并画图，小组合作探究并汇报研究结果.

学生画图后回答问题.

运用“SAS”判定方法证明简单几何证明题，规范学生的书写格式，并感悟数学的应用价值.

在活动中让学生充分交流，画图过程要耐心、鼓励让学生有信心画出来，并大胆交流，用赞赏的语气与发言的学生交流，提高学习积极性，培养学生动手操作与勇于探究的能力。

通过比较，能让学生有比较深刻的印象。

通过应用，增强对“SSA”不一定能判定两三角形全等的理解.

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

四、

巩固

练习

课堂练习：

课本P39页练习第1、2题.

学生练习，师个别指导.

对所学知识进行巩固提高.

五、

体验

收获

课堂小结：

谈谈你的收获和体会

学生回答，师归纳补充.

通过回顾总结，加深对所学知识的理解，并建立知识之间的内在联系.

六、

实践

延伸

课后作业:

教科书习题12.2第2、3、10题．

学生课后独立完成.

检测学生的学习效果.

附：

板书设计

课题：

§12.2.3全等三角形的判定（ASA、AAS）

课标要求

掌握基本事实：

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，证明定理：

两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等.

教

学

目

标

知识技能

掌握“角边角”及“角角边”条件的内容；能初步运用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等.

数学思考

经历探索全等三角形判定思想的过程，领会“角边角”及“角角边”条件以及应用方法，发展学生主动探究的思想和说理的基本方法．

解决问题

使学生经历探索三角形全等的过程，体会用操作、归纳得出数学结论的过程

情感态度

通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生敢于面对困难、克服困难的能力．

重点

角边角”及“角角边”条件.

难点

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.

学情

分析

通过前两节课的学习，学生已能用“边边边”和“边角边”进行全等证明，而通过三角形全等条件的探索思路，自然而的进入到两角一边的探究之中来进行本节课的学习.

教法

演示、探究合作

学法

动手操作、合作学习

教具

圆规、三角形

教学程序设计

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

一、

情境

引入

活动一：

问题：

工艺厂的一块三角形玻璃摔成了三块，要配一块与原来一样的三角形，为了方便，只拿其中的一块。

拿哪一块最好呢？

三角形由完整→分裂→完整的过程提供学生思考的空间

为学生提供参与数学活动的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲。

二、

观察

探究

活动二：

1.先任意画一个△ABC，再画一个满足A′B′=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B的△A′B′C′.

2.观察：

两个三角形中所给的两角和边之间的位置有什么关系？

3.把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，看看它们是否重合，也就是是否全等.

4.上面的探究反映了什么规律？

结论：

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（可以简写成“角边角”或“ASA”）

5.问题：

应带哪一块最好？

为什么？

师生一起根据条件画图，动手操作。

师生根据探究发现的规律概括得出结论“ASA”。

以学生画图活动为主线展开探究活动，注重“ASA”条件的发生过程和学生的亲身体验，从实践中获取“ASA”条件，培养学生探究、发现、概括规律的能力.

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

活动三：

1.解答下面问题，你能获得什么结论？

如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？

你能利用“ASA”证明你的结论吗？

结论：

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（可以简写成“角角边”或“AAS”）

2.练习：

①.如图所示，AC=B′C′，这两个三角形全等吗？

A、不一定全等B、一定不全等C、一定全等

②判断：

两角和任意一边对应相等的两个三角形全等。

（）

学生相互交流，补充不同的条件，说明理由，举出反例说明对应关系。

演板写出用“ASA”证明的过程。

并发现规律。

在“练习”中，关注学生对“ASA”、“AAS”条件的掌握程度。

让学生在合作学习中共同解决问题，是学生主动探究三角形全等的条件，培养学生分析的能力，规范地书写证明过程.

培养学生的独立分析能力，会运用“ASA”、“AAS”条件做题，及时巩固所学知识.

三、

应用

提高

活动四：

例3：

如图所示，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：

AD=AE．

变式：

若把例题中的AB=AC改成AD=AE,其它条件不变。

问：

AB与AC相等吗？

例2：

如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD=BE，∠DAB=∠EAC．求证：

AB=AC．

思考：

三角对应相等的两个三角形全等吗？

结论：

三角对应相等的两个三角形不一定全等。

引导学生观察图形分析题中的隐含条件，教师板书过程.

学生通过实物得出结论.

例题及其变式,进一步巩固所学的知识。

总结学过的知识，培养学生的归纳能力.

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

四、

巩固

提高

活动五：

课本P41页练习第1、2题

课本P44-45页习题12.2第11、12题

学生小组合作探究，师个别指导.

对学习本节课所学知识进行巩固应用.

五、

体验

收获

谈谈你的收获和体会

学生回答，师补充完善.

对所学知识进行反思巩固.

六、

实践

延伸

课后作业:

课本P44页习题12.2第4、5题

学生课后独立完成.

检测学生对本节知识的掌握情况.

附：

板书设计

课题：

§12.2.4全等三角形的判定（HL）

课标要求

探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。

教

学

目

标

知识技能

理解直角三角形全等的判定定理，并能灵活地运用直角三角形全等的判定定理，进行有条理的简单的推理，并能利用它解决实际问题.

数学思考

懂得直角三角形全等的判定定理是确定两个直角三角形全等的思考方法.

解决问题

经历探索三角形全等判定方法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.

情感态度

体验数学模型与实际生活中的问题之间的联系.

重点

直角三角形全等的判定定理的理解和应用.

难点

利用直角三角形全等的判定定理解决问题.

学情

分析

学生已学习了一般三角形的全等证明方法，能用直角三角形解决实际性问题，能用尺规完成作图，的抽象思维已有一定程度的发展，具有初步的推理能力，因此可开展探究直角三角形全等判定的方法.

教法

演示、探究、讨论

学法

动手操作、合作学习

教具

圆规、三角形

教学程序设计

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

一、

情境

引入

问题引入：

问题1：

如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．你能帮工作人员想个办法吗？

（1）如果用直尺和量角器两种工具，你能解决这个问题吗？

（2）如果只用直尺，你能解决这个问题吗？

师出示情境问题，学生思考回答，师引出课题.

提高学生的学习积极性、主动性，激发学生的好奇心，感受数学知识对于解决身边问题的重要性，提高学生学习数学的兴趣.

二、

观察

发现

探究归纳“HL”判定方法

问题2：

任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A＇B＇C＇，使∠C＇=90°，B＇C＇=BC，A＇B＇=AB，然后把画好的Rt△A＇B＇C＇剪下来放到Rt△ABC上，你发现了什么？

在活动中让学生充分交流，画图过程要耐心、鼓励让学生有信心画出来，并大胆交流，用赞赏的语气与发言的学生交流.

以学生画图活动为主线展开探究活动，注重“HL”条件的发生过程和学生的亲身体验，从实践中获取“HL”条件，培养学生探究、发现、概括规律的能力.培养学生动手操作与勇于探究的能力.

教学

环节

教学内容

师生活动

设计意图

直角三角形全等判定定理：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.（简写为“斜边、直角边”或“HL”）

几何语言：

师生共同概括直角三角形全等的判定定理，及符号表示方法.

明了“HL”判断全等的条件，规范符号语言表达形式.

三、

应用

提高

“HL”判定方法的运用：

例5：

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D，AC=BD．求证：

BC=AD．

变式1：

如图，AC⊥BC，BD⊥AD，要证△ABC≌△BAD，需要添加一个什么条件？

请说明理由．

例（补充）：

如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？

为什么？

∴　∠ABC=∠DEF.

∵　∠DEF+∠DFE=90°，

∴　∠ABC+∠DF