高中到大学公式大全.docx
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高中到大学公式大全
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导数公式：
2i
j\'x2+a2dx=Jx2+a2+—In（x+Ux2+a2）+C22
i2
Wx2-a2dx=x$x2-a2-Jnx+Jx2-a2+C
2
—arcsin'C
2a
22
arshx=In（x亠x21）
2
archx=In（x丄x-1）
arthx
In
1x
1-x
三角函数公式:
-和差角公式:
•诱导公式：
、、函数
角A、、
sin
cos
tg
ctg
-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
90°-a
cosa
sina
ctga
tga
90°+a
cosa
-sina
-ctga
-tga
180°a
sina
-cosa
-tga
-ctga
180-a
-sina
-cosa
tga
ctga
270-a
-cosa
-sina
ctga
tga
270-a
-cosa
sina
-ctga
-tga
360-a
-sina
cosa
-tga
-ctga
360-a
sina
cosa
tga
ctga
-和差化积公式:
sin（■-1）二sin：
cos"二cos：
sin:
cos（：
：
）=cos』cos：
「sin：
sin:
sin：
sin:
a+Pa-P
=2sincos一
22
tg（二''）=
tg：
-tg■
1二tg：
tg：
ctg（:
:
二I-'）二
ctgi-ctg：
Ra+Pa-P
sin；：
-sin-=2cossin—
22
Ra+Pa-P
cos：
cos2coscos—
22
Ra+Pa-P
cos：
-cos：
=2sinsin
•倍角公式:
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：
n（uv）（n）八cW（k）
k=0
=u（n）vnu（n」）v•n（n"（Tv•…n（n7（n—k叽⑴®）…uv（n）2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）二f（J（b-a）
柯西中值定理：
他迴二山
F（b）-F（a）F徉）
当F（x）二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
化量；As：
MM弧长。
平均曲率：
R-「］.「•：
从M点到M点，切线斜率的倾角变
直线：
K=0;
半径为a的圆：
K=1
a
定积分的近似计算：
b-az
止（yo+yi+…
n
空间2点的距离：
d=|MjM2=J（x2—xj2+（y2—yj2+（z2—乙）2向量在轴上的投影：
PrjuAB=ABcos®,®是AB与u轴的夹角。
Prju（aa2）=PrjaPrja?
ab=abcos8=axbx+ayby+azbz,是一个数量,
axbxaybyazbz
i
c=axb=ax
bx
222,2,2,2
a*ayaz:
bxbybz
jk-
ayaz,c=|absin0.例：
线速度：
v=wxr.bybz
ax
ay
az
向量的混合积:
[abc]二（ab）c=
bx
by
Cx
Cy
bz=a^Cz
代表平行六面体的体积
平面的方程：
1、点法式:
A（x-Xo）•B（y-yo）•C（z-Zo）=0,其中n={A,B,C},Mo（Xo,y°,Zo）
2、一般方程：
AxByCzD=0
3、截距世方程：
xy-=1
abc
平面外任意一点到该平面的距离：
d」AXo+B^+CZo+d
Ja2+b2+c2
Xx=x0mt
空间直线的方程：
-_=_=z_=t,其中s={m,n,p};参数方程：
《y=y0+nt
mnp
、z=zo+pt
二次曲面：
222
1、椭球面：
笃•与•务=1
abc
22
2、抛物面：
xy=z,（p,q同号）
p2q
3、双曲面：
222
单叶双曲面：
笃•每一令=1
a2b2c2
222
双叶双曲面：
笃—每务=1（马鞍面）
a2b2c2
多元函数微分法及应用
人Ztli4八丄厶9厶C-UGUGU
全微分：
dz=—dx+—dydu=—dx十一dy十一dz
x_yxy_z
全微分的近似计算：
cz：
、dz二fx（x,y）.；x•fy（x,y，y
微分法在几何上的应用：
'x=®（t）
空间曲线y」（t）在点M（X0,yo,z。
）处的切线方程：
穿
乙八⑴（to）'（to）（to）
在点M处的法平面方程：
：
：
（to）（x-x。
）宀（t°）（y-y。
）一（t°）（z-zo）=O
曲面F（x,y,z）=O上一点M（x°,yo,z。
）,则:
1、过此点的法向量：
n二{Fx（Xo,yo,zo）,Fy（x°,yo,zo）,Fz（Xo,yo,z。
）}
2、过此点的切平面方程:
Fx（Xo,y°,zo）（x-x。
）Fy（Xo,y°,Zo）（y-y。
）Fz（Xo,yo,zo）（z-zo）=O
3、过此点的法线方程:
x_x。
_y_y。
_z_z。
Fx（x°,yo,z。
）FyCx^ysz。
）卩2&。
占。
忆。
）
方向导数与梯度:
函数z=f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向I的方向导数为：
」fcosfsin「
clex內
其中「为X轴到方向I的转角。
Ff-f-函数z二f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）ij
excy
f__——
它与方向导数的关系是：
一=gradf（x,y）e，其中e=cos—i・sin「，为I方向上的
cl
单位向量。
f是gradf（x,y）在l上的投影。
.:
l
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）=fy（x0,y0^=0,令：
fxx（x0,y0=A,fxy（x0,y0）=B,fyy（x0,y0）=C
'Ac0,（x0,y0）为极大值
贝AC—B2cO时,AC-B2=0寸,
、A>0,（x0,y0）为极小值
J无极值
不确定
重积分及其应用:
11f（x,y）dxdy二f（rcos^,rsin））rdrd
2
）
dxdy
DD'
曲面z二f（x,y）的面积A二，「泛工
匕丿3丿
x「（x,y）d二
D
=y「（x,y）d；「，对于y轴Iy=x'（x,y）d二
DD
厂「'（x,y）xd二
Fx「f..3，
D/2222
（xy■a）2
柱面坐标和球面坐标：
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M（0,0,a）,（a0）的引力：
厂={Fx,Fy,Fz},其中:
厂「仃P（x,y）yd^厂fP（x,y）xd^
Fy「f3，Fz「一fa..3
（xya）2（xy'a）2
2兀
111f（x,y,z）dxdydz二F（r,:
^）r2sindrddr-drd「F（r,：
v）r2sindr
其中M=x：
iii^dv
Q
（x2y2）「dv
Q
x=t
y二（t）
x=rcosv
柱面坐标：
：
y=rsind,出f（x,y,z）dxdydz=JJJF（r£,z）rdrdTd乙
z=z——
其中：
F（r,=,z）=f（rcosv,rsin）z）
x=rsin^cos日
球面坐标：
y二rsin'sin^,dv二rd'rsin'd：
dr二rsindrdd^
z=rcos®
二二000
111
重心：
x=——MxPdv,y=——[[[yPdv,Z=——"[zPdv,
M気MMq
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
设L的参数方程为丿乂“⑴：
Kt）
P（x,y）dxQ（x,y）dy二{P［，（t）,-（t）］「（t）Q［「（t）卜（t）「（t）}dt
L、£
两类曲线积分之间的关系：
Pdx•Qdy二（Pcostgeos一：
）ds其中：
•和：
分别为
LL
:
P
）dxdy=■-PdxQdy
:
yl
L上积分起止点处切向量的方向角。
格林公式：
11（卫尸）dxdy=，PdxQdy格林公式：
（-Q
Dex&yLdex
当p=_y,Q二x,即：
2一兰=2时，得到D的面积：
A二dxdy-1xdy-ydx泳纲D2L
平面上曲线积分与路径无关的条件：
1G是一个单连通区域；
2、P（x,y）,Q（x,y）在G内具有一阶连续偏导数，且卫=史。
注意奇点，如（0,0），应&cy
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
二元函数的全微分求积：
:
Q:
P
在一=一时，PdxQdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中:
.x；y
（x,y）
u（x,y）二P（x,y）dxQ（x,y）dy,通常设x0二y0=0。
曲面积分：
I~~
对面积的曲面积分：
JJf（x,y,z）ds=Hf[x,y,z（x,y）]/+Zx（x,y）+zy（x,y）dxdy
二Dxy
对坐标的曲面积分：
IlP（x,y,z）dydz•Q（x,y,z）dzdx，R（x,y,z）dxdy,其中：
Z
11R（x,y,z）dxdy：
：
11R[x,y,z（x,y）]dxdy,取曲面的上侧时取正号；
―Dxy
P（x,y,z）dydz=P[x（y,z）,y,z]dydz取曲面的前侧时取正号；
工Dyz
..Q（x,y,z）dzdx二Q[x,y（z,x）,z]dzdx取曲面的右侧时取正号。
ZDzx
两类曲面积分之间的关系：
PdydzQdzdxRdxdy二（Pcos：
Qcos：
Rcos）ds
ZZ
高斯公式:
P-^Q-
111「'=）dv二PdydzQdzdxRdxdy二（Pcos：
Qcos：
Rcos）ds
—x斜；z--
高斯公式的物理意义通量与散度：
散度：
div、•.=———,即：
单位体积内所产生的流体质量，若div—：
0,则为消失...
x:
y:
z
通量：
IlAnds=Ands=（Pcosx11Qcos：
Rcos）ds，
zzz
因此，高斯公式又可写成：
divAdv—-Ands
Q:
p
）dxdy=：
PdxQdyRdzy
斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系:
--^dydz-—）dzdx（=-
:
xy
v:
y:
z:
z:
x:
x
dydz
dzdx
dxdy
cosa
cosP
cos?
..rr
ex
&
S
ex
cz
P
Q
R
P
Q
R
上式左端又可写成：
Z
cR_cQcP_cR
—,—,z:
X
关的条件：
cy&
向量场A沿有向闭曲线-的环流量：
Pdx■QdyRdz=；Atds
ff
常数项级数：
级数审敛法:
1正项级数的审敛法根植审敛法（柯西判别法）：
:
:
:
1时，级数收敛
设：
P=lim_；-''Un，贝V«P>1时，级数发散
FjP=1时，不确定
2、比值审敛法：
设:
=lim仏1，
j•:
Un
；-：
：
：
1时，级数收敛则r.1时，级数发散
1时，不确定
3、定义法:
sn=比•u2亠■亠un；limsn存在，则收敛；否则发
n—
散。
交错级数Ui-氏U3-u^（或-Ui【2-出•…,Un0）的审敛法莱布尼兹定理：
U>Un_1
如果交错级数满足人.nn：
，那么级数收敛且其和SEUi,其余项rn的绝对值rnEUn誓
limUn=0
l.M^
绝对收敛与条件收敛：
（1）Ui•U2•Un•…，其中Un为任意实数；
⑵Ui|+血|+|出|"+Un+…
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
如果
（2）发散，而⑴收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
调和级数：
：
•1发散，而（"）收敛；
nn
p级数：
np
p_1时发散
p・1时收敛
幕级数:
ix
ecosxisinx
函数展开成泰勒级数：
f（x）一f（x0）（x-x。
）\0）（X-X°）（0）（X-X。
）■-
2!
n!
函数展开成幕级数:
（n1）
余项：
Rn二
-、m,2…（m-n+1）n"'八
（1+x）=1+mx+x+x+…（一1vx<1）
2!
n!
352nd
sinx=x-xx（-1）n‘x（-：
：
：
x
3!
5!
（2n-1）!
欧拉公式：
ix丄」xe+e
cosx=
ix-ix
e—esinx二
三角级数：
00a
f（t）二Ao'^singtn）0'（ancosnxbnsinnx）
n壬2n壬
其中，a。
=aA0，a.=Ansin；，bn=Ancos“4=x。
正交性:
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x…sinnx,cosnx…任意两个不同项的乘积在［t「：
］上的积分=0o
傅立叶级数：
a
f（x）-■x'（ancosnxbnsinnx）,周期=2二
2心
周期为2l的周期函数的傅立叶级数:
微分方程的相关概念:
一阶微分方程：
y"=f（x,y）或P（x,y）dx+Q（x,y）dy=0
可分离变量的微分方程：
一阶微分方程可以化为g（y）dy二f（x）dx的形式，解法：
Jg（y）dy=Jf（x）dx得：
G（y）=F（x）+C称为隐式通解。
齐次方程：
一阶微分方程可以写成矽=f（x,y）=（x,y），即写成—的函数，解法：
dxx
设u=—，贝U=ux^^,口，也=（u）,虫du—分离变量，积分后将—代替u,
xdxdxdxx（u）-ux
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程：
1、一阶线性微分方程：
-P（x）y=Q（x）
dx
「当Q（x）=0时,为齐次方程,y=Ce_P"x）dx
\当Q（x）鼻0时，为非齐次方程，y=（JQ（x）eJP（x）dxdx+C）e—J"*
2、贝努力方程：
P（x）y=Q（x）yn,（n=0,1）
dx
全微分方程：
如果P（x,y）dx，Q（x,y）dy=0中左端是某函数的全微分方程，即:
二阶微分方程:
d2ydyf（x）三0时为齐次
捺叫Q（x）y"f（x）=0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
（*）ypyqy=0,其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：
（A）r2•pr7=0,其中r2,r的系数及常数项恰好是（*）式中y”,y；y的系数;
2、求出（厶）式的两个根r1,r2
3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出（*）式的通解:
r，r2的形式
（*）式的通解
两个不相等实根（p2—4q>0）
r^x丄r2x
y=Ge1ge2
两个相等实根（p2—4q_0）
y=（G+c2x）e"x
一对共轭复根（p2—4qc0）
A=a，r2=a-iB
«__p，p_J4q—p2
22
yue^gcos0x+c2sinPx）
二阶常系数非齐次线性微分方程
ypyqy=f（x）,p,q为常数f（x）=exPm（x）型，■为常数;
f（x）=e"[R（x）cosox+巳（x）sinox]型
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